Energia campo elettrostatico (Sfera)

[frenky46]

Salve ragazzi vi posto il seguente esercizio , vi posto come da regolamento anche i ragionamenti che io ho fatto, ma ho alcuni dubbi

Calcolare, per una sfera di raggio $R$ , l’energia del campo elettrostatico$E(r)$ generato da una distribuzione di carica $rho = Cr^2$ , dove $r$ è la distanza dal centro e $C$ è un’opportuna costante da determinare.

Il mio primo dubbio era sulla costante $C$ nel senso che non capisco se la devo determinare o se devo tener presente che è una costante, comunque ora vi posto i passaggi e i ragionamenti che ho fatto :

$\rho = Cr^2=Q/V=Q/(4/3*pi*R^3)$ $=>$ $Q=Cr^2*4/3*pi*R^3$

Considerando l'energia del campo elettrostatico $1/2*Q*(V_A-V_B)$ poi ho considerato
il potenziale nel punto inziale come il potenziale sulla superficie della sfera e quindi
$V_A=Q/(4pi*epsilon_0*R)$ e $V_B=Q/(4pi*epsilon_0*r)$
quindi sostituendo $Q$ precedentemente calclata $V_A-V_B=(C*r*R*(r-R^2))/(3*epsilon_0)$
e qundi sostituisco tutto nella formula dell'energia, ma non sono molto sicuro di aver fatto tuttto bene
qualcuno può dirmi se ho fatto bene e
dove sbagli ?

Grazie in anticipo

[raff5184]

"frenky46":Il mio primo dubbio era sulla costante $C$ nel senso che non capisco se la devo determinare o se devo tener presente che è una costante

Diciamo entrambe le cose , nel senso che $C$ è una costante ma che tu non sai quanto vale, è un'incognita se vuoi e te la devi calcolare imponendo qualche equazione

[frenky46]

"raff5184":[quote="frenky46"]Il mio primo dubbio era sulla costante $C$ nel senso che non capisco se la devo determinare o se devo tener presente che è una costante

Diciamo entrambe le cose , nel senso che $C$ è una costante ma che tu non sai quanto vale, è un'incognita se vuoi e te la devi calcolare imponendo qualche equazione[/quote]

Grazie ma qualcuno può dirmi se ho sbagliato il mio ragiomanento ?

[raff5184]

"frenky46":Grazie ma qualcuno può dirmi se ho sbagliato il mio ragiomanento ?

Direi di sì, si vede "a occhio", per due motivi. Ti spiego: 1) innanzi tutto quando hai a che fare con problemi di questo tipo, con geometrie cilindriche, cerchi, e poi lo vedrai con le correnti generate da fili ecc... quasi sempre il calcolo comporta, a partire da quantità infinitesimali, l'uso di integrali (certo questo potrebbe non essere un valido motivo, soprattutto negli esercizi di base). Ma 2) con i tuoi calcoli ti viene un'energia che dipende da $R$ e $r$, il che non quadra. L'energia non dipende dalla distanza dalla sfera, ma solo dal raggio della sfera. E' una proprietà della sfera elettricamente carica, insomma non è come la forza elettrostatica che è più o meno forte se ci sei più o meno vicino. Spero di essermi fatto capire. Ora, tu che intendi con $r$?

cmq fino al calcolo di Q è ok. Anche se a rigore dovresti farlo integrando $rho$ sul volume sferico: $intintintrhodV=int_0^RintintCr^2drdS$, dove dS è un elemento di superficie sferica

[YetNow]

La densità di carica cresce con r : solo C è costante.
Calcola Q(r) : usa l'integrale che ti hanno suggerito, considera la simmetria del sistema di cariche e scriviti dV=Sdr, risparmierai qualche passaggio.
Noto Q(r), tenendo sempre presente la simmetria del sistema, calcoli E(r), distinguendo i casi $ r <= R e r > R $, che mi sembra ciò che chiede il problema quando parla di una sfera di raggio R. Da qui calcoli la densità di energia elettrostatica.

[frenky46]

Non so se ho capito molto bene come devo fare, ora vi posto i calcoli rifatti :

$\rho=Cr^$$=$$(dq)/(dv)$$=>$$Q=int_V(Cr^2)*dV$$=$$C*int_0^R(r^2*S*dr)$

$=$$C4pi*int_0^R(r^4)*dr$$=$$(C*4pi*R^5)/5$ corretto sino a qui ?

poi non ho capito molto bene come calcolare il campo elettrico comunque ho fatto :

$E(r)=(C*4pi*R^5)/(4pi*epsilon_0*5*r^2)$$=$$(C*R^5)/(5*epsilon_0*r^2)$

poi ora devo calcolare la differenza di potenziale usando la formula $V_R-V_r=int_R^r(E*dl)$ ??

risolvendo questo integrale ho come risultato $(C*R^5)/(5*epsilon_0)*(1/R-1/r)$ il che non mi sembra possibile , cosa ancora nn mi è chiaro ?

[YetNow]

Q è corretta, ma l'E che hai scritto è formalmente valido solo per r>R. Rivedi l'ultimo integrale. Dove c'è campo c'è energia.

[frenky46]

"YetNow":Q è corretta, ma l'E che hai scritto è formalmente valido solo per r>R. Rivedi l'ultimo integrale. Dove c'è campo c'è energia.

Io ho semplicemente sostituito la Q trovata nell'equazione $E=Q/(4pi*epsilon_0*d^2)$
Capisco cosa intendi tu, perchè se volessi considerare il caso in cui $r
$E=(Q*r)/(4pi*epsilon_0*R^3)$ dove $Q$ è quella calcolata in precedenza giusto ?

e ma io quale dei due devo considerare ? nell'esercizio nn è specificato .

Per quanto riguarda l'integrale per la differenza di potenziale credo che l'errore sia il fatto che non so se $R^5$ è un valore costante o che devo integrale, perchè ora ti posto i passaggi come li avevo fatti :

$V_R-V_r=int_R^r(E*dl)$$=$$(C*R^5)/(5*epsilon_0)*int_R^r(1/r^2)*dr$$=$$(C*R^5)/(5*epsilon_0)*(1/R-1/r)$

se l'errore sta proprio dove ho detto io cioè che R non posso portarlo fuori dall'integrale, avrei l'integrale $int_R^r(R^5/r^2)*dr$ e come posso risolverlo ?

[frenky46]

Ma nei due integrali quale campo elettrico devo mettere ?

Devo mettere per l'integrale tra 0 e r il campo elettrico calcolato per $r
e per l'integrale tra R e r il campo calcolato per $r>R$ ?

[raff5184]

"frenky46":Ma nei due integrali quale campo elettrico devo mettere ?

Devo mettere per l'integrale tra 0 e r il campo elettrico calcolato per $r
e per l'integrale tra R e r il campo calcolato per $r>R$ ?

esattamente

[frenky46]

Mi è sorto un dubbio, ma siccome ottengo due valori di energia, dopo li devo sommare ?
Grazie