Entropia a capacità termiche differenti

[lotuno]

Salve a tutti, volevo proporre un piccolo esercizio in cui mi sono imbattuto, e che chiede di calcolare la variazione di entropia di un sistema costituito da due corpi aventi capacità termiche differenti: nel caso delle capacità termiche uguali, viene
$DeltaS = C*ln[(T_1-T_2)^2/(4T_1T_2)+1]$ come canonicamente risaputo, con C capacità termica. Invece nel caso di capacità termiche differenti io ho pensato di sviluppare i calcoli in questo modo:
1) La variazione di entropia per il primo corpo è: $DeltaS_1 = int_(T_1)^(T_(eq)) (C_1dT)/T$ laddove $(C_1dT)$ = $deltaQ_1$ e $(T_eq)$ è la temperatura di equilibrio, che esplicitata sarebbe $T_(eq)=(C_1T_1*C_2T_2)/(C_1+C_2)$.
2) La variazione di entropia per il secondo corpo è: $DeltaS_2 = int_(T_2)^(T_(eq)) (C_2dT)/T$.
3) Quella totale sarebbe la somma, e io l'ho pensata in questo modo: ho portato $C_1$ e $C_2$ dentro i logaritmi che scaturiscono dagli integrali, ottenendo $DeltaS_1 = ln[((T_(eq)/(T_1))^(C_1)]$ e $DeltaS_2 = ln[((T_(eq)/(T_2))^(C_2)]$. Quindi il totale mi è venuto $ln[((T_(eq)/(T_1))^(C_1+C_2)]$.

Secondo voi può essere corretto uno sviluppo di questo tipo, o c'è qualcosa che mi è sfuggito? Ringrazio anticipatamente tutti per la disponibilità, buon pomeriggio

[Falco5x]

Intanto c'è un errore. la T equivalente è:

$${T_{eq}} = \frac{{{T_1}{C_1} + {T_2}{C_2}}}
{{{C_1} + {C_2}}}$$

E poi non puoi moltiplicare sommando gli esponenti quando le basi sono diverse.
Il calcolo giusto sarebbe piuttosto.

$$\ln \left[ {{{\left( {\frac{{{T_{eq}}}}
{{{T_1}}}} \right)}^{{C_1}}}{{\left( {\frac{{{T_{eq}}}}
{{{T_2}}}} \right)}^{{C_2}}}} \right] = \ln \left[ {{{\left( {\frac{{{T_{eq}}}}
{{{T_1}}}} \right)}^{{C_1} + {C_2}}}{{\left( {\frac{{{T_1}}}
{{{T_2}}}} \right)}^{{C_2}}}} \right]$$

[lotuno]

Non avevo notato di aver sbagliato a scrivere la $T_(eq)$... grazie mille per la risposta, mi scuso per aver violentato così brutalmente quel logaritmo (il problema è che non li ho mai studiati in modo serio alle superiori, quindi sui logaritmi sono veramente messo male!). Cercherò di tenere a mente questa regola delle basi diverse per esercizi futuri, grazie ancora