Energia potenziale elettrostatica
Ho quattro cariche puntiformi sul piano yz ai vertici di un quadrato di lato $2a$ e devo calcolare il lavoro necessario per spostare $q^-$ di posto $(-a,-a)$ al centro del piano
Io ho calcolato le energie che dovrebbero essere la somma delle energie delle particelle quella che si sposta e le altre(iniziale e finale)
$U_i=k_e/2[(q^2/(2a)-q^2/(2a)-q^2/(2\sqrt2a))2+(q^2/(2a)-q^2/(2a)-q^2/(2\sqrt2a))2]$
che mi torna con il risultato mentre non mi torna l'energia finale.
Io avrei scritto:
$U_f=k_e/2(-3q^2/(sqrt2a))$
visto che la particella è posta al centro del piano, la distanza è data dal teorema di pitagora e la particella è alla stessa distanza delle tre.
Mentre nella soluzione fa 4 somme parziali differenti per arrivare alla stessa soluzione alla fine...Non capisco però perchè scriva
$U_f=k_e/2[(q^2/(2a)-q^2/(2a)-q^2/(2sqrt2a))+(q^2/(sqrt2a)-q^2/(sqrt2a)-q^2/(sqrt2a))+(q^2/(sqrt2a)-q^2/(2a)-q^2/(2sqrt2a))+(q^2/(2a)-q^2/(sqrt2a)-q^2/(2a))]$
Cosa cambia?
Io ho calcolato le energie che dovrebbero essere la somma delle energie delle particelle quella che si sposta e le altre(iniziale e finale)
$U_i=k_e/2[(q^2/(2a)-q^2/(2a)-q^2/(2\sqrt2a))2+(q^2/(2a)-q^2/(2a)-q^2/(2\sqrt2a))2]$
che mi torna con il risultato mentre non mi torna l'energia finale.
Io avrei scritto:
$U_f=k_e/2(-3q^2/(sqrt2a))$
visto che la particella è posta al centro del piano, la distanza è data dal teorema di pitagora e la particella è alla stessa distanza delle tre.
Mentre nella soluzione fa 4 somme parziali differenti per arrivare alla stessa soluzione alla fine...Non capisco però perchè scriva
$U_f=k_e/2[(q^2/(2a)-q^2/(2a)-q^2/(2sqrt2a))+(q^2/(sqrt2a)-q^2/(sqrt2a)-q^2/(sqrt2a))+(q^2/(sqrt2a)-q^2/(2a)-q^2/(2sqrt2a))+(q^2/(2a)-q^2/(sqrt2a)-q^2/(2a))]$
Cosa cambia?
Risposte
Ciao Shika!
Non vedo come i due risultati possano coincidere, a meno che nell'ultima relazione tu abbia sbagliato a riportare i termini nella prima parentesi. Hai infatti che lì è descritta l'energia potenziale di una carica che si trova a distanza $2a$ da altre due cariche ed a distanza $2\sqrt2 a$ da una terza carica. Quella è praticamente la configurazione iniziale ..
Le soluzioni coinciderebbero se nella prima parentesi invece di un $-q^2 / (2a)$ vi fosse $-q^2/(sqrt2 a)$.
P.s.: la prossima volta riporta anche i segni delle cariche. ^^
Non vedo come i due risultati possano coincidere, a meno che nell'ultima relazione tu abbia sbagliato a riportare i termini nella prima parentesi. Hai infatti che lì è descritta l'energia potenziale di una carica che si trova a distanza $2a$ da altre due cariche ed a distanza $2\sqrt2 a$ da una terza carica. Quella è praticamente la configurazione iniziale ..
Le soluzioni coinciderebbero se nella prima parentesi invece di un $-q^2 / (2a)$ vi fosse $-q^2/(sqrt2 a)$.
P.s.: la prossima volta riporta anche i segni delle cariche. ^^
Potrebbe benissimo essere sbagliata l'espressione nella soluzione. Non sarebbe la prima volta. Il risultato però coincide con quello che ho io.
Ho ricontrollato e i segni sono quelli che da la soluzione.
Allego l'immagine che mi ero dimenticato di mettere prima
Ho ricontrollato e i segni sono quelli che da la soluzione.
