Energia cinetica e potenziale elastico....
Salve ragazzi ho un pò di difficoltà con questo esercizio 
Sulla verticale di un cannoncino, con la bocca da fuoco diretta verso l'alto, è sospesa una molla di massa trascurabile e di costante elastica K che porta appesa all'estremità una pallina di massa m che dista h dal cannoncino. Il cannoncino può sparare proiettili anche'essi di massa m. Trascurando la resistenza dell'aria, calcolare:
a)la velocità minima che il cannoncino deve imprimere al proiettile perchè questo raggiunga l'altezza h;
b)la minima velocità di partenza del proiettile perchè la molla, in seguito all'urto elastico proiettile-pallina sospesa, si comprima di un tratto l;
c)la compressione subita dalla molla in seguito all'urto della pallina sospesa con il proiettile lanciato alla velocità calcolate nel punto b), qualora durante l'accorciamento la molla sia soggetta anche ad una forza resistente costante verticale (che si aggiunge a quella elastica) di intensità R.
Dati: h=5,2 m; k=5 N/m; m=20g; l=20cm; R=1N.
Io ho ragionato in questo modo
per il punto a) ho tenuto conto della conservazione dell'energia impressa alla pallina dal cannoncino e quindi:
$ 1/2mv^2=mgh $ da cui ho derivato la velocità come $ v=sqrt(2gh) $
con le opportune sostituzioni numeriche mi è venuto fuori $ v=10,1 m/s $ ma il testo riporta come risultato $ v=8 m/s $
in merito al punto b) ho effettuato un ragionamento analogo, ovvero:
$ 1/2 mv^2 -kx = 1/2 kx^2 $ tenendo conto della forza elastica e del potenziale elastico. Con i relativi calcoli ho ricavato $ v=10,48 m/s $ ma in questo caso il testo riporta come risultato $ v=8,5 m/s $
Per il punto c) non ho sviluppato idee valide
Sono giusti i ragionamenti?
Grazie a tutti per l'aiuto
Sulla verticale di un cannoncino, con la bocca da fuoco diretta verso l'alto, è sospesa una molla di massa trascurabile e di costante elastica K che porta appesa all'estremità una pallina di massa m che dista h dal cannoncino. Il cannoncino può sparare proiettili anche'essi di massa m. Trascurando la resistenza dell'aria, calcolare:
a)la velocità minima che il cannoncino deve imprimere al proiettile perchè questo raggiunga l'altezza h;
b)la minima velocità di partenza del proiettile perchè la molla, in seguito all'urto elastico proiettile-pallina sospesa, si comprima di un tratto l;
c)la compressione subita dalla molla in seguito all'urto della pallina sospesa con il proiettile lanciato alla velocità calcolate nel punto b), qualora durante l'accorciamento la molla sia soggetta anche ad una forza resistente costante verticale (che si aggiunge a quella elastica) di intensità R.
Dati: h=5,2 m; k=5 N/m; m=20g; l=20cm; R=1N.
Io ho ragionato in questo modo
per il punto a) ho tenuto conto della conservazione dell'energia impressa alla pallina dal cannoncino e quindi:
$ 1/2mv^2=mgh $ da cui ho derivato la velocità come $ v=sqrt(2gh) $
con le opportune sostituzioni numeriche mi è venuto fuori $ v=10,1 m/s $ ma il testo riporta come risultato $ v=8 m/s $
in merito al punto b) ho effettuato un ragionamento analogo, ovvero:
$ 1/2 mv^2 -kx = 1/2 kx^2 $ tenendo conto della forza elastica e del potenziale elastico. Con i relativi calcoli ho ricavato $ v=10,48 m/s $ ma in questo caso il testo riporta come risultato $ v=8,5 m/s $
Per il punto c) non ho sviluppato idee valide
Sono giusti i ragionamenti?
Grazie a tutti per l'aiuto
Risposte
Secondo me, per (a) hai ragione tu. Il punto (b) è risolto dall'equazione $1/2 m v ^2-m g(h+l)=1/2 k l^2$. Il punto (c) mi pare un non senso. Cosa significa ricavare la contrazione della molla sapendo che la pallina l'ha contratta di $l$? Mah, a meno che io non sia caduto in qualche tranello...
"anonymous_ad4c4b":
Cosa significa ricavare la contrazione della molla sapendo che la pallina l'ha contratta di $ l $? Mah, a meno che io non sia caduto in qualche tranello...
