Energia potenziale di 2 cariche libere di muoversi
Per calcolare l'energia potenziale posseduta da una carica elettrica immersa in un campo elettrico uniforme si utilizza la nota: $E_p = lim_(r->oo) int_(r_0 )^(r) F*dr $. Cosa succede però se consideriamo un sistema formato da due cariche elettriche poste su un piano in assenza di attrito, entrambe libere di muoversi? Non possiamo calcolare l'energia potenziale semplicemente come V*q, perché il campo elettrico varia con il variare della posizione relativa tra le cariche.
Conoscendo le condizioni iniziali di massa $m_a$ e $m_b$, le cariche $Q_A$ e $Q_B$, e la distanza iniziale $d$, è possibile calcolare l'energia potenziale rispettiva delle due cariche?
Considerando un problema in cui ho (come sopra) due cariche note, a distanza nota, che inizialmente si muovono allontanandosi rispettivamente a velocità iniziale nota, si chiede la velocità posseduta dalle due cariche a una distanza molto grande. Nella soluzione è impostata l'equazione che esprime la conservazione dell'energia come:
$1/2m_a*v_(0a)^2 + 1/2m_b*v_(0b)^2 + (Q_a*Q_b)/(R_a+R_b) = 1/2m_a*v_a^2 + 1/2m_b*v_b^(2)$.
Considera cioè che tutta l'energia potenziale posseduta dal sistema di due cariche si trasforma in energia cinetica. Come si ottiene però quella formulazione di energia potenziale elettrica?
grazie in anticipo!
Conoscendo le condizioni iniziali di massa $m_a$ e $m_b$, le cariche $Q_A$ e $Q_B$, e la distanza iniziale $d$, è possibile calcolare l'energia potenziale rispettiva delle due cariche?
Considerando un problema in cui ho (come sopra) due cariche note, a distanza nota, che inizialmente si muovono allontanandosi rispettivamente a velocità iniziale nota, si chiede la velocità posseduta dalle due cariche a una distanza molto grande. Nella soluzione è impostata l'equazione che esprime la conservazione dell'energia come:
$1/2m_a*v_(0a)^2 + 1/2m_b*v_(0b)^2 + (Q_a*Q_b)/(R_a+R_b) = 1/2m_a*v_a^2 + 1/2m_b*v_b^(2)$.
Considera cioè che tutta l'energia potenziale posseduta dal sistema di due cariche si trasforma in energia cinetica. Come si ottiene però quella formulazione di energia potenziale elettrica?
grazie in anticipo!
Risposte
up
Quel termine di "energia potenziale" non ha le dimensioni di un'energia, manca un fattore (un inverso della costante dielettrica del vuoto). A quel punto quel termine diventa esplicitamente l'energia potenziale del sistema delle due cariche (immagino che $R_a$ e $R_b$ siano le distanze delle cariche dall'origine delle coordinate).
e quella era la prima stranezza. L'altra cosa che non capisco, è che l'energia potenziale come usualmente definita (elettrica come gravitazionale) è calcolata assumendo una delle cariche fisse (ad esempio perché di massa/carica elettrica molto maggiore dell'altra massa/carica) e l'altra libera di muoversi. A quel punto si calcola il lavoro compiuto dalla distanza iniziale $r_0$ a una distanza infinita che si assume avente potenziale uguale a 0.
Ma quando come in questo caso non c'é uno dei due corpi fisso, ma entrambi si allontanano e quindi la forza che interagisce tra i due dipende in ogni istante dalla distanza reciproca che a sua volta è dipendente dalla forza occorsa fino a quell'istante, è lecito utilizzare la stessa formulazione? se sì, perché?
Ma quando come in questo caso non c'é uno dei due corpi fisso, ma entrambi si allontanano e quindi la forza che interagisce tra i due dipende in ogni istante dalla distanza reciproca che a sua volta è dipendente dalla forza occorsa fino a quell'istante, è lecito utilizzare la stessa formulazione? se sì, perché?
sì, vale in ogni istante di tempo. E' chiaro però che a questo punto $E_p=E_p(t)$, ovvero varia nel tempo. Può essere quindi complicato esplicitare la dipendenza dal tempo dell'energia potenziale e cinetica (la variabile tempo, nell'espressione integrale che hai scritto, figura sia nell'integranda che in un estremo di integrazione). Fortunatamente però spesso interessano i valori di queste energie nell'istante iniziale e finale del processo, come in questo caso!
