Energia potenziale
Salve, qualcuno può spiegarmi perchè qui non è corretto usare la formula dell'energia potenziale $U=mgh$? La risposta al primo questito è $h=5r/2$, io invece avrei detto $h=2r$, e non riesco a capire il mio errore.
Grazie in anticipo
Grazie in anticipo
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Risposte
Semplicemente perché non può arrivare in C con velocità nulla. 
Non deve arrivare in C con velocità nulla, come dice RenzoDF, ma deve arrivarci stando attaccato alla guida, ossia, visto che si muove su una circonferenza, occorre che la accelerazione centripeta sia maggiore di g
Quindi $v^2/R > g => v^2 > gR => v > sqrt (gR)$ Ma v è anche $v = sqrt(2gh) => 2gh > gR => h > R/2$
dove qui h è l'altezza al di sopra di C, quindi, contando rispetto a B, $h = R(1/2 + 2) = 5/2R$
P.S.
E nota che, con h = 2R, in C non arriverebbe proprio, si staccherebbe prima, e in nessun punto avrebbe velocità nulla.
Esercizio: prova a trovare, se il punto cade da 2R, in quale punto si stacca dalla guida
Quindi $v^2/R > g => v^2 > gR => v > sqrt (gR)$ Ma v è anche $v = sqrt(2gh) => 2gh > gR => h > R/2$
dove qui h è l'altezza al di sopra di C, quindi, contando rispetto a B, $h = R(1/2 + 2) = 5/2R$
P.S.
E nota che, con h = 2R, in C non arriverebbe proprio, si staccherebbe prima, e in nessun punto avrebbe velocità nulla.
Esercizio: prova a trovare, se il punto cade da 2R, in quale punto si stacca dalla guida
Sono un attimo in crisi, prima di tutto non capisco perchè deve essere l $a_c>g$, visto che spinge al centro, appena il corpo supera $pi/2$ dovrebbe a maggior ragione cadere al centro visto che ha la stessa direzione di $g$ (?), e secondo, per l'esercizio da te datomi, non riesco a capire come usare i dati, visto che non posso usare l'integrale dell'energia potenziale, dato che la forza centripeta ha sempre lavoro nullo. Correggimi se sbaglio
Ps: attraverso le formule che anche tu hai usato, mi sono calcolato $omega$, e quindi l'idea era di mettere tutto nella legge oraria del moto circolare, ma l'accelerazione tangenziale($alpha$) dipende da $theta$, e quindi ho 3 variabili. Probabilmente mi sto incasinando per niente, ma vorrei capire a fondo sia la parte sulle forze, che come usarle sul moto circolare.
Ps: attraverso le formule che anche tu hai usato, mi sono calcolato $omega$, e quindi l'idea era di mettere tutto nella legge oraria del moto circolare, ma l'accelerazione tangenziale($alpha$) dipende da $theta$, e quindi ho 3 variabili. Probabilmente mi sto incasinando per niente, ma vorrei capire a fondo sia la parte sulle forze, che come usarle sul moto circolare.
Perchè il punto stia attaccato alla rotaia, occorre che la rotaia lo SPINGA verso il centro; del resto la rotaia non può TIRARE, è un vincolo unilaterale.
Allora, se la rotaia spinge, vuol dire che l'accelerazione centripeta RICHIESTA è maggiore di quella fornita dal peso (che, passati i $pi/2$ spinge verso il centro, mentre prima spinge in fuori), cioè l'accelerazione centripeta è formata da due termini concordi, la gravità - che conta per $g sin theta$ - e la reazione della rotaia, positiva, verso il centro; da qui il fatto che $a_c > g sin theta$.
Per l'esercizio proposto, potresti ragionare così:
se il corpo cade dall'altezza di C, tu puoi conoscere la velocità in funzione di $theta$: ti devi chiedere: per quale valore di $theta$ la reazione della rotaia (differenza fra $V^2/r$ e $g sin theta$) diventa zero?
Allora, se la rotaia spinge, vuol dire che l'accelerazione centripeta RICHIESTA è maggiore di quella fornita dal peso (che, passati i $pi/2$ spinge verso il centro, mentre prima spinge in fuori), cioè l'accelerazione centripeta è formata da due termini concordi, la gravità - che conta per $g sin theta$ - e la reazione della rotaia, positiva, verso il centro; da qui il fatto che $a_c > g sin theta$.
Per l'esercizio proposto, potresti ragionare così:
se il corpo cade dall'altezza di C, tu puoi conoscere la velocità in funzione di $theta$: ti devi chiedere: per quale valore di $theta$ la reazione della rotaia (differenza fra $V^2/r$ e $g sin theta$) diventa zero?
Allora, premetto che la spiegazione data sopra non mi ha ancora convinto(grazie comunque per averci provato, fatico io in queste cose purtroppo), mentre per l'esercizio, ho usato un'altra via, e non quella da te indicatami:
Sapendo che tutte le forze in gioco sono conservative, so che $E_(ki)+E_(pi)=E_(kf)+E_(pf)$, $E_(ki)=0$, in quanto all'inizio il corpo in quanto ferma ha energia cinetica nulla, quindi ho che $mgh_a=1/2mv^2+mgh_f$ ($h_a$ altezza iniziale, 2r in questo caso; $h_f$ altezza finale), avendo $v^2=gr$ e svolgendo ho che $h_f=3/2r$ e quindi $theta=2/3pi$. Può andare o sono completamente fuori?
Sapendo che tutte le forze in gioco sono conservative, so che $E_(ki)+E_(pi)=E_(kf)+E_(pf)$, $E_(ki)=0$, in quanto all'inizio il corpo in quanto ferma ha energia cinetica nulla, quindi ho che $mgh_a=1/2mv^2+mgh_f$ ($h_a$ altezza iniziale, 2r in questo caso; $h_f$ altezza finale), avendo $v^2=gr$ e svolgendo ho che $h_f=3/2r$ e quindi $theta=2/3pi$. Può andare o sono completamente fuori?
Ma non devi trovare l'altezza finale, devi trovare il punto di distacco dalla rotaia, che non è la stessa cosa.
E poi, sarebbe più chiaro se indicassi il procedimento in forma discorsiva, in modo da poter seguire il ragionamento, che dalla sole formule non salta fuori - o magari sono io che non lo vedo
Infine, se mi spieghi cosa non ti convince, posso riprovarci...
E poi, sarebbe più chiaro se indicassi il procedimento in forma discorsiva, in modo da poter seguire il ragionamento, che dalla sole formule non salta fuori - o magari sono io che non lo vedo
Infine, se mi spieghi cosa non ti convince, posso riprovarci...
Di quello che mi hai spiegato, credo di averne capito un pezzo, dove dici che l'accelerazione centripeta è data dal vincolo, che in qualche maniera potrei vederla come la reazione normale in un piano (giusto?) che si contrappone alla forza peso come tu hai detto; ma anche da come l'hai scritto prima, non riesco a capire dopo i $pi/2$, li la forza pesa tira all'esterno e la centripeta sempre all'interno(come da definizione)? Un esercizio simile l'ho svolto sui piani inclinati con successo, quindi penso siano proprio i miei buchi in fatto di coordinate polari insieme alla dinamica delle forze che non mi fanno fare il passo per capire.
Rinnovo i ringraziamenti per la pazienza e l'aiuto.
Rinnovo i ringraziamenti per la pazienza e l'aiuto.
Ok forse ho capito dove sbagliavo, usando le formule che ho scritto prima calcolavo il punto più alto raggiunto dal corpo, ma è sbagliato, perchè dopo che il corpo si stacca dalla guida sale ancora un pò. Quindi sempre partendo dalla formula scritta sopra, ho che $E_pf=mgr+mgsin(theta)$, che sarebbe l'energia potenziale della normale, cioè quella che spinge al centro, sommata alla forza peso. È corretto?
@mgrau
@mgrau
"plinko1":
Ok forse ho capito dove sbagliavo, usando le formule che ho scritto prima calcolavo il punto più alto raggiunto dal corpo, ma è sbagliato, perchè dopo che il corpo si stacca dalla guida sale ancora un pò. Quindi sempre partendo dalla formula scritta sopra, ho che $E_pf=mgr+mgsin(theta)$, che sarebbe l'energia potenziale della normale, cioè quella che spinge al centro, sommata alla forza peso. È corretto?
@mgrau
E' vero che nessuno ci ha detto che il corpo si stacca nel punto più alto, però devo dire che non ho capito il tuo procedimento. Inoltre quel che scrivi "energia potenziale della normale" mi sembra un'espressione non molto significativa...
Credo di essermi espresso molto male nell'ultima parte, complice anche il fatto che l'ho scritto di fretta e che probabilmente ho molta confusione in testa. Intanto volevo sapere una cosa, il metodo di approccio basato sulla conservazione dell'energia è giusto per svolgere l'esercizio che mi hai proposto? In ogni caso quel $E_(pf)=mgh$, solo che in questo caso $h=r+rsin(theta)$, che sarebbe l'altezza in cui deve arrivare. Scrivo così perchè per $theta=0$ ho l'altezza $r$, in quanto nel mio sistema di riferimento l'angolo theta è l'angolo compreso tra l'asse parallelo all'asse x passante per il centro della circonferenza, e la retta che passa per il centro e il punto in cui il corpo si stacca.
Usare la conservazione dell'energia può servirti per trovare la velocità nei vari punti della rotaia, ma se vuoi sapere dove si stacca devi guardare alla reazione della rotaia, dove diventa zero, e qui direi che l'energia non ti serve molto
Continuo a non capire fino a fondo. Dovrei usare l'energia potenziale per calcolare la velocità fino all'inizio della semicirconferenza, per poi usarla come velocità angolare nella legge oraria? Derivo 2 volte e vedo a che t la reazione si annulla, metto quel t nella legge iniziale e trovo l'angolo theta dove appunto il corpo si stacca?
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