Energia cinetica corpi rotolanti
salve, io ho questo problema:
"Prima dell'invenzione della ruota ruotante attorno a un asse, gli antichi spostavano i carichi pesanti ponendo sotto di essi dei rulli.
Un blocco di pietra di massa $844 kg$ si muove in avanti a $0.335 m/s$, sostenuto da 2 tronchi d'albero cilindrici e uniformi, ciascuno di massa $82 kg$ e raggio $0.343 m$. Non si verifica alcuno slittamento fra il blocco e i rulli o fra i rulli e il suolo. Trovare l'energia cinetica totale dei corpi in movimento."
allora io ho ragionato così:
$I= 1/2 mr^2$ momento d'inerzia del tronco..
$K_1= 2* 1/2 * 1/2 V^2 / r^2 *mr^2$ energia cinetica dei 2 rulli di legno.
$K_2= 1/2 Mr^2$ energia cinetica del blocco di cemento.
$K_t = 1/2v^2 (m+M) $
$K_t = 51.96 J$
il libro però come soluzione da 50.8J e tenendo conto di tutte le mie approssimazioni e rifacendolo varie volte non mi ci avvicino per niente... e mi sento abbastanza sicuro di aver omesso/dimenticato qualcosa...
"Prima dell'invenzione della ruota ruotante attorno a un asse, gli antichi spostavano i carichi pesanti ponendo sotto di essi dei rulli.
Un blocco di pietra di massa $844 kg$ si muove in avanti a $0.335 m/s$, sostenuto da 2 tronchi d'albero cilindrici e uniformi, ciascuno di massa $82 kg$ e raggio $0.343 m$. Non si verifica alcuno slittamento fra il blocco e i rulli o fra i rulli e il suolo. Trovare l'energia cinetica totale dei corpi in movimento."
allora io ho ragionato così:
$I= 1/2 mr^2$ momento d'inerzia del tronco..
$K_1= 2* 1/2 * 1/2 V^2 / r^2 *mr^2$ energia cinetica dei 2 rulli di legno.
$K_2= 1/2 Mr^2$ energia cinetica del blocco di cemento.
$K_t = 1/2v^2 (m+M) $
$K_t = 51.96 J$
il libro però come soluzione da 50.8J e tenendo conto di tutte le mie approssimazioni e rifacendolo varie volte non mi ci avvicino per niente... e mi sento abbastanza sicuro di aver omesso/dimenticato qualcosa...
Risposte
E' corretta la soluzione del libro.
Occhio che quando calcoli l'energia cinetica dei rulli devi considerare sia il termine di rotazione attorno al centro di massa che il termine di rotazione (o altrimenti considerare che i rulli ruotano attorno al punto di contatto col terreno).
Occhio che quando calcoli l'energia cinetica dei rulli devi considerare sia il termine di rotazione attorno al centro di massa che il termine di rotazione (o altrimenti considerare che i rulli ruotano attorno al punto di contatto col terreno).
"Faussone":
E' corretta la soluzione del libro.
Occhio che quando calcoli l'energia cinetica dei rulli devi considerare sia il termine di rotazione attorno al centro di massa che il termine di rotazione (o altrimenti considerare che i rulli ruotano attorno al punto di contatto col terreno).
si ma con quei conti a me viene 61.2 J allora... non riesco a far uscire quel 50.8 J.. uso questa equazione finale con quella considerazione:
$1/2 v^2(3m+M)$
Non capisco la tua relazione finale...
Alla fine dovrebbe risultarti questo
$2*1/2*3/2m*R^2*(v/(2*R))^2+1/2Mv^2$
Alla fine dovrebbe risultarti questo
$2*1/2*3/2m*R^2*(v/(2*R))^2+1/2Mv^2$
"Faussone":
Non capisco la tua relazione finale...
Alla fine dovrebbe risultarti questo
$2*1/2*3/2m*R^2*(v/(2*R))^2+1/2Mv^2$
ok io la tua non capisco da dove esce invece... non è che puoi farmi i passaggi?? non capisco cosa sbaglio nel mio ragionamento dall'inizio...
Il primo addendo è l'energia cinetica dei rulli (assumendo che ruotano attorno al loro punto di contatto col terreno), il secondo addendo è l'energia del blocco grande sopra.
Pensaci vedrai che ti tornerà... a meno che non avessi chiaro il concetto di energia cinetica di corpi rigidi rotanti....
Pensaci vedrai che ti tornerà... a meno che non avessi chiaro il concetto di energia cinetica di corpi rigidi rotanti....
"Faussone":
Il primo addendo è l'energia cinetica dei rulli (assumendo che ruotano attorno al loro punto di contatto col terreno), il secondo addendo è l'energia del blocco grande sopra.
Pensaci vedrai che ti tornerà... a meno che non avessi chiaro il concetto di energia cinetica di corpi rigidi rotanti....
