[ELM] Spira in rotazione nel campo B.
Altro giro, altro esercizio! Venghino signori venghino! 
La mia soluzione:
1) per iniziare, la spira è approssimabile ad un circuito elettrico chiuso formato da 4 resistenze, due a due uguali, che chiamo $R_1, R_2, R_3, R_4$ a partire dalla prima in altro e procedendo in senso orario.
Le resistenze $R_1, R_2$ e $R_3$ sono in serie tra loro, con resistenza equivalente:
$R'=R_1+R_2+R_3=2R_a+R_b$
$R'$ è in parallelo con $R_4$ e quindi la resistenza totale è:
$R=(R_4R')/(R_4+R')=(R_b(2R_a+R_b))/(2(R_a+R_b))$
Qui ho il primo dubbio: non è che invece posso pensare che le resistenze siano tutte in serie e quindi avere una resistenza totale $R=2(R_a+R_b)$?
La spira ruota con velocità angolare $ omega=(dvartheta)/dt rArr vartheta=omegat$
Il flusso del campo $B$ sulla spira è:
$ Phi (B)=oint_(s) Bhat(n) ds=Babcos(vartheta)=Babcos(omegat) $
durante la rotazione viene indotta una f.e.m.
$ f=-(dPhi(B))/dt=omegaB*a*b*sen(omegat) $
da cui si ricava:
$ i(t)=f/R=(2omegaBab*sen(omegat)(R_a+R_b))/(R_b(2R_a+R_b) $
Arrivati a questo punto, la cosa mi quadra poco. Se al tempo $t=0$ la spira si trova parallela al campo $B$ ed è ferma, non si verifica induzione di corrente... A mio avviso $i(0)=0$...
2) Dalla legge di Ohm e ponendo $vartheta=pi$ si ottiene:
$V_A-V_B=R_ai=(2R_a(R_a+R_b)omegaBab*sen(vartheta))/(R_b(2R_a+R_b))=V_D-V_C=0.2 V$
$V_C-V_B=R_bi=(2R_b(R_a+R_b)omegaBab*sen(vartheta))/(R_b(2R_a+R_b))=V_A-V_D=0.3 V$
3) la potenza è data da $P=Ri^2$ e la potenza media su un periodo è:
$ bar(P)=1/Tint_(0)^(T) Ri^2 dt=(omega^2B^2a^2b^2(R_a+R_b))/(R_b(2R_a+R_b))=2.945*10^3W $
Commenti, soprattutto per il primo punto?
Grazie!
La mia soluzione:
1) per iniziare, la spira è approssimabile ad un circuito elettrico chiuso formato da 4 resistenze, due a due uguali, che chiamo $R_1, R_2, R_3, R_4$ a partire dalla prima in altro e procedendo in senso orario.
Le resistenze $R_1, R_2$ e $R_3$ sono in serie tra loro, con resistenza equivalente:
$R'=R_1+R_2+R_3=2R_a+R_b$
$R'$ è in parallelo con $R_4$ e quindi la resistenza totale è:
$R=(R_4R')/(R_4+R')=(R_b(2R_a+R_b))/(2(R_a+R_b))$
Qui ho il primo dubbio: non è che invece posso pensare che le resistenze siano tutte in serie e quindi avere una resistenza totale $R=2(R_a+R_b)$?
La spira ruota con velocità angolare $ omega=(dvartheta)/dt rArr vartheta=omegat$
Il flusso del campo $B$ sulla spira è:
$ Phi (B)=oint_(s) Bhat(n) ds=Babcos(vartheta)=Babcos(omegat) $
durante la rotazione viene indotta una f.e.m.
$ f=-(dPhi(B))/dt=omegaB*a*b*sen(omegat) $
da cui si ricava:
$ i(t)=f/R=(2omegaBab*sen(omegat)(R_a+R_b))/(R_b(2R_a+R_b) $
Arrivati a questo punto, la cosa mi quadra poco. Se al tempo $t=0$ la spira si trova parallela al campo $B$ ed è ferma, non si verifica induzione di corrente... A mio avviso $i(0)=0$...
2) Dalla legge di Ohm e ponendo $vartheta=pi$ si ottiene:
$V_A-V_B=R_ai=(2R_a(R_a+R_b)omegaBab*sen(vartheta))/(R_b(2R_a+R_b))=V_D-V_C=0.2 V$
$V_C-V_B=R_bi=(2R_b(R_a+R_b)omegaBab*sen(vartheta))/(R_b(2R_a+R_b))=V_A-V_D=0.3 V$
3) la potenza è data da $P=Ri^2$ e la potenza media su un periodo è:
$ bar(P)=1/Tint_(0)^(T) Ri^2 dt=(omega^2B^2a^2b^2(R_a+R_b))/(R_b(2R_a+R_b))=2.945*10^3W $
Commenti, soprattutto per il primo punto?
Grazie!
Risposte
"BRN":
Commenti, soprattutto per il primo punto?
