Energia potenziale elettrostatica?

Ayanami_00
Salve a tutti.
Per una distribuzione continua di carica, si può trovare l'energia elettrostatica del sistema come $ U = int_(tau)^() 1/2 rhoVd tau $ oppure equivalentemente come $ U = 1/2 epsilon_0 int_(tau)^() E^2 d tau $. Ma allora non mi spiego perchè nel seguente problema io ottenga due risultati diversi usando i due metodi.


Si ha una carica $ Q_0 $ distribuita uniformemente in una sfera di raggio $ R_0 $ con densità $ rho = (3 Q_0)/(4pi R_0^3) $. Si vede con Gauss che il campo all'interno è diretto radialmente e vale $ E_r = (rho r)/(3 epsilon_0) $, e che il potenziale all'interno vale (integrando il campo elettrico cambiato di segno) $ V = - (rho r^2) / (6 epsilon_0) $ dove ho imposto uguale a zero la costante di integrazione.

Andando allora a trovare l'energia:

1) $ U = int_(tau)^() 1/2 rhoVd tau = int_(0)^(R_0) 1/2 rho (-rho r^2) / (6 epsilon_0) 4pir^2 dr = (rho^2 pi R_0^5)/(epsilon_0) (-1/15) $

2) $ U = 1/2 epsilon_0 int_(tau)^() E^2 d tau = 1/2 epsilon_0 int_(0)^(R_0) (rho^2 r^2)/(9 epsilon_0^2) 4pir^2 dr = (rho^2 pi R_0^5)/(epsilon_0) (2/45) $

Che cosa sto sbagliando?

Risposte
RenzoDF
"Ayanami_00":
... Che cosa sto sbagliando?

Errori di calcolo a parte, stai semplicemente dimenticando che mentre per il primo integrale devi integrare solo sul volume relativo alla distribuzione di carica, ovvero sul volume sferico, nel secondo caso devi integrare l'energia del campo su tutto lo spazio. :wink:

Ayanami_00
Ok...perciò dovrei aggiungere il contributo per $r$ che va da $R_0$ a $oo$? In tal caso ho che il campo è $ E = 1/(4piepsilon_0) (Q_0 / r^2) $ e il contributo vale

$ U = 1/2 epsilon_0 int_(R_0)^(oo) Q_0^2/(16pi^2epsilon_0^2 r^4) 4pir^2 dr = Q_0^2/(8piepsilon_0R_0) $

ma i conti non mi tornano ancora...errori di calcolo spero non ce ne siano, la cosa più problematica però è che sono uno negativo e uno positivo! :|

RenzoDF
"Ayanami_00":
... la cosa più problematica però è che sono uno negativo e uno positivo! :|

Negli errori di calcoli intendevo anche il segno. :wink:

Ayanami_00
Il segno meno viene dal potenziale: formalmente dovrei scrivere $ V = -int vec(E)*dvec(s) + c_1 $ per dentro la sfera, e $ V = -int vec(E)*dvec(s) + c_2 $ per fuori, visto che sono regioni con campo elettrico diverso. Poi si dovrebbe imporre il valore di una costante (ho imposto $ c_1 = 0$) e ricavare l'altra per continuità di $ V $.


Ho ricontrollato anche gli altri calcoli ma sembrano ok...sai indicarmi gli errori?

RenzoDF
L'errore risiede nel calcolo del potenziale; l'energia elettrostatica dovuta all'interazione delle cariche è pari al lavoro fatto per "costruire" quel sistema a partire da una situazione iniziale di interazione nulla, ovvero con cariche ad infinita distanza reciproca, ne segue che il potenziale dovrà essere assunto nullo all'infinito, non nell'origine.

PS Dimenticavo, ok per il contributo additivo

"Ayanami_00":
Ok...perciò dovrei aggiungere il contributo

$ U = 1/2 epsilon_0 int_(R_0)^(oo) Q_0^2/(16pi^2epsilon_0^2 r^4) 4pir^2 dr = Q_0^2/(8piepsilon_0R_0) $


e quindi ok per il metodo 2), ora ti rimane da ricalcolare con 1) ... e vedrai che i conti tornano.

Ayanami_00
Grazie RenzoDF!

Il metodo che hai descritto l'ho trovato spiegato in dettaglio qui https://it.wikibooks.org/wiki/Fisica_classica/Potenziale_elettrico#Caso_di_una_sfera_uniformemente_carica, lo posto in modo che se qualcuno ci stava leggendo può trovare riscontro.

Mettendo dei valori qualunque per carica e raggio, si ritrova effettivamente lo stesso risultato calcolando in entrambi i modi.

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