Energia elettrostatica
Ciao, amici! Se $N$ cariche vengono spostate ad una ad una dall'infinito ad un certo punto, cioè la prima carica dall'infinito al punto di arrivo mentre le altre rimangono all'infinito, poi la seconda mentre la prima sta ferma e le altre sono ancora all'infinito, poi la terza mentre le prime due stanno immobili e le altre sono all'infinito, e così via, leggo, e so facilmente dimostrare a me stesso, che il lavoro compiuto dal campo elettrico generato dalle cariche già spostate prima che venga spostata la successiva vale\[-\frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\sum_{\substack{i,j=1\\i\ne j}}^N\frac{q_iq_j}{r_{ij}}\]dove $r_{ij}$ è la distanza reciproca tra le cariche $q_i$ e $q_j$.
Constato che tale lavoro è invariante all'ordine con cui si spostano le cariche ad una ad una. Tale formula vale oltretutto anche se l'intero spostamento è somma di spostamenti ognuno condotto muovendo le cariche ad una ad una.
Mi domando se il lavoro sia lo stesso anche se le cariche si spostano non ad una ad una come descritto, nonostante credo che non si potrebbe più chiamare la situazione elettrostatica. Mi si perdoni se sto prendendo delle cantonate, ma sono agli inizi di uno studio, oltretutto da autodidatta, che vorrei il più serio possibile.
Il lavoro è lo stesso anche le cariche si spostano contemporaneamente? Se sì, come si può dimostrare?
$\infty$ grazie a tutti!!!
Constato che tale lavoro è invariante all'ordine con cui si spostano le cariche ad una ad una. Tale formula vale oltretutto anche se l'intero spostamento è somma di spostamenti ognuno condotto muovendo le cariche ad una ad una.
Mi domando se il lavoro sia lo stesso anche se le cariche si spostano non ad una ad una come descritto, nonostante credo che non si potrebbe più chiamare la situazione elettrostatica. Mi si perdoni se sto prendendo delle cantonate, ma sono agli inizi di uno studio, oltretutto da autodidatta, che vorrei il più serio possibile.
Il lavoro è lo stesso anche le cariche si spostano contemporaneamente? Se sì, come si può dimostrare?
$\infty$ grazie a tutti!!!
Risposte
il lavoro è lo stesso perchè la forza elettrostatica è conservativa e quindi conta solo lo stato iniziale e quello finale e non come si arriva dall'uno all'altro
Grazie per la risposta! Conosco la dimostrazione del fatto che la forza esercitata da un campo che non varia con il tempo è conservativa perché somma di forze centrali a simmetria sferica, ma qui abbiamo un campo che varia con il tempo se le cariche non si spostano ad una ad una: se mentre si muove $q_i$ anche le cariche $q_1,...,q_{i-1},q_{i+1},...,q_N$ si spostano il campo non è più statico rispetto al tempo. Come si può dimostrare che anche la forza dovuta ad un tale campo è conservativa?
sulla dimostrazione alzo le mani
quello che posso dirti è che comunque il lavoro delle forze elettrostatiche è uguale all'energia potenziale elettrostatica iniziale meno quella finale e che l'energia potenziale è la somma delle energie potenziali di tutte le coppie di cariche che si possono formare
quindi,è indifferente se le cariche vengono spostate una alla volta o tutte insieme : siamo comunque nell'ambito di un problema di elettrostatica
quello che posso dirti è che comunque il lavoro delle forze elettrostatiche è uguale all'energia potenziale elettrostatica iniziale meno quella finale e che l'energia potenziale è la somma delle energie potenziali di tutte le coppie di cariche che si possono formare
quindi,è indifferente se le cariche vengono spostate una alla volta o tutte insieme : siamo comunque nell'ambito di un problema di elettrostatica
"quantunquemente":Fino ad ora non so praticamente nulla di serio di elettrodinamica, ma so che, in generale, un campo elettrodinamico non è conservativo. Qui perché il campo è elettrostatico, nonostante il campo, dato che le altre cariche si muovono contemporaneamente a $q_i$ e ne arrivano di nuove che erano a distanza infinita, non sia costante nel tempo? $\infty$ grazie ancora!
il lavoro delle forze elettrostatiche
i campi elettrici non conservativi sono ad esempio quelli creati dalla variazione di un campo magnetico(equazioni di maxwell)
questi problemi in cui vengono considerate cariche in moto reciproco stanno nell'ambito dell'elettrostatica allo stesso modo in cui per vari corpi massivi in moto reciproco si ragiona sempre in termini di energia potenziale gravitazionale
questi problemi in cui vengono considerate cariche in moto reciproco stanno nell'ambito dell'elettrostatica allo stesso modo in cui per vari corpi massivi in moto reciproco si ragiona sempre in termini di energia potenziale gravitazionale
"quantunquemente":
i campi elettrici non conservativi sono ad esempio quelli creati dalla variazione di un campo magnetico(equazioni di maxwell)
questi problemi in cui vengono considerate cariche in moto reciproco stanno nell'ambito dell'elettrostatica allo stesso modo in cui per vari corpi massivi in moto reciproco si ragiona sempre in termini di energia potenziale gravitazionale
Molto interessante. Dato che mi sembra un argomento degno di interesse di per sé, ho aperto un topic apposito per chiedere aiuto a dimostrare ciò, dato che il mio testo non accenna minimamente al caso di corpi in movimento né per la gravità, né per la forza elettrica. Se vuoi darci un'occhiata... Grazie ancora!!!