Energia cinetica dei rulli: $1/2 I omega^2$ moltiplicato per 2 perché sono 2 rulli.. quindi:
$K= 1/2 m r^2 * v^2 /r^2 + mv^2 $ => $3/2 mv^2$
a questa aggiungo l'energia cinetica del blocco
$K_b = 1/2 Mv^2 $
e da qui la mia formula..
scusa ma mi sembra di aver considerato tutto.. no ncapisco come arrivi a quella formula.. puoi farmi i passaggi con i ragionamenti logici??
Posso intervenire (ovviamente i risultati sono quelli già indicati da Faussone)?
Forse ti è più chiaro esposto così ...
L'energia cinetica totale è la somma di quella del blocco con quella dei due rulli. Quest'ultima è la somma di quella relativa alla traslazione del centro di massa con quella di rotazione intorno al centro di massa stesso.
Quindi $E_\text (c totale) = E_\text (c blocco) + 2 * E_\text (c rullo)= E_\text (c blocco)+2*(E_\text (c traslazione rullo)+E_\text (c rotazione rullo))$.
Ora:
$E_\text (c blocco) = 1/2 * m_\text(blocco) * v^2$,
$E_\text (c traslazione rullo) = 1/2 * m_\text(rullo) * (v/2)^2 = 1/8 * m_\text(rullo) * v^2$ (il centro del rullo ha una velocità che è metà di quella del punto di tangenza con il blocco, che è $v$),
$E_\text (c rotazione rullo)=1/2 * I_\text(rullo)*omega^2 = 1/2 * (1/2 * m_\text(rullo)*r^2)*(v/(2r))^2= 1/16*m_\text(rullo)*v^2$ (il momento d'inerzia di un cilindro rispetto all'asse è $I_\text(rullo)=1/2 * m_\text(rullo)*r^2$, la velocità di rotazione intorno all'asse è $omega = v/(2r)$).
Quindi
$E_\text (c totale) = E_\text (c blocco)+2*(E_\text (c traslazione rullo)+E_\text (c rotazione rullo))=1/2 * m_\text(blocco) * v^2 + 2*(1/8 * m_\text(rullo) * v^2+ 1/16 * m_\text(rullo)*v^2)=$
$1/2 * m_\text(blocco) * v^2 + 2*3/16 * m_\text(rullo) * v^2=1/2 *(m_\text(blocco)+3/4*m_\text(rullo))*v^2=1/2 *(844+3/4*82)*0.335^2~= 50.8 \text ( J)$.
Forse ti è più chiaro esposto così ...
L'energia cinetica totale è la somma di quella del blocco con quella dei due rulli. Quest'ultima è la somma di quella relativa alla traslazione del centro di massa con quella di rotazione intorno al centro di massa stesso.
Quindi $E_\text (c totale) = E_\text (c blocco) + 2 * E_\text (c rullo)= E_\text (c blocco)+2*(E_\text (c traslazione rullo)+E_\text (c rotazione rullo))$.
Ora:
$E_\text (c blocco) = 1/2 * m_\text(blocco) * v^2$,
$E_\text (c traslazione rullo) = 1/2 * m_\text(rullo) * (v/2)^2 = 1/8 * m_\text(rullo) * v^2$ (il centro del rullo ha una velocità che è metà di quella del punto di tangenza con il blocco, che è $v$),
$E_\text (c rotazione rullo)=1/2 * I_\text(rullo)*omega^2 = 1/2 * (1/2 * m_\text(rullo)*r^2)*(v/(2r))^2= 1/16*m_\text(rullo)*v^2$ (il momento d'inerzia di un cilindro rispetto all'asse è $I_\text(rullo)=1/2 * m_\text(rullo)*r^2$, la velocità di rotazione intorno all'asse è $omega = v/(2r)$).
Quindi
$E_\text (c totale) = E_\text (c blocco)+2*(E_\text (c traslazione rullo)+E_\text (c rotazione rullo))=1/2 * m_\text(blocco) * v^2 + 2*(1/8 * m_\text(rullo) * v^2+ 1/16 * m_\text(rullo)*v^2)=$
$1/2 * m_\text(blocco) * v^2 + 2*3/16 * m_\text(rullo) * v^2=1/2 *(m_\text(blocco)+3/4*m_\text(rullo))*v^2=1/2 *(844+3/4*82)*0.335^2~= 50.8 \text ( J)$.
scusa ma perché la V li è la metà??????? da che ragionamento salta fuori??? non capisco... ho fatto un esercizio prima simile che parlava del telaio di una bicicletta e delle 2 ruote che ruotavano... e con la formula che ho usato io prima mi è venuto il risultato corretto e mi han anche confermato che andava bene... questo esercizio mi sembra veramente simile.. non capisco perché tutta sta differenza...
Tutto nasce (forse) dal fatto che sbagli la velocità angolare dei rulli e quella del centro di massa. Il blocco passa sopra i rulli, pertanto poichè i rulli ruotano istantaneamente attorno al punto di contatto col terreno la loro velocità angolare sarà.