Allego l'immagine che mi ero dimenticato di mettere prima
Ciao Shika,
Un consiglio in generale. Quando c'e' una simmetria, sfruttala.
in questo caso la carica originariamente posta in (-a.-a) si muove lungo la diagonale e va portata in (0,0) - {a parte l'imprecisione dell'esercizio che parla di "centro del piano", spero che sia stata tu a condensare in una frase veloce, e non sia il testo originale).
Ora, per simmetria, vedi subito che le cariche poste in (-a,-a) e (a,-a), non fanno lavoro lungo la diagonale del quadrato (retta y=z,x=0). Infatti, (1) la componente della risultante delle forze ortogonale alla retta fa lavoro nullo per definizione, e (2) la risultante delle forze proiettate sulla diagonale e' nulla.
Quiidi tutto si riduce a calcolare il lavoro della forza q posta in (a,a).
Il potenziale di una carica puntiforme come ben sai e'
\( V(r)=-\frac{kq}{r} \) con r distanza della carica unitaria dalla carica q.
Quindi il lavoro per portare una carica unitaria da (-a,-a), distante da q \( 2a\sqrt{2} \), fino ad a (0,0), distante da a \( a\sqrt{2} \) e' la differenza di potenziale tra V(0,0) e V(-a,-a).
\( L = -kq(\frac{1}{a\sqrt{2}}- \frac{1}{2a\sqrt{2}})= -kq(\frac{1}{2a\sqrt{2}}) \)
Il lavoro per portare -q e' dunque
\( L = kq^2(\frac{1}{2a\sqrt{2}}) \)
Anche a risolvere il problema in condizioni generali (cioe trovando V su tutto il piano x=0), non sono sicuro che le formule siano giuste. Dovrei risolvere il problema da zero, che con 3 cariche e' abbastanza pesante dal punto di vista dei calcoli.
Se proprio ti serve, lo faccio e lo posto. Ma non aggiunge nulla alla tua conoscenza, e' solo un esercizio di calcolo vettoriale.
E' buona regola, prima di buttarsi a capofitto in calcoli che crescono mostruosamente e sono fonte di erroi (basta un segno...) cercare di semplificare il problema indivuando sottoproblemi piu' semplici. In questo caso, simmetria e conoscenza di una formuletta basilare come quella del potenziale di una carica lungo una retta.
PK
Un consiglio in generale. Quando c'e' una simmetria, sfruttala.
in questo caso la carica originariamente posta in (-a.-a) si muove lungo la diagonale e va portata in (0,0) - {a parte l'imprecisione dell'esercizio che parla di "centro del piano", spero che sia stata tu a condensare in una frase veloce, e non sia il testo originale).
Ora, per simmetria, vedi subito che le cariche poste in (-a,-a) e (a,-a), non fanno lavoro lungo la diagonale del quadrato (retta y=z,x=0). Infatti, (1) la componente della risultante delle forze ortogonale alla retta fa lavoro nullo per definizione, e (2) la risultante delle forze proiettate sulla diagonale e' nulla.
Quiidi tutto si riduce a calcolare il lavoro della forza q posta in (a,a).
Il potenziale di una carica puntiforme come ben sai e'
\( V(r)=-\frac{kq}{r} \) con r distanza della carica unitaria dalla carica q.
Quindi il lavoro per portare una carica unitaria da (-a,-a), distante da q \( 2a\sqrt{2} \), fino ad a (0,0), distante da a \( a\sqrt{2} \) e' la differenza di potenziale tra V(0,0) e V(-a,-a).
\( L = -kq(\frac{1}{a\sqrt{2}}- \frac{1}{2a\sqrt{2}})= -kq(\frac{1}{2a\sqrt{2}}) \)
Il lavoro per portare -q e' dunque
\( L = kq^2(\frac{1}{2a\sqrt{2}}) \)
Anche a risolvere il problema in condizioni generali (cioe trovando V su tutto il piano x=0), non sono sicuro che le formule siano giuste. Dovrei risolvere il problema da zero, che con 3 cariche e' abbastanza pesante dal punto di vista dei calcoli.
Se proprio ti serve, lo faccio e lo posto. Ma non aggiunge nulla alla tua conoscenza, e' solo un esercizio di calcolo vettoriale.
E' buona regola, prima di buttarsi a capofitto in calcoli che crescono mostruosamente e sono fonte di erroi (basta un segno...) cercare di semplificare il problema indivuando sottoproblemi piu' semplici. In questo caso, simmetria e conoscenza di una formuletta basilare come quella del potenziale di una carica lungo una retta.
PK
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