spero di dare un altro contributo utile
andando a rivedermi qualche esercizio ,questo recita :" date tre cariche $+q$ poste ai vertici di un triangolo equilatero di lato $l$ determina il lavoro che le forze elettrostatiche compiono quando le cariche si portano ai vertici di un triangolo equilatero di lato $l/2$"
mi sembra di evincere dal testo che il lavoro è indipendente dal modo in cui le 3 cariche assumono la nuova configurazione
andando a rivedermi qualche esercizio ,questo recita :" date tre cariche $+q$ poste ai vertici di un triangolo equilatero di lato $l$ determina il lavoro che le forze elettrostatiche compiono quando le cariche si portano ai vertici di un triangolo equilatero di lato $l/2$"
mi sembra di evincere dal testo che il lavoro è indipendente dal modo in cui le 3 cariche assumono la nuova configurazione
Mi spiego meglio (continuando anche dall'altro topic).
Prendiamo un sistema di $N$ cariche elettriche puntiformi ferme. Questo è un sistema elettrostatico ed è descritto dalla sola energia potenziale in quanto l'energia cinetica è assente (le cariche sono ferme) e non vi sono altri campi.
Allora, grazie al principio di conservazione dell'energia, uno può legittimamente pensare che l'energia del sistema è uguale al lavoro fatto dalle forze elettriche se si immagina di portare (lentamente e come uno vuole, una carica alla volta, o a coppie di due, tre ecc.) le $N$ cariche dall'infinito (in questo caso l'energia potenziale del sistema sarebbe nulla) ai punti in cui le cariche effettivamente sono.
Questo bel discorsetto (del portare la cariche dall'infinito ecc. ecc.) soddisfa il principio di conservazione dell'energia, ma, a meno di non fare complicati calcoli, non ci dà nessuna informazione di come deve essere fatta la formula matematica che ci dà l'energia (potenziale) del nostro sistema!!!
Allora si fa un altro discorso. La definizione generale di energia potenziale è $F = - \grad U$ (per comodità, e qui e nel seguito, non metto il grassetto o la freccina per indicare i vettori). Se allora definiamo l'energia (potenziale) del sistema elettrostatico di $N$ cariche come:
[tex]U=\frac{k}{2}\sum_{i,j,i\neq j}\frac{q_iq_j}{||r_i-r_j||}[/tex],
dove le doppie sbarrette indicano la norma e [tex]r_i=\begin{pmatrix} x_i\\ y_i\\ z_i \end{pmatrix}[/tex], con $i=1,...,N$, sono i raggi vettori delle cariche, la forza che agisce sulla carica $i$-esima è:
$F_i=-\grad_i U$,
essendo [tex]\nabla_i = \begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial x_i}\\ \frac{\partial }{\partial y_i}\\ \frac{\partial }{\partial z_i} \end{pmatrix}[/tex].
Facendo i conti, si ottiene la formula di Coulomb e tutte le belle proprietà di conservazione (essenzialmente che il lavoro non dipende dal cammino).
Spero di avere contribuito anch'io a fare chiarezza
Prendiamo un sistema di $N$ cariche elettriche puntiformi ferme. Questo è un sistema elettrostatico ed è descritto dalla sola energia potenziale in quanto l'energia cinetica è assente (le cariche sono ferme) e non vi sono altri campi.
Allora, grazie al principio di conservazione dell'energia, uno può legittimamente pensare che l'energia del sistema è uguale al lavoro fatto dalle forze elettriche se si immagina di portare (lentamente e come uno vuole, una carica alla volta, o a coppie di due, tre ecc.) le $N$ cariche dall'infinito (in questo caso l'energia potenziale del sistema sarebbe nulla) ai punti in cui le cariche effettivamente sono.
Questo bel discorsetto (del portare la cariche dall'infinito ecc. ecc.) soddisfa il principio di conservazione dell'energia, ma, a meno di non fare complicati calcoli, non ci dà nessuna informazione di come deve essere fatta la formula matematica che ci dà l'energia (potenziale) del nostro sistema!!!
Allora si fa un altro discorso. La definizione generale di energia potenziale è $F = - \grad U$ (per comodità, e qui e nel seguito, non metto il grassetto o la freccina per indicare i vettori). Se allora definiamo l'energia (potenziale) del sistema elettrostatico di $N$ cariche come:
[tex]U=\frac{k}{2}\sum_{i,j,i\neq j}\frac{q_iq_j}{||r_i-r_j||}[/tex],
dove le doppie sbarrette indicano la norma e [tex]r_i=\begin{pmatrix} x_i\\ y_i\\ z_i \end{pmatrix}[/tex], con $i=1,...,N$, sono i raggi vettori delle cariche, la forza che agisce sulla carica $i$-esima è:
$F_i=-\grad_i U$,
essendo [tex]\nabla_i = \begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial x_i}\\ \frac{\partial }{\partial y_i}\\ \frac{\partial }{\partial z_i} \end{pmatrix}[/tex].
Facendo i conti, si ottiene la formula di Coulomb e tutte le belle proprietà di conservazione (essenzialmente che il lavoro non dipende dal cammino).
Spero di avere contribuito anch'io a fare chiarezza
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