Enercia cinetica di due corpi, massa ridotta o somma delle masse?
ciao a tutti, sto svolgendo quest'esercizio:
"Un proiettile di piombo di massa $m$ (si assumono noti il calore specifico $c$, la temperatura iniziale $T_i$ e quella di fusione $T_f$ ) si conficca in un bersaglio di massa $M$ inizialmente a riposo, sospeso ad una fune inestensibile di lunghezza $l$; al momento dell’urto esso ha velocità orizzontale. L’urto è completamente anelastico. Supponendo che durante l’urto tutta l’energia cinetica persa sia trasferita, sotto forma di calore, al solo proiettile:
a) determinare la velocità iniziale per cui esso fonde;
b) determinare la massima quota raggiunta dal sistema dopo l’urto.
Ipotizzare che durante l’urto la fune resti in posizione verticale e trascurare il calore latente di fusione."
Sono confuso su una cosa:
nella soluzione, per rispondere al primo quesito, si uguaglia la differenza di energia cinetica al calore ceduto al proiettile, e da li si ricava la velocità che esso deve avere per fondere; ma nella formula dell'energia cinetica compare la massa ridotta delle due masse, mentre, nel secondo punto, cercando la quota utilizzando la conservazione dell'energia meccanica, nell'energia cinetica viene usata la somma delle due masse, non più la massa ridotta...
Perché prima la massa ridotta e poi la somma delle due masse?
Chi mi può illuminare per favore?
Vi scrivo la soluzione:
"a) Ipotizzando che durante l’urto la fune resti in posizione verticale, le forze esterne agenti sul sistema sono dirette lungo la verticale, quindi si conserva la componente orizzontale della quantità di moto, che avrà la stessa direzione della velocità iniziale del proiettile. Siamo quindi nel caso di un urto frontale completamente anelastico in cui si conserva la quantità di moto; la variazione di energia cinetica è data da (con ovvio significato dei simboli):
$E_(k_f) − E_(k_i) = −1/2(m_1m_2)/(m_1+m_2)(v_1 − v_2)^2 = −1/2μ (v_1 − v_2)^2$
dove $μ$ è la massa ridotta del sistema; nel nostro caso la velocità iniziale del bersaglio è nulla; sostituendo i valori dati dal problema ed indicando con $v_0$ la velocità iniziale del proiettile :
$E_(k_f) − E_(k_i) = −1/2(mM)/(m+M)v_0^2 = −1/2μv_0^2$
La quantità di calore necessaria affinché il proiettile raggiunga la temperatura di fusione è data da:
$Q = mc(T_f − T_i)$
e questa deve uguagliare la diminuzione di energia cinetica:
$mc(T_f − T_i) = E_(k_i) − E_(k_f) = 1/2μv_0^2 => v_0^2 = 2m/μc(T_f − T_i)$
b) Il modulo della velocità del sistema subito dopo l’urto sarà dato da (conservazione della quantità di moto):
$v = (m/(m+M))v_0$
Dopo l’urto si conserva l’energia meccanica:
$(m +M)gh_(max) = 1/2 (m +M)v^2$
dove $h_(max)$ è l’elevazione rispetto alla quota iniziale del bersaglio."
(ha usato per indicare le due masse, prima $m_1$ e $m_2$ e poi $m$ ed $M$... ve l'ho incollata tale e quale)
Il pdf è qui:
http://www.dmf.unisalento.it/~manca/fge ... 7b-sol.pdf
è il terzo esercizio.
Grazie ancora a chi potrà aiutarmi...
"Un proiettile di piombo di massa $m$ (si assumono noti il calore specifico $c$, la temperatura iniziale $T_i$ e quella di fusione $T_f$ ) si conficca in un bersaglio di massa $M$ inizialmente a riposo, sospeso ad una fune inestensibile di lunghezza $l$; al momento dell’urto esso ha velocità orizzontale. L’urto è completamente anelastico. Supponendo che durante l’urto tutta l’energia cinetica persa sia trasferita, sotto forma di calore, al solo proiettile:
a) determinare la velocità iniziale per cui esso fonde;
b) determinare la massima quota raggiunta dal sistema dopo l’urto.
Ipotizzare che durante l’urto la fune resti in posizione verticale e trascurare il calore latente di fusione."
Sono confuso su una cosa:
nella soluzione, per rispondere al primo quesito, si uguaglia la differenza di energia cinetica al calore ceduto al proiettile, e da li si ricava la velocità che esso deve avere per fondere; ma nella formula dell'energia cinetica compare la massa ridotta delle due masse, mentre, nel secondo punto, cercando la quota utilizzando la conservazione dell'energia meccanica, nell'energia cinetica viene usata la somma delle due masse, non più la massa ridotta...
Perché prima la massa ridotta e poi la somma delle due masse?
Chi mi può illuminare per favore?
