Energia potenziale e cinetica
Ciao a tutti, nell'ultimo esame di Fisica vi era il seguente esercizio: "Un pallone viene lanciato verso il basso da un'altezza $h=4m$ con velocità $v_0$. Rimbalzando sul suolo, il pallone perde metà della propria energia cinetica. Si trovi il valore minimo di $v_0$ per cui il pallone raggiunge nuovamente l'altezza h trascurando l'attrito dell'aria."
Io l'ho risolto con l'equazione $1/4mv_0^2=mgh$, mentre la correzione del professore è $1/4mv_0^2+1/2mgh=mgh$. Mi potreste spiegare il perché? Vi ringrazio anticipatamente.
Io l'ho risolto con l'equazione $1/4mv_0^2=mgh$, mentre la correzione del professore è $1/4mv_0^2+1/2mgh=mgh$. Mi potreste spiegare il perché? Vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
Prova a lasciare un po' in secondo piano le equazioni, e a descrivere concettualmente il problema, magari ti si chiariscono le idee
Quando il pallone tocca il suolo, dal testo, so che l'energia cinetica è la metà quindi $(1/2mv_0^2)/2$. Poi però per raggiungere la stessa altezza h è necessaria un'energia potenziale pari a $mgh$. Non riesco proprio a spiegarmi quel $1/2mv_0^2$. Mi è venuto un dubbio proprio ora che sto scrivendo: la metà dell'energia cinetica persa è pari a $1/2mgh$?
Quando la palla è nella posizione $1$ , ad altezza $h$ dal suolo, ha una energia potenziale $mgh$ (rispetto al suolo, ovvio) , e viene sparato verso terra con velocità iniziale $v_0$ , cioè con energia cinetica $1/2mv_0^2$ . Dunque l'energia totale in $1$ è :
$E_1 = 1/2mv_0^2 + mgh $
Quando arriva a toccare il suolo , proprio prima di schiacciarvisi, tutta l'energia potenziale iniziale si è trasformata in altra energia cinetica , cioè la palla ha acquisito ancora velocità . Detta $v$ La velocità in $2$ , l'energia totale ora vale:
$E_2 = 1/2mv^2 = E_1 = 1/2mv_0^2 + mgh \rightarrow v^2 = v_0^2 +2gh \rightarrow v = sqrt(v_0^2 + 2gh) $
evidentemente nella posizione $2$ l'energia potenziale è nulla. Come vedi la velocità di impatto è superiore a $v_0$ , ovviamente.
Nell'urto, la palla perde metà dell'energia cinetica $E_2$ che aveva un istante prima dell'urto, giusto ? Quindi l'energia perduta è :
$E_p = 1/2(1/2mv^2) = 1/4mv^2 = 1/4m(v_0^2 + 2gh) $
Quella che residua nella palla è quindi : $ E_r =E_2 - E_p = ......=1/4m(v_0^2 + 2gh) = 1/4 mv_0^2 +1/2mgh$ ( fa' tu i passaggi).
Alla fine, la posizione finale $3$ si ha quando la palla torna alla stessa altezza iniziale, quindi deve essere :
$E_3 = mgh = E_r$
cioè : $1/4 mv_0^2 +1/2mgh = mgh $
che è la correzione del tuo prof . Alla fine , si trova che deve essere : $v_0 = sqrt(2gh)$ .
Si deve sparare la palla verso il basso con la stessa velocità che essa avrebbe, arrivando al suolo con caduta da fermo, per poterla far risalire fino ad $h$ .
La velocità di impatto col suolo è : $v =2sqrt(gh)$ .
$E_1 = 1/2mv_0^2 + mgh $
Quando arriva a toccare il suolo , proprio prima di schiacciarvisi, tutta l'energia potenziale iniziale si è trasformata in altra energia cinetica , cioè la palla ha acquisito ancora velocità . Detta $v$ La velocità in $2$ , l'energia totale ora vale:
$E_2 = 1/2mv^2 = E_1 = 1/2mv_0^2 + mgh \rightarrow v^2 = v_0^2 +2gh \rightarrow v = sqrt(v_0^2 + 2gh) $
evidentemente nella posizione $2$ l'energia potenziale è nulla. Come vedi la velocità di impatto è superiore a $v_0$ , ovviamente.
Nell'urto, la palla perde metà dell'energia cinetica $E_2$ che aveva un istante prima dell'urto, giusto ? Quindi l'energia perduta è :
$E_p = 1/2(1/2mv^2) = 1/4mv^2 = 1/4m(v_0^2 + 2gh) $
Quella che residua nella palla è quindi : $ E_r =E_2 - E_p = ......=1/4m(v_0^2 + 2gh) = 1/4 mv_0^2 +1/2mgh$ ( fa' tu i passaggi).
Alla fine, la posizione finale $3$ si ha quando la palla torna alla stessa altezza iniziale, quindi deve essere :
$E_3 = mgh = E_r$
cioè : $1/4 mv_0^2 +1/2mgh = mgh $
che è la correzione del tuo prof . Alla fine , si trova che deve essere : $v_0 = sqrt(2gh)$ .
Si deve sparare la palla verso il basso con la stessa velocità che essa avrebbe, arrivando al suolo con caduta da fermo, per poterla far risalire fino ad $h$ .
La velocità di impatto col suolo è : $v =2sqrt(gh)$ .
"matteoorlandini":
Quando il pallone tocca il suolo, dal testo, so che l'energia cinetica è la metà quindi $(1/2mv_0^2)/2$.
No, non hai letto bene. Non la metà dell'energia cinetica INIZIALE, ma di quella che ha AL SUOLO. Gli devi sommare $mgh$.
Siccome ne perde metà, quella con cui riparte è $1/2*(1/2mv_0^2 + mgh)$. Siccome questa deve bastare a restituirgli l'energia potenziale $mgh$ basta uguagliare $1/2*(1/2mv_0^2 + mgh) = mgh$ da cui ricavi $v_0 = sqrt(2gh)$
Scusa Shackle, non ti avevo visto.
Grazie veramente Shackle e mgrau, molto precisi 
Nessun problema per le risposte doppie. Ciao .
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