I)ok, ma come si dimostra questo? voglio dire: nel ricavare quella formula si assume una carica fissa. Ma quando sono due le cariche che si muovono, di fatto il sistema non dovrebbe avere un'energia maggiore? Posso immaginare che il risultato sia coincidente, ma non mi sembra tanto ovvio, esisterà dunque un qualche teorema al riguardo suppongo?
II)
Riguardo l'espressione differenziale che sarebbe in grado di dare una descrizione dell'energia potenziale in funzione dell'istante di tempo, io ho tentato di ricavarla, ma probabilmente mi blocca o qualche errore o una conoscenza limitata delle equazioni differenziali:
Il problema cardine è che l'espressione dell'energia potenziale è: $E_p = int_(r_0)^(oo)vec(F_c)dvec(r_A)$ con $F_c$ la forza di coulomb e $r_A$ lo spazio percorso dalla carica A di cui voglio calcolare l'energia potenziale e $r_0$ la distanza iniziale tra le due cariche, da cui:
$|E_p| = 1/(4*pi*epsilon_0) * Q_1*Q_2 * int_(r_0)^(oo) 1/r_A^2 dr$
D'altra parte $r_A$, che rappresenta la distanza percorsa dalla carica di cui voglio calcolare l'energia potenziale, segue la legge oraria:
$r_A(t) = r_0 + v_0t + int_(0)^(t)a(t)dt = r_0+v_0t+int_(0)^(t) (F(t))/m_Adt = r_0+v_0t+(Q_AQ_B)/(4piepsilon_0m_A) * int_(0)^(t) 1/(r_A(t)+r_B(t))^2 dt $
Allo stesso modo posso ricavarmi la legge oraria di $r_B$, ed al di là che mi vengono i brividi a immaginare di unire le due formulazioni, mi sembra di entrare in un circolo vizioso, visto che ognuna delle distanze dipende da entrambe le distanze fino a quel momento... mi verrebbe da dire che vadano separate le variabili, ma avendo una somma lì al denominatore non sono proprio sicuro che sia fattibile quel metodo.
dove sbaglio?
II)
Riguardo l'espressione differenziale che sarebbe in grado di dare una descrizione dell'energia potenziale in funzione dell'istante di tempo, io ho tentato di ricavarla, ma probabilmente mi blocca o qualche errore o una conoscenza limitata delle equazioni differenziali:
Il problema cardine è che l'espressione dell'energia potenziale è: $E_p = int_(r_0)^(oo)vec(F_c)dvec(r_A)$ con $F_c$ la forza di coulomb e $r_A$ lo spazio percorso dalla carica A di cui voglio calcolare l'energia potenziale e $r_0$ la distanza iniziale tra le due cariche, da cui:
$|E_p| = 1/(4*pi*epsilon_0) * Q_1*Q_2 * int_(r_0)^(oo) 1/r_A^2 dr$
D'altra parte $r_A$, che rappresenta la distanza percorsa dalla carica di cui voglio calcolare l'energia potenziale, segue la legge oraria:
$r_A(t) = r_0 + v_0t + int_(0)^(t)a(t)dt = r_0+v_0t+int_(0)^(t) (F(t))/m_Adt = r_0+v_0t+(Q_AQ_B)/(4piepsilon_0m_A) * int_(0)^(t) 1/(r_A(t)+r_B(t))^2 dt $
Allo stesso modo posso ricavarmi la legge oraria di $r_B$, ed al di là che mi vengono i brividi a immaginare di unire le due formulazioni, mi sembra di entrare in un circolo vizioso, visto che ognuna delle distanze dipende da entrambe le distanze fino a quel momento... mi verrebbe da dire che vadano separate le variabili, ma avendo una somma lì al denominatore non sono proprio sicuro che sia fattibile quel metodo.
dove sbaglio?
up
Per semplificare la questione (credo):
La forza di coulomb è:
$F_q = 1/(4piepsilon_0) * Q_1Q_2 * int_(t)^(0) 1/d^2 dt = 1/(4piepsilon_0) * Q_1Q_2 *m* int_(t)^(0) 1/ (int int F dt)^2 dt$
In pratica sarebbe:
$ y = a int 1/(int int y dx dx)^2 dx $
Avrebbe senso tutto ciò? :S
La forza di coulomb è:
$F_q = 1/(4piepsilon_0) * Q_1Q_2 * int_(t)^(0) 1/d^2 dt = 1/(4piepsilon_0) * Q_1Q_2 *m* int_(t)^(0) 1/ (int int F dt)^2 dt$
In pratica sarebbe:
$ y = a int 1/(int int y dx dx)^2 dx $
Avrebbe senso tutto ciò? :S
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