Vi scrivo la soluzione:
"a) Ipotizzando che durante l’urto la fune resti in posizione verticale, le forze esterne agenti sul sistema sono dirette lungo la verticale, quindi si conserva la componente orizzontale della quantità di moto, che avrà la stessa direzione della velocità iniziale del proiettile. Siamo quindi nel caso di un urto frontale completamente anelastico in cui si conserva la quantità di moto; la variazione di energia cinetica è data da (con ovvio significato dei simboli):
$E_(k_f) − E_(k_i) = −1/2(m_1m_2)/(m_1+m_2)(v_1 − v_2)^2 = −1/2μ (v_1 − v_2)^2$
dove $μ$ è la massa ridotta del sistema; nel nostro caso la velocità iniziale del bersaglio è nulla; sostituendo i valori dati dal problema ed indicando con $v_0$ la velocità iniziale del proiettile :
$E_(k_f) − E_(k_i) = −1/2(mM)/(m+M)v_0^2 = −1/2μv_0^2$
La quantità di calore necessaria affinché il proiettile raggiunga la temperatura di fusione è data da:
$Q = mc(T_f − T_i)$
e questa deve uguagliare la diminuzione di energia cinetica:
$mc(T_f − T_i) = E_(k_i) − E_(k_f) = 1/2μv_0^2 => v_0^2 = 2m/μc(T_f − T_i)$
b) Il modulo della velocità del sistema subito dopo l’urto sarà dato da (conservazione della quantità di moto):
$v = (m/(m+M))v_0$
Dopo l’urto si conserva l’energia meccanica:
$(m +M)gh_(max) = 1/2 (m +M)v^2$
dove $h_(max)$ è l’elevazione rispetto alla quota iniziale del bersaglio."
(ha usato per indicare le due masse, prima $m_1$ e $m_2$ e poi $m$ ed $M$... ve l'ho incollata tale e quale)
Il pdf è qui:
http://www.dmf.unisalento.it/~manca/fge ... 7b-sol.pdf
è il terzo esercizio.
Grazie ancora a chi potrà aiutarmi...
Risposte
L'uso della massa ridotta dipende dal fatto che ci si mette dal punto di vista del bersaglio e si considera la velocità relativa del proiettile prima e dopo l'urto. Prima dell'urto la velocità è [tex]{v_0}[/tex], dopo l'urto è 0 (i due corpi sono solidali). Poiché si tratta di un sistema non inerziale, al posto di m in questo caso si usa la [tex]\mu[/tex]. Evidentemente questo dettaglio (!) è stato spiegato nel corso di studi. Io però che da troppo tempo ho perso di vista i corsi di studi, e quindi ricordo solo i principi generali, per risolvere il problema parto dalle basi sulle quali mi sento più sicuro, cioè prendo un sistema di riferimento esterno (inerziale) e dal principio di conservazione della quantità di moto mi calcolo la velocità dei due corpi (solidali) dopo l'urto in funzione della velocità del primo corpo prima dell'urto. Calcolo le due energie cinetiche e faccio la differenza. E quello che salta fuori è proprio [tex]\Delta {E_k} = - \frac{1}{2}\frac{{mM}}{{m + M}}{v_0}^2[/tex].
Bella scoperta, potrebbe dire qualcuno, come riscoprire l'acqua calda. Certo, dico io, ma se la mia acqua col tempo si è raffreddata, ricorrendo ai principi base la scaldo e la riscopro. Il vantaggio dei principi generali di base è che sono pochi, e non si dimenticano mai.
Bella scoperta, potrebbe dire qualcuno, come riscoprire l'acqua calda. Certo, dico io, ma se la mia acqua col tempo si è raffreddata, ricorrendo ai principi base la scaldo e la riscopro. Il vantaggio dei principi generali di base è che sono pochi, e non si dimenticano mai.
[ot]
Quanto tempo...
Bentornato Falco5x![/ot]
Quanto tempo...
Bentornato Falco5x![/ot]
[ot]Ciao Faussone, piacere di vederti, vedo che hai fatto carriera, a giudicare dalle tue lampadine accese!
Dire che sono tornato è un po' azzardato, ho voluto riprovare a leggere qualcosa per misurare lo spessore di ruggine accumulatosi sui miei stanchi neuroni, ma non ho più né tanta voglia né tanto tempo per dedicarmi a queste cose (e forse nemmeno la capacità). Per cui non so se e quanto parteciperò. Vedremo. E comunque per farmi scappare di nuovo basta pochissimo, la mia pazienza verso il mondo è sempre più limitata
. Tu invece vedi di resistere, sei una roccia in questo forum![/ot]
Dire che sono tornato è un po' azzardato, ho voluto riprovare a leggere qualcosa per misurare lo spessore di ruggine accumulatosi sui miei stanchi neuroni, ma non ho più né tanta voglia né tanto tempo per dedicarmi a queste cose (e forse nemmeno la capacità). Per cui non so se e quanto parteciperò. Vedremo. E comunque per farmi scappare di nuovo basta pochissimo, la mia pazienza verso il mondo è sempre più limitata
. Tu invece vedi di resistere, sei una roccia in questo forum![/ot]
grazie Falco5x, hai risposto molto chiaramente alla mia domanda.
mi permetto di confermare anche la tua osservazione su Faussone, grazie a lui ho capito molti argomenti!
mi permetto di confermare anche la tua osservazione su Faussone, grazie a lui ho capito molti argomenti!
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