Nel caso c c'è in più la forza resistente R pari ad 1 N
Giusto, Laura123! Non avevo letto dopo il "qualora"...
Allora l'equazione dovrebbe essere $1/2 m v^2-m g (h+l)=1/2 k x^2 + R x$, dove $v$ è la velocità calcolata in (b).
Allora l'equazione dovrebbe essere $1/2 m v^2-m g (h+l)=1/2 k x^2 + R x$, dove $v$ è la velocità calcolata in (b).
mi dispiace,ma non sono d'accordo sulla soluzione proposta per il punto b)
prima di tutto,all'inizio la molla è allungata di un tratto $delta$ tale che $mg=kdelta$ e quindi il sistema molla -massa possiede un'energia potenziale uguale a $1/2kdelta^2$
supponiamo che la massa attaccata alla molla,subito dopo l'urto, abbia una velocità $v$ e che la molla venga contratta di $l$
allora
$0-1/2mv^2=-mgl+1/2kdelta^2-1/2k(delta-l)^2$
ma questa non è ancora la soluzione perchè bisogna calcolare la velocità con cui il cannoncino spari la massa $m$ in modo che essa,dopo essere arrivata a quota $h$, urti in modo elastico la massa attaccata alla molla imprimendole una velocità $v$
quindi bisogna anche applicare le proprietà dell'urto elastico:conservazione della quantità di moto e dell'energia cinetica totali
ma questo lo lascio fare all'utente
prima di tutto,all'inizio la molla è allungata di un tratto $delta$ tale che $mg=kdelta$ e quindi il sistema molla -massa possiede un'energia potenziale uguale a $1/2kdelta^2$
supponiamo che la massa attaccata alla molla,subito dopo l'urto, abbia una velocità $v$ e che la molla venga contratta di $l$
allora
$0-1/2mv^2=-mgl+1/2kdelta^2-1/2k(delta-l)^2$
ma questa non è ancora la soluzione perchè bisogna calcolare la velocità con cui il cannoncino spari la massa $m$ in modo che essa,dopo essere arrivata a quota $h$, urti in modo elastico la massa attaccata alla molla imprimendole una velocità $v$
quindi bisogna anche applicare le proprietà dell'urto elastico:conservazione della quantità di moto e dell'energia cinetica totali
ma questo lo lascio fare all'utente
Secondo me non è necessario considerare che la molla è già allungata di $\delta$ perchè, in fin dei conti, è in una posizione di equilibrio, quindi si comporta come una molla non allungata con costante k. Infatti se provi ad applicare una forza pari a mg la nuova molla (molla+peso) si comprime di un tratto $\delta$ e "risponde" con una forza mg (che non è altro che il peso del corpo)
il corpo è in una posizione di equilibrio,ma la molla non è in posizione di riposo e di questo penso che si debba tenere conto nell'ottica del calcolo del lavoro
se tu all'inizio la considerassi non allungata giungeresti all'assurdo che essa compie un lavoro negativo mentre il lavoro è positivo perchè comprimendola di $l$ riduci il suo allungamento(in pratica la avvicini alla sua posizione di riposo)
se tu all'inizio la considerassi non allungata giungeresti all'assurdo che essa compie un lavoro negativo mentre il lavoro è positivo perchè comprimendola di $l$ riduci il suo allungamento(in pratica la avvicini alla sua posizione di riposo)
Giusto Stormy, ho colpevolmente ignorato che la pallina attaccata alla molla ha il suo peso che la allunga.
"anonymous_ad4c4b":
Giusto Stormy, ho colpevolmente ignorato che la pallina attaccata alla molla ha il suo peso che la allunga.
ciao Arturo
poi, come hai visto, una volta trovata la $v$ devi tener conto del fatto che non è ancora la soluzione cercata perchè noi dobbiamo determinare la velocità iniziale della massa sparata dal cannoncino : la faccenda è un po' più lunga
Come non detto
non sono d'accordo,ma siamo in un paese libero
come già detto a laura,non considerandola allungata, la molla compirebbe un lavoro negativo,mentre a mio parere il lavoro è positivo perchè si avvicina alla posizione di riposo
come già detto a laura,non considerandola allungata, la molla compirebbe un lavoro negativo,mentre a mio parere il lavoro è positivo perchè si avvicina alla posizione di riposo
Beh, le masse sono uguali ed è come giocare a biliardo. La prima si ferma e la seconda oarte con la stessa velocità. In pratica, è come se la prima continuasse sostituendosi alla seconda.
