[ELM] Campi B e H in barra magnetizzata.

[BRN1]

Ciao gente! Ho tra le mani questo esercizio che mi è un po' ostico:



Mia soluzione:
1) La magnetizzazione è uniforme e quindi la densità volumica di corrente di magnetizzazione è nulla: $J_(mv)=0$
La densità superficiale di corrente di magnetizzazione è $J_(ms)=M xx hat(n)=2*10^5 A/m$ uscente dal lato alto e entrante dal lato basso.
Infine, essendo le correnti su ambo i lati della barra uguali e contrarie, si ha che la corrente totale è nulla.

2) al centro della sezione, considerando i contributi delle correnti infinitesimali nei quattro angoli della sezione, ho che partendo dalla legge di Biot-Savart:

$B=(mu_0I)/(2pir)$

ottengo che la somma $dB$ di questi contributi giace sull'asse orizzontale che passa per il centro della sezione (asse $x$) e vale:

$dB=2(mu_0I_m)/(2pi sqrt(a^2/2)) hat(u_x)$

da cui, integrando da $0$ a $a/2$ e considerando entrambe le metà della sezione, si ottiene:

$ B=2int_(0)^(a/2) dB dx =(mu_0I_m)/(2pi sqrt(a^2/2))a/2 $

invece per $0 < z < a/2$ mi ritrovo in alto mare...

3)nel punto $z=a/2$, cioè sulla superficie di separazione tra due mezzi, ho la conservazione della componente normale alla superficie di $B$. In quel punto, le correnti uscenti sul lato alto della sezione generano dei campi $B$ con solo componenti normali uguali ed opposte e pertanto il loro contributo si annulla. La stessa cosa vale per le componenti normali dei campi generati dalle correnti entranti sul lato basso della sezione. il risultato è che in $z=a/2$ si ha $B=H=0$.

Mi correggete per favore?

Grazie!

[RenzoDF]

"BRN":... La magnetizzazione è uniforme e quindi la densità volumica di corrente di magnetizzazione è nulla: ...
La densità superficiale di corrente di magnetizzazione è $J_(ms)=M xx hat(n)=2*10^5 A/m$ uscente dal lato alto e entrante dal lato basso.... la corrente totale è nulla.

Ok

"BRN":... 2) al centro della sezione, considerando i contributi delle correnti infinitesimali nei quattro angoli della sezione, ho che partendo dalla legge di Biot-Savart:... ottengo che la somma $dB$ di questi contributi giace sull'asse orizzontale che passa per il centro

Questa non la capisco, i contributi sono relativi a tutta la distribuzione di corrente superficiale, cosa c'entrano i "quattro angoli" ? Devi scrivere il contributo elementare in funzione della posizione orizzontale x e sfruttando la simmetria del problema andare ad integrare per 0 < x < a/2, considerando contemporaneamente i quattro contributi: superiore, inferiore e i corrispondenti simmetrici rispetto all'asse z, non credi?

"BRN":... invece per $0 < z < a/2$ mi ritrovo in alto mare...

Per quanto riguarda il campo in O ci sarebbe una scorciatoia, ricordando il campo sull'asse di un solenoide corto, ma visto che poi ti viene chiesta anche la generica B(0,0,z) fuori asse, ti conviene andare a ricavarti subito quella, per poi particolarizzare in O con B(0.0,0).

"BRN":... 3)nel punto $z=a/2$, cioè sulla superficie di separazione tra due mezzi, ho la conservazione della componente normale alla superficie di $B$. In quel punto, le correnti uscenti sul lato alto della sezione generano dei campi $B$ con solo componenti normali uguali ed opposte e pertanto il loro contributo si annulla. La stessa cosa vale per le componenti normali dei campi generati dalle correnti entranti sul lato basso della sezione.

Giusto, componenti normali di B sull'asse z non ce ne sono, ma forse ce ne sono di tangenziali.

[BRN1]

"RenzoDF":
Questa non la capisco, i contributi sono relativi a tutta la distribuzione di corrente superficiale, cosa c'entrano i "quattro angoli" ? Devi scrivere il contributo elementare in funzione della posizione orizzontale x e sfruttando la simmetria del problema andare ad integrare per 0 < x < a/2, considerando contemporaneamente i quattro contributi: superiore, inferiore e i corrispondenti simmetrici rispetto all'asse z, non credi?

