Energia elettrostatica
Buongiorno a tutti, sto svolgendo questo esercizio e non mi tornano i conti:
Il mio ragionamento è il seguente:
so che l'energia immagazzinata in un certo volume V in cui è presente un campo elettrico $\vec E$ è $U=1/2\epsilon_0\int_VE^2dV$.
Calcolo il campo elettrico generato dalla sferetta mediante teorema di Gauss, ottenendo: $E=Q/(4\pi\epsilon_0\R^2)$.
Il volume infinitesimo è dato da: $dV=Sdr=4\piR^2dR$.
Sostituendo le espressioni del campo elettrico e del volume esce il risultato $4,5kJ$. Qualcuno mi saprebbe dire dove sia il mio errore?
Grazie mille
Il mio ragionamento è il seguente:
so che l'energia immagazzinata in un certo volume V in cui è presente un campo elettrico $\vec E$ è $U=1/2\epsilon_0\int_VE^2dV$.
Calcolo il campo elettrico generato dalla sferetta mediante teorema di Gauss, ottenendo: $E=Q/(4\pi\epsilon_0\R^2)$.
Il volume infinitesimo è dato da: $dV=Sdr=4\piR^2dR$.
Sostituendo le espressioni del campo elettrico e del volume esce il risultato $4,5kJ$. Qualcuno mi saprebbe dire dove sia il mio errore?
Grazie mille
Risposte
Penso che il trucco stia nella parola "isolante", per cui direi che si dovrebbe pensare alla carica distribuita in modo uniforme su tutto il volume della sfera (anche se questo furbescamente non viene detto).
Quello che hai calcolato è l'energia del campo esterno alla sfera, ma devi aggiungere anche quella del campo interno, che varia linearmente con il raggio.
Quello che hai calcolato è l'energia del campo esterno alla sfera, ma devi aggiungere anche quella del campo interno, che varia linearmente con il raggio.
Proprio così, non viene detto "sulla superficie di una sfera", ma solo, "su una sfera".
"mgrau":
devi aggiungere anche quella del campo interno, che varia linearmente con il raggio.
So di perdermi in un bicchier d'acqua, ma mi sono bloccato ancora.
Per calcolare l'energia potenziale del campo interno alla sfera devo usare il teorema di Gauss, considerando come superficie una qualunque sfera di raggio $r
"mgrau":
si dovrebbe pensare alla carica distribuita in modo uniforme su tutto il volume della sfera
Poiché $\rho=Q/(4/3\piR^3$ e $V=4/3\pir^3$, si ottiene: $Q(r)=Qr^3/(R^3)=Qr^3$, dato che $R=1m$, perciò: $E(r)=Qr^3/(4\pi\epsilon_0r^2)=Qr/(4\pi\epsilon_0)$.
Arrivato a questo punto non capisco come continuare perché non riesco ad esprimere $r$ diversamente
Procedi esattamente come prima:
dove ora il campo ha la forma $E = Q/R^3*r/(4piepsi_0)$ ($R^3$ lo devi lasciare, altrimenti le dimensioni vanno a farsi benedire) , il $dV$ è come prima, $dV = 4pir^2dr$ e l'integrale va fatto da 0 a $R$
"Fabbioo":
so che l'energia immagazzinata in un certo volume V in cui è presente un campo elettrico $\vec E$ è $U=1/2\epsilon_0\int_VE^2dV$.
dove ora il campo ha la forma $E = Q/R^3*r/(4piepsi_0)$ ($R^3$ lo devi lasciare, altrimenti le dimensioni vanno a farsi benedire) , il $dV$ è come prima, $dV = 4pir^2dr$ e l'integrale va fatto da 0 a $R$
Sono riuscito a venirne a capo finalmente. Ti chiedo solo se puoi controllare la correttezza dei seguenti passaggi logici della seconda parte dell'esercizio, cioè quella riguardante il calcolo dell'energia del campo elettrico all'interno della sfera:
Vale la relazione $U=1/2\epsilon_0\int_VE^2dV\rightarrow$ devo esplicitare E e dV.
Per il teorema di Gauss vale: $E(r)=(Q(r))/(4\pi\epsilon_0r^2)$ calcolo $Q(r)$.
Poiché si può assumere che la densità di carica sia costante, si ha: $Q(r)=\rhoV=...=Qr^3/(R^3)$.
Sostituendo l'espressione di $Q(r)$ in quella di $E(r)$ si ottiene $E(r)=...=Q/(R^3)r/(4\pi\epsilon_0)$.
Manca ancora da esplicitare dV: $dV=4\pir^2dr$.
Quindi, in definitiva:
$U=1/2\epsilon_0\int_0^RQ^2/(R^6)r^2/((4\pi)^2\epsilon_0^2)4\pir^2dr=1/2\epsilon_0Q^2/(R^6)1/(4\pi\epsilon_0^2)\int_0^Rr^4dr=1/2Q^2/(R^6)1/(4\pi\epsilon_0)R^5/5~=898V$
Nella confusione generale ho pensato di toglierlo per semplificare visivamente l'espressione, valendo $R=1$
Inoltre, una domanda che mi è venuta nello svolgimento: è giusto che l'integrale esteso a tutto il volume della sfera sia diventato un integrale definito tra $0$ e $R$?
Ti ringrazio della pazienza mrgrau
Vale la relazione $U=1/2\epsilon_0\int_VE^2dV\rightarrow$ devo esplicitare E e dV.
Per il teorema di Gauss vale: $E(r)=(Q(r))/(4\pi\epsilon_0r^2)$ calcolo $Q(r)$.
Poiché si può assumere che la densità di carica sia costante, si ha: $Q(r)=\rhoV=...=Qr^3/(R^3)$.
Sostituendo l'espressione di $Q(r)$ in quella di $E(r)$ si ottiene $E(r)=...=Q/(R^3)r/(4\pi\epsilon_0)$.
Manca ancora da esplicitare dV: $dV=4\pir^2dr$.
Quindi, in definitiva:
$U=1/2\epsilon_0\int_0^RQ^2/(R^6)r^2/((4\pi)^2\epsilon_0^2)4\pir^2dr=1/2\epsilon_0Q^2/(R^6)1/(4\pi\epsilon_0^2)\int_0^Rr^4dr=1/2Q^2/(R^6)1/(4\pi\epsilon_0)R^5/5~=898V$
"mgrau":
R3 lo devi lasciare, altrimenti le dimensioni vanno a farsi benedire
Nella confusione generale ho pensato di toglierlo per semplificare visivamente l'espressione, valendo $R=1$
Inoltre, una domanda che mi è venuta nello svolgimento: è giusto che l'integrale esteso a tutto il volume della sfera sia diventato un integrale definito tra $0$ e $R$?
Ti ringrazio della pazienza mrgrau
"Fabbioo":
Quindi, in definitiva:
$U=...898V$
Volt? Saranno Joule...
"Fabbioo":
Inoltre, una domanda che mi è venuta nello svolgimento: è giusto che l'integrale esteso a tutto il volume della sfera sia diventato un integrale definito tra $0$ e $R$?
Se vari il raggio da 0 e R non consideri tutto il volume della sfera?
"mgrau":
Volt? Saranno Joule...
Errore di battitura, ero più concentrato sullo scrivere bene le formule
"mgrau":
Se vari il raggio da 0 e R non consideri tutto il volume della sfera?
Perfetto, domanda stupida la mia
Ti suggerisco di determinare quell'energia anche con un metodo alternativo. 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo