Energia di legame di un elettrone

[Patras1]

Buonasera! Vi chiedo per favore di aiutarmi con un dubbio: non capisco perché nella formula (vedi allegato) dell'energia di un elettrone in un orbitale, l'energia è negativa? Se per caso è una convenzione perché conviene usarla allora? sembra che in questo modo l'energia sia più bassa (perché negativa) quando l'elettrone si trova vicino al nucleo ma in realtà dovrebbe essere più difficile strappare un elettrone vicino al nucleo perché è più legato... invece lontano dal nucleo tende a zero quindi come se avesse più energia ma in realtà è un elettrone libero.
Si può interpretare in questo modo forse - l'elettrone acquista energia da fuori man a mano che tende a essere liberato verso lo stato libero quindi ha più energia... comunque non sono convinto di questa mia seconda interpretazione...
quindi perché è negativa?

[thawra69]

Be l'energia potenziale e' per forza negativa, e piu' vai verso il nucleo, piu' lo e'.
Normale, se aumenta l'energia cinetica, deve diminuire quella potenziale.
E si, il potenziale e' negativo per convenzione

[Sk_Anonymous]

Il segno negativo è legato al potenziale elettrico ed è una cosa strettamente necessaria affinché l'atomo non si disgreghi. Gli stati legati hanno energia negativa e appartengono allo spettro discreto dell'hamiltoniana del sistema ed afferiscono, nel caso dell'atomo, a quegli stati per i quali il potenziale ATTRATTIVO (da qui il meno) è sufficiente a mantenerli, appunto legati a certe "orbite" per dirlo in modo semiclassico. Comunque ricaviamocela e vedrai che spariranno tutti i dubbi. Usiamo l'approssimazione di moto circolare (non ellittico) ed unità di misura per cui $4\pi\epsilon_0=1$, giusto per non appesantire la dimostrazione. Chiamiamo $r$ la distanza dal nucleo, quindi, in queste unità di misura, il potenziale coulombiano diventa $-e^2/r$.
Per un moto circolare dell'elettrone
$E=mv^2/2-e^2/r=1/2e^2/r-e^2/r=-1/2e^2/r$ e la relazione di newton ci dice $ma=mv^2/r=F=e^2/r^2$ .
Ora c'è un'ipotesi importante. Siamo in MQ e quindi dobbiamo quantizzare qualcosa. L'ipotesi è che il momento angolare sia quantizzato, quindi multiplo di una unità fondamentale. Insomma ipotizziamo che
$\ointLd\phi=nh$ quindi $L=nh/(2\pi)=nh$ Questa nuova $h/(2\pi)$ è "l'acca tagliato" ma non mi riesce di inserirla, continuo a chiamarla $h$ ma sappi che c'è il contributo a dividere.

Allora sostituendo nella relazione di newton $L=mvr$ ottieni $L^2/m=e^2r$ e sostituendo $L=nh$ ottieni la quantizzazione delle orbite (raggio)

$r_n=n^2h^2/(me^2)=n^2a_B$ . Ci ho messo un pendice al raggio proprio per dire che dipende da n in modo discreto. La costante $a_B=h^2/(me^2)$è detta raggio di Bohr e vale circa $0.53*10^(-8) cm$ .
Ora basta mettere il raggio nella prima espressione trovata dell'energia

$E_n=-e^2/(2a_Bn^2)$ e se sostituisci il valore delle costanti giuste ti torna. Spero di non aver fatto errori.

[thawra69]

Direi perfetto, bravo

[Patras1]

grazie mille mi avete aiutato, ora ci sono!