E' proprio quello che ho tentato di fare, ho considerato i quattro contributi (superiore, inferiore e i corrispondenti simmetrici rispetto all'asse z) delle correnti infinitesimali in prossimità degli spigoli della sezione della barra.
Il problema è che, per un generico punto sull'asse z, non riesco a racappezzarmi più con gli angoli e le distanze dal punto...

per quanto riguarda il punto 3), i contributi delle correnti uscenti sono totalmente normali alla superficie di separazione dei mezzi e opposti, quindi si annullano. La stessa cosa succede per i contributi normali delle correnti entranti, ma in questo caso sopravvivono i contributi tangenziali.
Quindi ho che appena al di fuori della superficie di separazione vale:

$dH_(t2)=dH_(t1)=B_(m)/mu_0sintheta$

$dB_t=B_msintheta$

con $B_m$ il valore di $B$ all'interno del materiale e che dovrei trovare al punto 2) dell'esercizio.

[RenzoDF]

Una volta disegnato il quadrato, e un generico punto P:(0,0,z), per ogni generica x i quattro contributi saranno rappresentati da quattro vettori come 1,2,3,4 di figura, i primi due per il lato superiore e i secondi per quello inferiore

[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
RV 50 20 130 100 0
BE 100 66 97 68 93 69 90 69 0
TY 61 60 4 3 0 1 0 * -x
TY 111 102 4 3 0 0 0 * dx
TY 83 4 4 3 0 0 0 * z
TY 85 61 4 3 0 0 0 * O
TY 113 59 4 3 0 1 0 * x
TY 146 62 4 3 0 0 0 * x
BE 90 29 95 29 97 33 97 33 0
TY 95 69 4 3 0 1 0 * α
TY 94 23 4 3 0 1 0 * β
TY 98 22 3 2 0 1 0 * 2
TY 102 49 3 2 0 1 0 * 1
TY 114 15 3 2 0 1 0 * 1
TY 64 15 3 2 0 1 0 * 2
TY 102 33 3 2 0 1 0 * 3
TY 114 93 3 2 0 1 0 * 3
TY 102 42 3 2 0 1 0 * 4
TY 64 102 3 2 0 1 0 * 4
TY 80 13 4 3 0 0 0 * a/2
TY 132 61 4 3 0 0 0 * a/2
TY 84 37 4 3 0 1 0 * P
SA 90 39 0
LI 90 39 115 20 1
FCJ 0 0 3 1 1 0
LI 90 39 104 56 1
FCJ 2 0 3 1 0 0
TY 135 42 4 3 0 1 2 * dB
LI 90 39 140 40 2
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 90 39 104 22 3
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 90 39 65 20 3
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 104 56 118 39 3
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 90 39 101 34 9
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 118 39 129 34 9
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 90 39 115 100 9
LI 90 39 65 100 10
LI 129 34 140 40 10
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 90 39 101 45 10
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 35 60 150 60 13
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 90 3 90 108 13
FCJ 1 0 3 1 0 0
LI 68 20 68 100 14
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 112 20 112 100 14
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 63 20 63 100 14
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 117 20 117 100 14
FCJ 0 0 3 2 1 0[/fcd]
per i raggi basterà Pitagora e per la somma vettoriale basterà notare che l'angolo fra 1 e 2 e l'asse x è pari a $\beta$, mentre quello di 3 e 4 $\alpha$; in questo modo sarà semplice ricavare il campo infinitesimo $d\vecB=(dB(z),0,0) $ e da questo integrando per x che va da 0 ad a/2 quello complessivo $B(P)$.

[BRN1]

Grazie del disegno, a questo ci ero arrivato. Più che altro il problema viene dopo. Le componenti sull'asse z si compensano a vicenda e quindi rimangono solo le componenti lungo x da sommare. Solamente che mi esce un $dB$ da integrare che non mi piace affatto...

$dB=(mu_0I)/(2pi)[(tg(pi/2-beta))/(sqrt((a/2-z)^2+x^2) )-(tg(pi/2-alpha))/(sqrt((z+a/2)^2+x^2) )]$

[RenzoDF]

In quella relazione (assenza di dx a parte), non capisco da dove arrivino quelle tangenti e nemmeno quella sottrazione, io per proiettare lungo x i vettori 1 e 2 avrei usato il $cos(1beta)$ e per 3 4 il $cos(\alpha)$, sommando i contributi, non sottraendoli.

