Energia Cinetica moto di puro rotolamento
Salve a tutti, chiedo aiuto per l'ultimo punto di questo problema.
Un disco omogeneo di massa m= 2kg e raggio R = 0.3 m scende con moto di puro rotolamento lungo un piano inclinato di un angolo 30° rispetto alla direzione orizzontale. Al suo centro è fissato un filo teso di massa trascurabile che trascina un blocco di massa M = 1,5 kg. Tra il blocco e il piano vi è attrito, con coefficiente di attrito $ mu d $ incognito. Sapendo che la forza d'attrito statico che si sviluppa tra il disco e il piano nel punto di contatto è Fs = 3 N,
1. determinare l'accelerazione a del Cm del disco e del blocco e la tensione T del filo
2. Si determini il coefficiente d'attrito dinamico tra il blocco e il piano inclinato
3. Si determini l'energia cinetica e la velocità angolare del disco, supposto inizialmente fermo, quando il CM ha percorso il tratto di lunghezza l = 0.5 m
I primi due punti sono riuscito a risolverli, con $ a = 3 m/s^2 $ , $ T = 1N $ e $ mu d = 0.3 $
Tuttavia non capisco per niente la soluzione del terzo punto fornita dal libro:
$ (Iomega^2)/2 + (mv^2)/2 = mglsinTheta - Tl $ , dal teorema dell'energia cinetica, dove I è il momento d'inerzia e v è la velocità del centro di massa.
Purtroppo il libro non spiega come si ricavi la velocità del centro di massa e nemmeno dice quanto sia il valore, ho provato ad utilizzare delle relazioni cinematiche ma il risultato finale della velocità angolare esce diverso da quello del libro.
Inoltre, non capisco come mai vengano prese in considerazione solamente il lavoro della forza peso e della tensione, e non quello della forza d'attrito (che a rigor di logica compie comunque un lavoro).
Grazie in anticipo per l'aiuto e buona giornata.
Un disco omogeneo di massa m= 2kg e raggio R = 0.3 m scende con moto di puro rotolamento lungo un piano inclinato di un angolo 30° rispetto alla direzione orizzontale. Al suo centro è fissato un filo teso di massa trascurabile che trascina un blocco di massa M = 1,5 kg. Tra il blocco e il piano vi è attrito, con coefficiente di attrito $ mu d $ incognito. Sapendo che la forza d'attrito statico che si sviluppa tra il disco e il piano nel punto di contatto è Fs = 3 N,
1. determinare l'accelerazione a del Cm del disco e del blocco e la tensione T del filo
2. Si determini il coefficiente d'attrito dinamico tra il blocco e il piano inclinato
3. Si determini l'energia cinetica e la velocità angolare del disco, supposto inizialmente fermo, quando il CM ha percorso il tratto di lunghezza l = 0.5 m
I primi due punti sono riuscito a risolverli, con $ a = 3 m/s^2 $ , $ T = 1N $ e $ mu d = 0.3 $
Tuttavia non capisco per niente la soluzione del terzo punto fornita dal libro:
$ (Iomega^2)/2 + (mv^2)/2 = mglsinTheta - Tl $ , dal teorema dell'energia cinetica, dove I è il momento d'inerzia e v è la velocità del centro di massa.
Purtroppo il libro non spiega come si ricavi la velocità del centro di massa e nemmeno dice quanto sia il valore, ho provato ad utilizzare delle relazioni cinematiche ma il risultato finale della velocità angolare esce diverso da quello del libro.
Inoltre, non capisco come mai vengano prese in considerazione solamente il lavoro della forza peso e della tensione, e non quello della forza d'attrito (che a rigor di logica compie comunque un lavoro).
Grazie in anticipo per l'aiuto e buona giornata.
Risposte
Se applichi il teorema delle forze vive:
poiché il calcolo dell'energia cinetica si riduce a quello del lavoro, non è necessario determinare la velocità del centro di massa e la velocità angolare del disco. Tra parentesi, poiché il disco rotola senza strisciare (il punto fisico di contatto ha velocità nulla), la forza di attrito non compie lavoro. Vero è che si poteva concludere anche cinematicamente:
$E_c=l(mgsin\theta-T)$
poiché il calcolo dell'energia cinetica si riduce a quello del lavoro, non è necessario determinare la velocità del centro di massa e la velocità angolare del disco. Tra parentesi, poiché il disco rotola senza strisciare (il punto fisico di contatto ha velocità nulla), la forza di attrito non compie lavoro. Vero è che si poteva concludere anche cinematicamente:
$[v=at] ^^ [x=1/2at^2] ^^ [x=l] rarr [v=sqrt(2al)]$
$\omega=v/R=sqrt(2al)/R$
$E_c=3/4mR^2\omega^2=3/2mal$
"anonymous_0b37e9":
poiché il calcolo dell'energia cinetica si riduce a quello del lavoro, non è necessario determinare la velocità del centro di massa e la velocità angolare del disco.
Sì come l'hai scritto tu è molto più chiaro. Con le tue formule i conti mi escono.
Tuttavia, utilizzando la formula che viene data dal libro:
$ (Iω^2)/2+(mv^2)/2=mglsinΘ−Tl $
esce un risultato diverso, che non concorda con quello dato dal libro stesso. Vuol dire che questa formula è sbagliata?
Non ho capito, i conti tornano se si procede dal punto di vista cinematico e non tornano applicando il teorema delle forze vive? Ad ogni modo, visto il valore che hai attribuito alla tensione, quale valore dell'accelerazione di gravità stai considerando?
"anonymous_0b37e9":
Non ho capito, i conti tornano se si procede dal punto di vista cinematico e non tornano applicando il teorema delle forze vive?
L'energia cinetica totale torna in entrambi i modi, quello che non mi torna è la velocità angolare, che mi esce uguale solo nel procedimento cinematico, ma non usando la formula che viene data dal libro, ovvero
$ 1/2Iω^2+1/2mv^2=mglsinΘ−Tl $
Il valore di ω che dovrebbe uscire è 5,77 rad/s
"anonymous_0b37e9":
Ad ogni modo, visto il valore che hai attribuito alla tensione, quale valore dell'accelerazione di gravità stai considerando?
Ho approssimato $ g = 10 m/s^2 $
In quella formula:
Mi sembra che il risultato torni.
$[I=1/2mR^2] ^^ [v=\omegaR] rarr$
$rarr 3/4mR^2\omega^2=l(mgsin\theta-T) rarr$
$rarr \omega=sqrt((4l(mgsin\theta-T))/(3mR^2))$
Mi sembra che il risultato torni.
Si, in questo modo il risultato torna.
Grazie mille per l'aiuto!
Grazie mille per l'aiuto!
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