Energia immagazzinata da un condensatore piano
Ciao a tutti!
Sto studiando in fisica l'energia immagazzinata nel campo elettrostatico di un condensatore piano e c'è un punto che non riesco a capire.
Citando testualmente il Mazzoldi: "Per eseguire il calcolo, possiamo immaginare che la carica di un condensatore avvenga sottraendo, tramite un agente esterno, una carica dq dall'armatura negativa e portandola sull'armatura positiva, così che alla fine una carica +q è stata trasferita da un'armatura all'altra, lasciando la prima con una carica -q". Sulla base di questo, poi, calcola l'energia immagazzinata come prodotto di carica $q$ per differenza di potenziale $\DeltaV$ fra le armature.
Ora, ciò che non capisco è: se io ho un condensatore e applico ai suoi morsetti una differenza di potenziale $\DeltaV$, come fa la carica a passare da un'armatura all'altra? Un condensatore piano non è altro che un sistema composto da due conduttori separati, per cui mi aspetto che per effetto della differenza di potenziale $(V+)-(V-)$ su ciascuno dei due conduttori si formi un accumulo di carica opposta (come nell'immagine), ovvero:
- un $+q$ lungo l'armatura e un $-q$ in prossimità del morsetto per quanto riguarda l'armatura positiva;
- un $-q$ lungo l'armatura e un $+q$ in prossimità del morsetto per quanto riguarda l'armatura negativa.
Non riesco quindi a capire come la carica possa trasferirsi da un'armatura all'altra se i due conduttori che compongono il condensatore non sono necessariamente collegati, e di conseguenza come possa compiersi lavoro visto che in un conduttore isolato la differenza di potenziale fra due punti interni qualsiasi è pari a 0.
L'unica ipotesi che ho fatto è che la carica che si allontana dalle armature poi fluisca nello strumento\i con il quale si è applicata la differenza di potenziale, lasciando il resto della carica in prossimità delle armature, ma anche in tal caso non mi è chiaro come venga compiuto il lavoro.
Grazie in anticipo!
Sto studiando in fisica l'energia immagazzinata nel campo elettrostatico di un condensatore piano e c'è un punto che non riesco a capire.
Citando testualmente il Mazzoldi: "Per eseguire il calcolo, possiamo immaginare che la carica di un condensatore avvenga sottraendo, tramite un agente esterno, una carica dq dall'armatura negativa e portandola sull'armatura positiva, così che alla fine una carica +q è stata trasferita da un'armatura all'altra, lasciando la prima con una carica -q". Sulla base di questo, poi, calcola l'energia immagazzinata come prodotto di carica $q$ per differenza di potenziale $\DeltaV$ fra le armature.
Ora, ciò che non capisco è: se io ho un condensatore e applico ai suoi morsetti una differenza di potenziale $\DeltaV$, come fa la carica a passare da un'armatura all'altra? Un condensatore piano non è altro che un sistema composto da due conduttori separati, per cui mi aspetto che per effetto della differenza di potenziale $(V+)-(V-)$ su ciascuno dei due conduttori si formi un accumulo di carica opposta (come nell'immagine), ovvero:
- un $+q$ lungo l'armatura e un $-q$ in prossimità del morsetto per quanto riguarda l'armatura positiva;
- un $-q$ lungo l'armatura e un $+q$ in prossimità del morsetto per quanto riguarda l'armatura negativa.
Non riesco quindi a capire come la carica possa trasferirsi da un'armatura all'altra se i due conduttori che compongono il condensatore non sono necessariamente collegati, e di conseguenza come possa compiersi lavoro visto che in un conduttore isolato la differenza di potenziale fra due punti interni qualsiasi è pari a 0.
L'unica ipotesi che ho fatto è che la carica che si allontana dalle armature poi fluisca nello strumento\i con il quale si è applicata la differenza di potenziale, lasciando il resto della carica in prossimità delle armature, ma anche in tal caso non mi è chiaro come venga compiuto il lavoro.
Grazie in anticipo!
Risposte
"max85":
se io ho un condensatore e applico ai suoi morsetti una differenza di potenziale $\DeltaV$, come fa la carica a passare da un'armatura all'altra?
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Non riesco quindi a capire come la carica possa trasferirsi da un'armatura all'altra se i due conduttori che compongono il condensatore non sono necessariamente collegati,
Applicare ai suoi morsetti una ddp significa collegarlo a un generatore; i conduttori che compongono il condensatore SONO necessariamente collegati.
