Energia elettrostatica
Salve a tutti,
stavo studiando l'energia elettrostatica, in particolare stavo calcolando l'energia elettrostatica di una sfera conduttrice carica di raggio $R$, e volevo chiarirmi un po' le idee.
Partiamo a calcolarla tramite la definizione: abbiamo una distribuzione continua di cariche sulla superficie della sfera, quindi l'energia elettrostatica $U$ posseduta dalla sfera è data da:
$U= 1/2 int_(S) sigma V d S$ , (1)
dove stiamo integrando sulla superficie $S$ della sfera. Il calcolo è semplice e porta al risultato:
$U = 1/2 (Q^2)/(4 pi epsilon_0 R)$.
Ora, si dimostra[nota]vedi Mencuccini - Silvestrini, Fisica Generale II, pag. 100[/nota] che, data una distribuzione di carica, la sua energia elettrostatica è esprimibile anche come:
$U = (epsilon_0)/2 int_(S) V vec(E_0) \cdot d vec(S) + (epsilon_0)/2 int_(tau) E_0 ^2 d tau$ , (2)
dove $tau$ è un qualsiasi volume che comprende la distribuzione di carica al suo interno e $S$ è la superficie che lo racchiude. Nel caso della sfera, ci si accorge facilmente che il primo addendo si riconduce all'integrale (1) motivo per cui l'altro integrale deve essere nullo. Il che mi sembra ragionevole poiché nel volume interno alla sfera conduttrice il campo è nullo. Fin qui le mie considerazioni sono corrette?
Poi vorrei porre questa domanda: si può anche dimostrare che, scegliendo come volume di integrazione tutto lo spazio in cui il campo è apprezzabilmente diverso da zero, l'espressione precedente si riduce a:
$U = int_(E_0 != 0) (epsilon_0 E_0 ^2)/2 d tau$.
Dunque se io volessi trovare $U$ usando quest'ultima formula, visto che il campo si annulla all'infinito, dovrei risolvere un integrale su tutto $RR^3$ per ritrovare l'espressione calcolata tramite la (1) e la (2)?
stavo studiando l'energia elettrostatica, in particolare stavo calcolando l'energia elettrostatica di una sfera conduttrice carica di raggio $R$, e volevo chiarirmi un po' le idee.
Partiamo a calcolarla tramite la definizione: abbiamo una distribuzione continua di cariche sulla superficie della sfera, quindi l'energia elettrostatica $U$ posseduta dalla sfera è data da:
$U= 1/2 int_(S) sigma V d S$ , (1)
dove stiamo integrando sulla superficie $S$ della sfera. Il calcolo è semplice e porta al risultato:
$U = 1/2 (Q^2)/(4 pi epsilon_0 R)$.
Ora, si dimostra[nota]vedi Mencuccini - Silvestrini, Fisica Generale II, pag. 100[/nota] che, data una distribuzione di carica, la sua energia elettrostatica è esprimibile anche come:
$U = (epsilon_0)/2 int_(S) V vec(E_0) \cdot d vec(S) + (epsilon_0)/2 int_(tau) E_0 ^2 d tau$ , (2)
dove $tau$ è un qualsiasi volume che comprende la distribuzione di carica al suo interno e $S$ è la superficie che lo racchiude. Nel caso della sfera, ci si accorge facilmente che il primo addendo si riconduce all'integrale (1) motivo per cui l'altro integrale deve essere nullo. Il che mi sembra ragionevole poiché nel volume interno alla sfera conduttrice il campo è nullo. Fin qui le mie considerazioni sono corrette?
Poi vorrei porre questa domanda: si può anche dimostrare che, scegliendo come volume di integrazione tutto lo spazio in cui il campo è apprezzabilmente diverso da zero, l'espressione precedente si riduce a:
$U = int_(E_0 != 0) (epsilon_0 E_0 ^2)/2 d tau$.
Dunque se io volessi trovare $U$ usando quest'ultima formula, visto che il campo si annulla all'infinito, dovrei risolvere un integrale su tutto $RR^3$ per ritrovare l'espressione calcolata tramite la (1) e la (2)?
Risposte
Nessuno?
A occhio direi di sì. Integrando su tutto lo spazio (ove il campo è non nullo) la densità di energia elettrostatica hai:
$U=" "1/2epsilon_0int_R^(+oo)E^2*4pir^2dr" "=" "1/2epsilon_0int_R^(+oo)Q^2/(4^2pi^2epsilon_0^2r^4)4pir^2dr" "=" "1/2Q^2/(4piepsilon_0)int_R^(+oo)(dr)/r^2=$
$=" "1/2Q^2/(4piepsilon_0R)" "$.
Salvo miei errori.
$U=" "1/2epsilon_0int_R^(+oo)E^2*4pir^2dr" "=" "1/2epsilon_0int_R^(+oo)Q^2/(4^2pi^2epsilon_0^2r^4)4pir^2dr" "=" "1/2Q^2/(4piepsilon_0)int_R^(+oo)(dr)/r^2=$
$=" "1/2Q^2/(4piepsilon_0R)" "$.
Salvo miei errori.
Grazie della risposta! Stavo giusto cercando un modo semplice di integrare in tutto lo spazio senza dover risolvere integrali tripli assurdi! L'espediente che hai utilizzato tu è geniale (te lo ruberò, sappilo 
).
).
Geniale ma non mio, quindi non lo rubi a me 
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