[BRN1]

Ad esempio, la componente sull'asse x del contributo della corrente infinitesima 1, la scrivo sosì:

$B_(1x)=(mu_0I)/(2pisqrt((a/2-z)^2+x^2))(sin(pi/2-beta))/(cos(pi/2-beta))$

considerando anche la componente lungo x del raggio vettore che identifica la posizione del punto P dalla corrente infinitesimale. La sotrazione arriva dal fatto che le correnti entranti sono negative.

Rimani scioccato da tutto ciò?

Sono scarsino in trigonometria, infatti non me l'ha mai insegnata nessuno...

[RenzoDF]

Scusa ma visto che il campo dB1 in P è normale al raggio r che unisce l'elemento infinitesimo dx in 1 al punto P

[fcd="fig.2"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
RV 50 20 130 100 0
TY 61 60 4 3 0 1 0 * -x
TY 111 102 4 3 0 0 0 * dx
TY 83 4 4 3 0 0 0 * z
TY 85 61 4 3 0 0 0 * O
TY 113 59 4 3 0 1 0 * x
TY 146 62 4 3 0 0 0 * x
BE 90 29 95 29 97 33 97 33 0
TY 94 23 4 3 0 1 0 * β
TY 99 54 3 2 0 1 0 * 1
TY 114 15 3 2 0 1 0 * 1
TY 64 15 3 2 0 1 0 * 2
TY 114 93 3 2 0 1 0 * 3
TY 64 102 3 2 0 1 0 * 4
TY 80 13 4 3 0 0 0 * a/2
TY 132 61 4 3 0 0 0 * a/2
TY 84 37 4 3 0 1 0 * P
SA 90 39 0
BE 100 39 100 44 96 46 96 46 0
TY 100 43 4 3 0 1 0 * β
TY 101 23 4 3 0 1 1 * r
LI 90 39 115 20 1
FCJ 0 0 3 1 1 0
LI 90 39 104 56 1
FCJ 2 0 3 1 0 0
TY 103 55 4 3 0 1 1 * dB1
TY 98 33 4 3 0 1 2 * dB1x
LI 90 39 104 39 2
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 90 39 65 20 3
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 90 3 90 108 13
FCJ 1 0 3 1 0 0
LI 104 39 104 55 13
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 35 60 150 60 13
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 63 20 63 100 14
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 68 20 68 100 14
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 117 20 117 100 14
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 112 20 112 100 14
FCJ 0 0 3 2 1 0[/fcd]

avremo che per la componente del solo elemento 1 destro superiore sarà

$dB_{1x}=\frac{\mu_0I_m dx}{2\pi r}cos \beta = \frac{\mu_0I_m dx}{ 2\pi r } \frac{(a/2-z)}{r}= \frac{\mu_0I_m dx}{ 2\pi }\frac{ (a/2-z) }{ (a/2-z)^2+x^2 } $

"BRN": ... La sotrazione arriva dal fatto che le correnti entranti sono negative.

Scusa della sincerità BRN, ma se mi rispondi in questo modo, vedo difficile continuare il dialogo; intendi forse dire che la corrente di magnetizzazione sul lato inferiore, essendo di verso opposto a quella del lato superiore, dà un contributo negativo al campo in P?

[BRN1]

"RenzoDF":
[quote="BRN"] ... La sotrazione arriva dal fatto che le correnti entranti sono negative.

Scusa della sincerità BRN, ma se mi rispondi in questo modo, vedo difficile continuare il dialogo; intendi forse dire che la corrente di magnetizzazione sul lato inferiore, essendo di verso opposto a quella del lato superiore, dà un contributo negativo al campo in P? [/quote]

Effettivamente tutti i contributi delle correnti stanno sull'asse x con verso positivo, quindi non c'è ragione di considerare le correnti entranti come negative...

Credo, con questi ultimi due esercizi che ho postato, di aver messo a dura prova la tua pazienza. Scusami, ma non era mia intenzione...

A parte questo, grazie dell'aiuto che mi hai dato fino a qui, è stato davvero utile