Non potrei portare ciascuno dei due morsetti ad un certo potenziale con due strumenti diversi? Ad esempio con due power supply diversi, uno a 5V e l'altro a -5V?
"max85":
Non potrei portare ciascuno dei due morsetti ad un certo potenziale con due strumenti diversi? Ad esempio con due power supply diversi, uno a 5V e l'altro a -5V?
Magari anche sì, se vuoi complicare le cose.
Ma non ho capito bene qual è il problema. Cosa vuoi dimostrare? Ovvero, cosa non si capisce?
"max85":
tramite un agente esterno
Rileggendo più attentamente in effetti il Mazzoldi parla esplicitamente di trasporto di carica sull'altra armatura tramite un agente esterno, questo fa pensare che si ponga nel caso con un generatore di tensione come dicevi tu.
"mgrau":
Ovvero, cosa non si capisce?
A questo punto quindi l'incomprensione diventa solo curiosità
: mi chiedo solo come la carica possa fluire sull'altra armatura nel caso più generale possibile, quindi senza necessariamente la presenza un generatore che chiuda il circuito.
"max85":
mi chiedo solo come la carica possa fluire sull'altra armatura nel caso più generale possibile, quindi senza necessariamente la presenza un generatore che chiuda il circuito.
Direi che, se sono materialmente LE STESSE cariche che si trovano su un'armatura a trasferirsi sull'altra, allora il percorso medesimo delle cariche costituisce la chiusura del circuito: naturalmente occorre spendere del lavoro per accompagnare le cariche in questo percorso: pensa al generatore di Van de Graaff, in cui le cariche sono materialmente trasportate su una cinghia in movimento.
Però, ora che mi ci fai pensare, potrebbe anche non essere così: si potrebbero sottrarre cariche da una armatura, e mandarle chissà dove; e prendere altre cariche da UN ALTRO chissà dove e metterle sull'altra armatura. Alla fine il lavoro sarà, suppongo, lo stesso, ma forse va analizzato un po' meglio
"mgrau":
Direi che, se sono materialmente LE STESSE cariche che si trovano su un'armatura a trasferirsi sull'altra, allora il percorso medesimo delle cariche costituisce la chiusura del circuito: naturalmente occorre spendere del lavoro per accompagnare le cariche in questo percorso: pensa al generatore di Van de Graaff, in cui le cariche sono materialmente trasportate su una cinghia in movimento.
Si, in effetti in questo caso ci sono pochi dubbi, l'esempio del generatore di Van de Graaff lo rende ancora più chiaro. E' il generatore che compie lavoro riportando l'elettrone nelle condizioni iniziali di energia potenziale.
"mgrau":
si potrebbero sottrarre cariche da una armatura, e mandarle chissà dove; e prendere altre cariche da UN ALTRO chissà dove e metterle sull'altra armatura.
Esattamente, è proprio questa l'idea
"mgrau":
Alla fine il lavoro sarà, suppongo, lo stesso
Si, intuitivamente direi di si, stavo riflettendo a una spiegazione più razionale. Il punto è che l'inserimento di un generatore nel circuito produce due effetti simultanei e complementari:
- la produzione di una differenza di potenziale (che prima non c 'era), in virtù della quale le cariche negative fluiscono da potenziale minore a potenziale maggiore e le positive viceversa (lavoro della forza elettrica positivo);
- la continua trasformazione di energia chimica (interna al generatore) in energia potenziale elettrica che permette all'elettrone di "ricominciare il giro" riportandolo ad un livello basso di potenziale, difatti questo lavoro della forza elettrica è negativo.
In assenza del generatore, invece, ovvero nel caso di cui stiamo parlando, abbiamo solo uno di questi due effetti nel sistema che osserviamo, cioè il primo, la produzione di una differenza di potenziale che allontana gli elettroni dall'armatura che sarà positiva portandoli chissà dove e na fa fluire di "nuovi" sull'armatura che invece sarà negativa. In questo caso l'informazione che manca quindi è: chi porta gli elettroni che fluiranno sull'armatura negativa (e le cariche positive che fluiranno su quella positiva) al potenziale in cui sono? Chi compie il lavoro negativo? La risposta probabile è che chiunque lo faccia è al di fuori del sistema che stiamo osservando. In più, se pensiamo ad esempio al caso di un condensatore con un'armatura collegata al polo positivo di una pila e l'altra al polo negativo di un'altra pila, da ciò che mi è sembrato di capire cercando un po' su internet non vi sarà alcun passaggio di corrente, perché la reazione chimica interna alla pila non parte. Ti allego un link interessante.
