Energia dissipata per Effetto Joule

[Smaarnau]

Un campo magnetico variabile nel tempo, uniforme in tutto lo spazio, ha componenti: \(\displaystyle B_x = B_0 \cdot (1 - e^{-t/ \tau}) \), \(\displaystyle B_y = 0 \), \(\displaystyle B_z = B_0 \cdot (1 - e^{-t/ \tau}) \), con \(\displaystyle B_0 = 1.83 T \) e \(\displaystyle \tau = 1.02 ms \). Nel piano yz si ha una spira di area \(\displaystyle A = 0.106 m^2 \) e resistenza \(\displaystyle R = 1.28 ohm \). Si trascuri l'induttanza della spira e si determini l'energia, in joule, dissipata per effetto joule nell'intervallo di tempo tra \(\displaystyle t_1 = 0 \) e \(\displaystyle t_2 = 2\tau \).

Ho provato a risolvere l'esercizio in questo modo ma non torna... cosa sto sbagliando?

La potenza dissipata per effetto Joule equivale a \(\displaystyle P = \frac {{\varepsilon}^2} R\), con \(\displaystyle \varepsilon = - \frac {d\phi(B)}{dt} \)

La spira è attraversata da \(\displaystyle B_x \) e \(\displaystyle - \frac {d\phi(B)}{dt} = -A \cdot B_0 \cdot \frac {1-e^{-t/\tau}} {dt} \)

\(\displaystyle E = \frac{ {\varepsilon}^2} {R} \cdot \Delta t = \frac {2 \tau}{R} \cdot \biggl[ \biggl( \frac {-A \cdot B_0}{\tau \cdot e^{t/ \tau}} \biggr) _o ^ {2 \tau} \biggr]^2 \)

Grazie in anticipo per l'aiuto

[ingres]

Ciao Smaarnau

Mi sembra che ci sia solo qualche conto che non torna. In modulo la tensione indotta vale:

$epsilon=(d phi)/dt =(A*B_0)/tau *e^(-t/tau)$

la potenza persa per effetto joule

$P=epsilon^2/R=1/R((A*B_0)/tau)^2 *e^(-2t/tau)$

e quindi integrando nell'intervallo assegnato se non ho fatto male i conti:

$E=(A*B_0)^2/(2Rtau)*(1-e^(-4))=14.1 J$

[Smaarnau]

Grazie mille per l'aiuto. Proverò a rifare i conti allora.