1) La resistenza della spira è pari alla somma di tutte le resistenze dei 4 lati (che sono in serie), per la forza elettromotrice puoi semplicemente considerarla pari a quella indotta nel conduttore BC usando la semplice relazione
$e=Bbv_p$
con $v_p$ componente della velocità del lato BC perpendicolare al campo magnetico, ne segue che sarà massima nella posizione di riferimento iniziale per t=0
$e_M=Bbv=Bb\omega a$
e quindi di tipo cosinusoidale
$e=e_Mcos(\omegat)=Bb\omega acos(\omegat)=BS\omegacos(\omegat)$
$i_M=e_M/(2(R_a+R_b))$
per Lenz, inizialmente diretta verso il basso, se come mi sembra di vedere dal disegno $\vec \omega=\omega \hat z$ e avremo
$i(0)=i_M$
(BTW per t=0 la spira non è ferma e il flusso concatenato è funzione del seno di $\vartheta=\omega t$, angolo formato dal piano delle spira e dal piano yz, inizialmente nullo per t=0)
2) Le tensioni massime, che in questo caso non possono essere chiamate (e indicate) differenze di potenziale (come fa il testo), le avremo in corrispondenza della fem massima:
$V_{BA}=V_{DC}=R_ai_M$ e $V_{AD}=R_bi_M$ per $\vartheta=\pi$
$V_{CB}=e_M-R_bi_M$ per $\vartheta=0$
3) Per la potenza media, vista la corrente sinusoidale, basterà usare Joule
$P=2(R_a+R_b)i_{eff}^2=2(R_a+R_b)i_M^2/2$
o equivalentemente
$P=(e_Mi_M)/2$
Effettivamente riguardare il tutto focalizzando l'attenzione sulla componente della velocità lineare ortogonale il campo $B$ è cosa buona e giusta. E' la chiave principale per risolvere questo esercizio.
Poi ci sarebbe da dire anche che non avevo pensato al fatto che il testo non mi dice che a $t=0$ la spira è ferma, che è invece il tempo in cui io incomincio a guardare il sistema che è già in moto.
Non le chiama così, perché probabilmente le correnti alternate non sono state oggetto di studio durante il corso...
Rimangono due cose che non capisco:
Perché $V_{CB}$ non è uguale a $V_{AD}$?
Perché $i_M^2/2$?
Poi ci sarebbe da dire anche che non avevo pensato al fatto che il testo non mi dice che a $t=0$ la spira è ferma, che è invece il tempo in cui io incomincio a guardare il sistema che è già in moto.
"RenzoDF":
Le tensioni massime, che in questo caso non possono essere chiamate (e indicate) differenze di potenziale (come fa il testo),
Non le chiama così, perché probabilmente le correnti alternate non sono state oggetto di studio durante il corso...
Rimangono due cose che non capisco:
"RenzoDF":
$V_{CB}=e_M-R_bi_M$ per $\vartheta=0$
Perché $V_{CB}$ non è uguale a $V_{AD}$?
"RenzoDF":
3) Per la potenza media, vista la corrente sinusoidale, basterà usare Joule
$P=2(R_a+R_b)i_{eff}^2=2(R_a+R_b)i_M^2/2$
o equivalentemente
$P=(e_Mi_M)/2$
Perché $i_M^2/2$?
"BRN":
Effettivamente riguardare il tutto focalizzando l'attenzione sulla componente della velocità lineare ortogonale il campo $B$ è cosa buona e giusta. E' la chiave principale per risolvere questo esercizio.
Beh, anche con la "regola del flusso" andava bene ugualmente.
"BRN":
... Non le chiama così, perché probabilmente le correnti alternate non sono state oggetto di studio durante il corso...
Non è questione di "alternata", è che in quel caso, ovvero per quel campo elettrico, non esiste un funzione potenziale scalare del punto V(P) e quindi non possiamo parlare di differenze di potenziale V(A) - V(B) fra due punti A e B, ma solo di tensione fra i due punti, ovvero di un'integrale di linea del campo elettrico che però viene a dipendere dal percorso di integrazione.
"BRN":
... Perché $V_{CB}$ non è uguale a $V_{AD}$?
Assolutamente no, lascio a te scoprire il perché.
"BRN":
... Perché $i_M^2/2$?
Perché in corrente alternata sinusoidale il valore efficace è pari a quello massimo diviso la radice di due
$ i_{eff}=i_M/\sqrt(2)$
Ho provato a fare l'esercizio e non capisco solo una cosa: come mai la $ fem $ indotta è distribuita solamente sul lato esterno e non sugli altri due che dopo tutto sono anche loro in movimento? Grazie.
"luc.mm":
... come mai la $ fem $ indotta è distribuita solamente sul lato esterno e non sugli altri due che dopo tutto sono anche loro in movimento?
C'è movimento e movimento e detta semplicemente, quei due lati "non tagliano" le linee di forza del campo magnetico, ad ogni modo per essere più rigorosi, basta applicare Lorentz per convincersene.
"RenzoDF":
Beh, anche con la "regola del flusso" andava bene ugualmente.
Sì sì, l'ho anche ricorretta e tutto ritorna.
"RenzoDF":
[quote="BRN"]... Perché $ V_{CB} $ non è uguale a $ V_{AD} $?
Assolutamente no, lascio a te scoprire il perché.
[/quote]
Mah... direi perchè il tratto AD giace sull'asse di rotazione e quindi rimane fisso nella sua posizione senza essere soggetto alla velocità di rotazione. Quindi sulla spira è presente la fem indotta dalla variazione del flusso di $B$ e la tensione dovuta al passaggio della corrente indotta. le due si sommano algebricamente.
Ci sono quasi?
Grazie mille, ho capito.
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