https://physics.stackexchange.com/quest ... inal-of-an
Direi che qualcosa non va nel tuo ragionamento, quando dici
Non è così: quando colleghi la pila, delle cariche si spostano da un'armatura all'altra, ma CONTRO la differenza di potenziale; le forze elettriche compiono un lavoro NEGATIVO, a spese del generatore. Tant'è vero che se unisci con un filo le due armature le cariche tornano INDIETRO, stavolta sì obbedendo alle forze elettriche.
Per capire il bilancio energetico, nel caso senza generatore, pensiamo a a un condensatore sferico. Per es. prima carichiamo la sfera interna, di raggio $R_1$, togliendo $+q$ e portandola all'infinito. Nasce un campo dovuto alla carica $-q$ sulla sfera$R_1$. Dobbiamo compiere un lavoro positivo, corrispondente all'energia del campo. Sulla sfera esterna abbiamo la separazione $-q$ all'interno e $-q$ all'esterno, senza effetti sul campo. Poi togliamo la carica $+q$ dalla sfera $R_2$. Il campo fra le due resta uguale, il campo esterno si azzera, per cui l'energia totale diminuisce, il lavoro compiuto è negativo.
Analogo idraulico: pensa un tubo a U, con acqua livellata ad altezza $h$, e un rubinetto sul ramo orizzontale.
Chiudiamo il rubinetto. Aggiungiamo una massa $m$ da un lato, il livello cresce, e arriva a $h + Deltah$. Si compie del lavoro per alzare la massa $m$ all'altezza $h$ (immaginiamo di pescare l'acqua dal livello base).
Ora togliamo la stessa quantità $m$ dall'altro lato. Il livello diventa $h - Deltah$. Lavoro negativo, in modulo minore del precedente, per cui il lavoro totale compiuto è positivo. Ora nel tubo c'è la stessa quantità d'acqua che c'era inizialmente, quindi è come se avessimo pompato la quantità $m$ da un lato all'altro, lo stato del sistema nei due casi è lo stesso, e il lavoro compiuto nei due casi è lo stesso.
"max85":
l'inserimento di un generatore nel circuito produce due effetti simultanei e complementari:
- la produzione di una differenza di potenziale (che prima non c 'era), in virtù della quale le cariche negative fluiscono da potenziale minore a potenziale maggiore e le positive viceversa (lavoro della forza elettrica positivo);
Non è così: quando colleghi la pila, delle cariche si spostano da un'armatura all'altra, ma CONTRO la differenza di potenziale; le forze elettriche compiono un lavoro NEGATIVO, a spese del generatore. Tant'è vero che se unisci con un filo le due armature le cariche tornano INDIETRO, stavolta sì obbedendo alle forze elettriche.
Per capire il bilancio energetico, nel caso senza generatore, pensiamo a a un condensatore sferico. Per es. prima carichiamo la sfera interna, di raggio $R_1$, togliendo $+q$ e portandola all'infinito. Nasce un campo dovuto alla carica $-q$ sulla sfera$R_1$. Dobbiamo compiere un lavoro positivo, corrispondente all'energia del campo. Sulla sfera esterna abbiamo la separazione $-q$ all'interno e $-q$ all'esterno, senza effetti sul campo. Poi togliamo la carica $+q$ dalla sfera $R_2$. Il campo fra le due resta uguale, il campo esterno si azzera, per cui l'energia totale diminuisce, il lavoro compiuto è negativo.
Analogo idraulico: pensa un tubo a U, con acqua livellata ad altezza $h$, e un rubinetto sul ramo orizzontale.
Chiudiamo il rubinetto. Aggiungiamo una massa $m$ da un lato, il livello cresce, e arriva a $h + Deltah$. Si compie del lavoro per alzare la massa $m$ all'altezza $h$ (immaginiamo di pescare l'acqua dal livello base).
Ora togliamo la stessa quantità $m$ dall'altro lato. Il livello diventa $h - Deltah$. Lavoro negativo, in modulo minore del precedente, per cui il lavoro totale compiuto è positivo. Ora nel tubo c'è la stessa quantità d'acqua che c'era inizialmente, quindi è come se avessimo pompato la quantità $m$ da un lato all'altro, lo stato del sistema nei due casi è lo stesso, e il lavoro compiuto nei due casi è lo stesso.
