Energia immagazzinata da un condensatore in regime transitor
Energia immagazzinata da un condensatore in regime transitorio
Mi è stato proposto il seguente quesito.
Determinare l'energia accumulata da un condensatore di capacità C, inizialmente scarico, che si carica attraverso una f.e.m. pari ad E in serie ad una resistenza di valore R. Il calcolo va eseguito nei due casi distinti:
a. dopo un tempo pari a $tau$;
b. al termine del processo di carica.
Ho pensato di risolverlo nel seguente modo.
Posto che l'energia istantanea dovuta al campo elettrostatico presente ai capi del condensatore è pari a:
$w(t)=1/2CV^2$
e che la legge matematica con cui varia la tensione ai capi del condensatore è esponenziale e di tipo:
$v(t)=E(1-e^(-t/tau))$
(naturalmente a condizioni iniziali nulle)
e sapendo che la corrente circolante nel condensatore è legata alla tensione ai capi del medesimo dalla relazione differenziale:
$i=C(dv)/(dt)$
risolvo nel segunte modo;
caso a)
$W=int_{0}^{tau} p(t)dt=int_{0}^{tau} vC(dv)/(dt)dt=Cint_{0}^{tau} vdv=1/2Cv^2$
qui, però, chiedo lumi al forum in quanto ho più di qualche dubbio. Un primo dubbio ce l'ho sugli estremi di integrazione che, credo, debbano essere modificati passando dalla variabile t alla variabile v. L'estremo superiore, in particolare, dovrebbe modificarsi col valore assunto da v quando $t=tau$. E, allo stesso modo, per l'estremo inferiore (che date le condizioni iniziali indicate dovrebbe rimanere 0).
In tal caso si dovrebbe ottenere:
$W=1/2C(E-Ee^-1)^2$
Mi fermo qui prima di esaminare il caso b).
Mi è stato proposto il seguente quesito.
Determinare l'energia accumulata da un condensatore di capacità C, inizialmente scarico, che si carica attraverso una f.e.m. pari ad E in serie ad una resistenza di valore R. Il calcolo va eseguito nei due casi distinti:
a. dopo un tempo pari a $tau$;
b. al termine del processo di carica.
Ho pensato di risolverlo nel seguente modo.
Posto che l'energia istantanea dovuta al campo elettrostatico presente ai capi del condensatore è pari a:
$w(t)=1/2CV^2$
e che la legge matematica con cui varia la tensione ai capi del condensatore è esponenziale e di tipo:
$v(t)=E(1-e^(-t/tau))$
(naturalmente a condizioni iniziali nulle)
e sapendo che la corrente circolante nel condensatore è legata alla tensione ai capi del medesimo dalla relazione differenziale:
$i=C(dv)/(dt)$
risolvo nel segunte modo;
caso a)
$W=int_{0}^{tau} p(t)dt=int_{0}^{tau} vC(dv)/(dt)dt=Cint_{0}^{tau} vdv=1/2Cv^2$
qui, però, chiedo lumi al forum in quanto ho più di qualche dubbio. Un primo dubbio ce l'ho sugli estremi di integrazione che, credo, debbano essere modificati passando dalla variabile t alla variabile v. L'estremo superiore, in particolare, dovrebbe modificarsi col valore assunto da v quando $t=tau$. E, allo stesso modo, per l'estremo inferiore (che date le condizioni iniziali indicate dovrebbe rimanere 0).
In tal caso si dovrebbe ottenere:
$W=1/2C(E-Ee^-1)^2$
Mi fermo qui prima di esaminare il caso b).
Risposte
La $1/2Cv^2$ è sempre vera, basta che tu metta la posto di v il valore raggiunto al tempo che tu hai stabilito. Mi pare che tu stia procedendo bene.
Allora questo significa che l'energia immagazzinata da un condensatore non dipende dal "modo" con cui una tensione raggiunge un determinato valore (nel caso in esame con legge esponenziale), ma solo dal valore finale.
E, se è così, il caso b si dovrebbe risolvere in questo modo:
posto che al termine del processo di carica la d.d.p. raggiunta tra le armature del condensatore è pari ad E avremo, in questo caso:
$W=1/2CE^2$
E, se è così, il caso b si dovrebbe risolvere in questo modo:
posto che al termine del processo di carica la d.d.p. raggiunta tra le armature del condensatore è pari ad E avremo, in questo caso:
$W=1/2CE^2$
Giusto. Bene così. 
Grazie.
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