Circa il problema dell'allungamento iniziale della molla, ci ho ri-ri-pensato. Bisogna tenerne conto.
È incredibile come il "demonio" si nasconda sempre nei dettagli e anche il più stupido problema in realtà sia ben più complicato...
Circa il problema dell'allungamento iniziale della molla, ci ho ri-ri-pensato. Bisogna tenerne conto.
È incredibile come il "demonio" si nasconda sempre nei dettagli e anche il più stupido problema in realtà sia ben più complicato...
"anonymous_ad4c4b":
Beh, le masse sono uguali ed è come giocare a biliardo. La prima si ferma e la seconda parte con la stessa velocità.
perfetto
Ps. Sarei curioso di sapere se il creatore dell'esercizio abbia previsto questa complicazione, o invece si accontenti di trascurare l'allungamento sistematico della molla. Lo si potrebbe evincere dai rsultati, ma, sfortunatamente, già il risultato del punto (a) sembra sbagliato...
"anonymous_ad4c4b":
È incredibile come il "demonio" si nasconda sempre nei dettagli e anche il più stupido problema in realtà sia ben più complicato..
è vero,i problemi di fisica a volte sono subdoli
primo o poi capita a tutti di cascare in qualche tranello
Allora azzardo il punto (b):
$1/2 m v ^2-m g(h+l)=-1/2 k \delta^2+1/2 k(l-\delta)^2$,
con $\delta={m g}/k$.
Edit. Ho corretto il segno dell'energia elastica iniziale della molla. Concordo con Stormy.
$1/2 m v ^2-m g(h+l)=-1/2 k \delta^2+1/2 k(l-\delta)^2$,
con $\delta={m g}/k$.
Edit. Ho corretto il segno dell'energia elastica iniziale della molla. Concordo con Stormy.
io direi,inglobando l'$h$ per quanto detto sull'urto elastico,
$0-1/2mv^2=-mg(h+l)+1/2kdelta^2-1/2k(delta-l)^2$
applicando alla lettera il teorema dell'energia cinetica(la forza peso compie un lavoro negativo e la forza elastica uno positivo perchè ha lo stesso verso del vettore spostamento)
$0-1/2mv^2=-mg(h+l)+1/2kdelta^2-1/2k(delta-l)^2$
applicando alla lettera il teorema dell'energia cinetica(la forza peso compie un lavoro negativo e la forza elastica uno positivo perchè ha lo stesso verso del vettore spostamento)
"stormy":
non considerandola allungata, la molla compirebbe un lavoro negativo,mentre a mio parere il lavoro è positivo perchè si avvicina alla posizione di riposo
Non so perchè ma non riesco a convincermi.. io considero come si comporta la molla più la massa. Adesso, immagina che la molla si sia compressa di $\delta$ dalla posizione di equilibrio corpo+molla.. ci sono 2 forze che compiono lavoro, la forza peso e la forza elastica, la forza elastica non compie lavoro negativo se la molla non si è compressa troppo (se non supera la posizione di equilibrio della molla sola), la forza peso invece si, compie un lavoro negativo... considera adesso la risultante delle due forze, essa sarà diretta verso il basso invece si annulla nella posizione di equilibrio molla+corpo.. ecco perchè il lavoro viene negativo
ma infatti il lavoro totale è negativo(altrimenti la velocità della massa aumenterebbe invece di annullarsi) : quello della molla è positivo mentre quella della forza peso è negativo
è come se avessi 3+(-7)=-4 (alla fine il risultato è negativo)
il lavoro della forza elastica non può essere che positivo,visto che il verso della forza è concorde con lo spostamento
il suo lavoro in valore assoluto è minore di quello della forza peso proprio perchè la seconda è costante mentre la prima diminuisce di intensità man mano che la massa sale(la molla è meno lunga e quindi per la legge di Hooke la forza diminuisce)
è come se avessi 3+(-7)=-4 (alla fine il risultato è negativo)
il lavoro della forza elastica non può essere che positivo,visto che il verso della forza è concorde con lo spostamento
il suo lavoro in valore assoluto è minore di quello della forza peso proprio perchè la seconda è costante mentre la prima diminuisce di intensità man mano che la massa sale(la molla è meno lunga e quindi per la legge di Hooke la forza diminuisce)
Ok, ho pensato meglio al problema. Hai ragione tu.
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