$omega=v/(2*R)$ e quella del centro di massa $v/2$.
Considera se vuoi che se ti metti solidale al centro di massa di un rullo vedi il blocco sopra e il terreno sotto muoversi a velocità uguali ed opposte quindi è ovvio che il centro di massa si muove rispetto al terreno a metà della velocità del blocco.
$omega=v/(2*R)$ e quella del centro di massa $v/2$.
Considera se vuoi che se ti metti solidale al centro di massa di un rullo vedi il blocco sopra e il terreno sotto muoversi a velocità uguali ed opposte quindi è ovvio che il centro di massa si muove rispetto al terreno a metà della velocità del blocco.
e perché nell'esercizio precedente della bicicletta invece questo discorso non valeva????? ma poi scusa..
$V=r*omega$ velocità del centro di massa...
$omega = v/r$ e mi viene V=V... cioè non capisco non c'è un modo rigoroso e matematico per trovare quel $V/2$?????
$V=r*omega$ velocità del centro di massa...
$omega = v/r$ e mi viene V=V... cioè non capisco non c'è un modo rigoroso e matematico per trovare quel $V/2$?????
Ancora, se ti può aiutare ....
C'è una rotazione istantanea intorno al punto di contatto con il terreno. Nelle rotazioni la velocità tangenziale è direttamente proporzionale alla distanza dal centro di rotazione (è del tipo $V=omega*d$): al centro è $=0$, ma, se nel punto di tangenza con il blocco, che è a distanza $2r$, è la stessa del blocco e quindi è $v$, allora nel centro, che è a distanza $r$, è $v/2$ ...
C'è una rotazione istantanea intorno al punto di contatto con il terreno. Nelle rotazioni la velocità tangenziale è direttamente proporzionale alla distanza dal centro di rotazione (è del tipo $V=omega*d$): al centro è $=0$, ma, se nel punto di tangenza con il blocco, che è a distanza $2r$, è la stessa del blocco e quindi è $v$, allora nel centro, che è a distanza $r$, è $v/2$ ...
"chiaraotta":
Ancora, se ti può aiutare ....
C'è una rotazione istantanea intorno al punto di contatto con il terreno. Nelle rotazioni la velocità tangenziale è direttamente proporzionale alla distanza dal centro di rotazione (è del tipo $V=omega*d$): al centro è $=0$, ma, se nel punto di tangenza con il blocco, che è a distanza $2r$, è la stessa del blocco e quindi è $v$, allora nel centro, che è a distanza $r$, è $v/2$ ...
allora vediamo un attimo...
io ho sto pezzo di pietra che va a velocità V su sti rulli.. consideriamo un rullo..
il blocco si muove a velocità V, quindi è questa velocità che è tangenziale al rullo e lo fa ruotare e fin qui siamo daccordo... ora però dico.. se ruota il centro di massa non è semplicemnente il Centro del cerchio? (cerchio di sto rullo) e quindi l'sse di rotazione dal punto di contatto non è semplicemente r??? cioè per essere 2r dovrei considerare che il punto di rotazione sia a contatto col terreno.. ma non capisco perché visto che ruota e c'è un "centro" (che è quello del rullo) dove mi sembra ovvio che sia 0...
Le figure sono prese da Physics For Scientists And Engineers 6 Ed. By Serway And Jewett
http://imageshack.us/photo/my-images/684/rototraslazione2.jpg
http://imageshack.us/photo/my-images/687/rototraslazione.jpg
http://imageshack.us/photo/my-images/684/rototraslazione2.jpg
http://imageshack.us/photo/my-images/687/rototraslazione.jpg
Le figure che ha messo Chiaraotta sono molto esplicative.
Devi poi tener conto è che a differenza del caso con la bicicletta in cui il telaio è solidale al centro di massa delle ruote, qui il blocco ruota alla stessa velocità del punto più in alto della ruota (o rullo) quindi va al doppio della velocità del centro di massa come puoi evincere chiaramente.
Devi poi tener conto è che a differenza del caso con la bicicletta in cui il telaio è solidale al centro di massa delle ruote, qui il blocco ruota alla stessa velocità del punto più in alto della ruota (o rullo) quindi va al doppio della velocità del centro di massa come puoi evincere chiaramente.
"Faussone":
Le figure che ha messo Chiaraotta sono molto esplicative.
Devi poi tener conto è che a differenza del caso con la bicicletta in cui il telaio è solidale al centro di massa delle ruote, qui il blocco ruota alla stessa velocità del punto più in alto della ruota (o rullo) quindi va al doppio della velocità del centro di massa come puoi evincere chiaramente.
"chiaraotta":
Le figure sono prese da Physics For Scientists And Engineers 6 Ed. By Serway And Jewett
http://imageshack.us/photo/my-images/684/rototraslazione2.jpg
http://imageshack.us/photo/my-images/687/rototraslazione.jpg
Grazie a entrambi.. ora mi pare di aver capito.. e l'ho rifatto da capo e il risultato torna!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo