Energia cinetica. Esercizio.

[Antonio_80]

E l'esercizio del nuovo capitolo, mi viene chiesta l'energia cinetica della massa, quindi penso che le considerazioni che abbiamo fatto ieri valgano, quindi riscrivo:

$v_A = dot(x)_A i$ (velocità di traslazione)

$v_G = omega_(AG) xx (G-A)$ (velocità di rotazione)
$v_G = dot(theta) k xx (G-A) = dot(theta) k xx ( l/2 cos theta i + l/2sen theta j) = l/2 dot(theta) ( - sentheta i + cos thetaj)$

Quindi la velocità del punto $G$, considerando traslazione e rotazione è:

$v_G = v_A + omega_(AG) xx (G-A)$
$v_G = dot(x)_A i + l/2 dot(theta) ( - sentheta i + cos thetaj)$
$v_G = (dot(x)_A - l/2 dot(theta) sentheta ) i + (l/2 dot(theta) cos theta)j$

Sapendo che il Teorema di Koing per il CR è:

$K = 1/2Mv_G^2 + 1/2omega * I_G omega$

Adesso mi chiedo se sulla base dei ragionamenti fatti ieri, vale lo stesso $Gamma_G=ML^2/12$ e cioè $I_G=ML^2/12$

Se tutto quello che ho detto è corretto, allora si ha:

$K = 1/2M((dot(x)_A - l/2 dot(theta) sentheta ) i + (l/2 dot(theta) cos theta)j)^2 + ML^2/12*(1/2omega^2)k $

O mamma mia, non ditemi che devo compattare di più questa formula, perchè personalemte penso sia inutile!

Cosa ne dite?

[Falco5x]

Io non so cosa vi siate detti ieri, ad ogni modo immagino che il G sia il CM dell'asta, considerata di densità omogenea.
A parte questo dettaglio, l'osservazione principale è che non capisco cosa c'entrino i versori i, j e k nella formula dell'energia cinetica, che essendo uno scalare non può riportare nella sua espressione elementi vettoriali.
Ad ogni modo, affinché tu non impazzisca in calcoli assurdi vorrei dirti la mia soluzione:

$${E_k} = \frac{1}
{2}m\left( {{{\dot x}_A}^2 + \frac{{{l^2}{{\dot \theta }^2}}}
{3} - {{\dot x}_A}\dot \theta l\sin \theta } \right)$$

Quindi se sei finito in complicazioni da cui è difficile uscire, ti invito a riconsiderare il problema in modo da giungere a una soluzione semplice come quella che ti ho indicato.

[Antonio_80]

Apparte il fatto dei versori che non avrei dovuto metterli, ho rifatto i calcoli e mi viene sempre lo stesso!
Il punto G e il centro di massa, confermo quanto hai detto, non so come sei arrivato tu a quella soluzione, puo' essere che anche la mia sia corretta, ma questo nonso dirtelo con certezza!

Help!

[Falco5x]

Sì insomma, però nel passare dai vettori all'energia occorre prendere il modulo della velocità al quadrato, quindi la tua formula presenta il quadrato della somma (vettoriale?), non la somma dei quadrati delle componenti, dunque è sbagliata.
Ti scrivo qua sotto i passaggi così potrai confrontarli con i tuoi.
Ho scritto l'energia come somma dell'energia traslazionale del CM più l'energia rotazionale relativa al CM:

$$\eqalign{
& {x_{CM}} = {x_A} + \frac{l}
{2}\cos \theta \cr
& {{\dot x}_{CM}} = {{\dot x}_A} - \dot \theta \frac{l}
{2}\sin \theta \cr
& {y_{CM}} = \frac{l}
{2}\sin \theta \cr
& {{\dot y}_{CM}} = \dot \theta \frac{l}
{2}\cos \theta \cr
& {I_{CM}} = \frac{1}
{{12}}m{l^2} \cr
& {E_k} = {E_{kT}} + {E_{kR}} \cr
& {E_{kT}} = \frac{1}
{2}m\left( {{{\dot x}^2}_{CM} + {{\dot y}^2}_{CM}} \right) = \frac{1}
{2}m\left( {{{\dot x}^2}_A + {{\dot \theta }^2}\frac{{{l^2}}}
{4}{{\sin }^2}\theta - 2{{\dot x}_A}\dot \theta \frac{l}
{2}\sin \theta + {{\dot \theta }^2}\frac{{{l^2}}}
{4}{{\cos }^2}\theta } \right) \cr
& {E_{kT}} = \frac{1}
{2}m\left( {{{\dot x}^2}_A + \frac{{{l^2}{{\dot \theta }^2}}}
{4} - {{\dot x}_A}\dot \theta l\sin \theta } \right) \cr
& {E_{kR}} = \frac{1}
{2}{I_{CM}}{{\dot \theta }^2} = \frac{1}
{2}\frac{1}
{{12}}m{l^2}{{\dot \theta }^2} \cr
& {E_k} = \frac{1}
{2}m\left( {{{\dot x}^2}_A + \frac{{{l^2}{{\dot \theta }^2}}}
{4} - {{\dot x}_A}\dot \theta l\sin \theta } \right) + \frac{1}
{2}\frac{1}
{{12}}m{l^2}{{\dot \theta }^2} = \frac{1}
{2}m\left( {{{\dot x}^2}_A + \frac{{{l^2}{{\dot \theta }^2}}}
{4} - {{\dot x}_A}\dot \theta l\sin \theta + \frac{1}
{{12}}{l^2}{{\dot \theta }^2}} \right) \cr
& {E_k} = \frac{1}
{2}m\left( {{{\dot x}_A}^2 + \frac{{{l^2}{{\dot \theta }^2}}}
{3} - {{\dot x}_A}\dot \theta l\sin \theta } \right) \cr} $$

[Antonio_80]

Adesso capisco la confusione che ho creato io!
Ti ringrazio per la gentilezza, sei stato veramente forte nel farmi capire!