"mgrau":
Non è così: quando colleghi la pila, delle cariche si spostano da un'armatura all'altra, ma CONTRO la differenza di potenziale; le forze elettriche compiono un lavoro NEGATIVO, a spese del generatore.
Ma quindi questo non avviene solo nel generatore? Mi spiego meglio.
Poniamo che per $t<0$ il nostro condensatore sia staccato dal generatore e sia ovunque a potenziale 0. Abbiamo dunque che le cariche sono uniformemente distribuite su tutto il volume di ciascuno dei due conduttori che formano il condensatore piano. In particolare analizziamo il comportamento di un elettrone $e$ che per $t<0$ si trova casualmente sull'armatura superiore (come in figura). Se in $t=0$ colleghiamo il generatore, l'elettrone in questione fluisce verso il polo positivo del generatore e, dato che si muove, vuol dire che sta convertendo energia potenziale elettrica in energia cinetica, dunque fra la sua posizione iniziale e il polo positivo del generatore vi è temporaneamente una differenza di potenziale, altrimenti non si muoverebbe. Questa differenza di potenziale temporanea $\DeltaV$ è proprio la differenza tra il potenziale del polo positivo del generatore $V_{g+}$ e il potenziale a cui inizialmente si trovava l'elettrone, ovvero $V_0=0$; questo vuol dire lavoro della forza elettrica positivo (in figura $W_1>0$).
A questo punto, l'elettrone attraversa il generatore, passando dal suo dal polo positivo al suo polo negativo: la differenza di potenziale $(V_{g-})-(V_{g+})$ in questo caso sarà negativa, ciò implica un lavoro negativo della forza elettrica ($W_g$ in figura).
L'ultimo tragitto che rimane da compiere all'elettrone per raggiungere l'altra armatura del condensatore piano è quello tra il polo negativo del generatore e l'armatura stessa: in questo caso, affinché l'elettrone si muova, è necessario che vi sia una differenza di potenziale tra i due estremi del tragitto; questa differenza di potenziale sarà proprio $(V_0)-(V_{g-})$, sarà positiva e avremo quindi ancora una volta lavoro positivo della forza elettrica ($W_2$ in figura).
Istintivamente mi viene di fondare questo discorso sulla legge di conservazione dell'energia, secondo cui l'energia totale di un sistema isolato rimane invariata nel tempo (questo spiegherebbe l'alternarsi di lavori positivi e negativi).
Ho pensato anche al classico esempio della montagna con la pista da sci in cui gli sciatori, scendendo, convertono energia potenziale gravitazionale in energia cinetica; la seggiovia, quindi, li riporta in alto dalla base della montagna trasformando l'energia del suo motore in energia potenziale gravitazionale.
Ciò che ho detto ha un senso? Se no, dove ho sbagliato precisamente?
non so, sono un po' confuso. Sicuramente c'è qualcosa che non va quando dici che l'elettrone passa da una armatura all'altra. In realtà tutta la massa di elettroni si sposta da una armatura verso l'altra di una quantità piccolissima. Fai conto che nel rame, per es, 1 grammo contiene elettroni per $3.1*10^5 C$, se non ho sbagliato i conti, e se hai le armature di $1cm^2$, se vuoi spostare $1muC$, la massa di elettroni si sposta di $3*10^-11 cm$, sempre se non ho sbagliato i conti.
Poi ti suggerisco di pensare al modello idraulico, che in questo campo va benone, e che è sicuramente più familiare. Quindi un tubo a U, una pompa sul ramo orizzontale che, quando accesa,sposta una certa quantità d'acqua da un ramo all'altro fino all'equilibrio per un certo dislivello. Anche qui, non c'è poca acqua che si sposta materialmente da un tubo all'altro: tutta la massa si sposta, di molto poco. Qui i ragionamenti energetici sono molto semplici.
Poi ti suggerisco di pensare al modello idraulico, che in questo campo va benone, e che è sicuramente più familiare. Quindi un tubo a U, una pompa sul ramo orizzontale che, quando accesa,sposta una certa quantità d'acqua da un ramo all'altro fino all'equilibrio per un certo dislivello. Anche qui, non c'è poca acqua che si sposta materialmente da un tubo all'altro: tutta la massa si sposta, di molto poco. Qui i ragionamenti energetici sono molto semplici.
Ah, ho capito. Va bene, grazie mille del supporto! 
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