[Elettrotecnica] Potenze istantanea e trifase

[PoliBa12]

Salve a tutti, nello studio della potenza istantanea in regime AC mi sono imbattuto nella seguente formula:
$ p(t) = UIcos(\phi)[1 - cos(2(\omegat + \phi))] + UIsin(\phi)sin(2(\omegat + \phi)) = p_a + p_r $

Posto che essendo in regime AC, sia la corrente che la tensione seguono un andamento sinusoidale con le seguenti leggi:
$ u(t) = Usin(\omegat + \phi_u) $
$ i(t) = Isin(\omegat + \phi_i) $

Posto che la potenza istantanea si ricava moltiplicando la tensione per la corrente:

$ p(t) = i(t)u(t) $

In base a quali considerazioni trigonometriche si arriva all' espressione iniziale?
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Inoltre, in un sistema trifase simmetrico ed equilibrato, le 3 potenze sono o non sono uguali in modulo, fase e pulsazione? Per ottenere ciascuna di esse moltiplico la tensione per la corrente coniugata, e quindi lo sfasamento di 120° che esse hanno (ciascuna tensione rispetto alla precedente, ciascuna corrente rispetto alla precedente) si annulla.

Ringrazio chiunque dovesse darmi una mano nel risolvere questi dubbi.

[mdonatie]

Se consideri che la tensione e la corrente siano in regime periodi sinusoidale ed isofrequenziali allora la potenza può essere riscritta come:
$p(t)=sqrt(2)U\sin(\omega t + \theta_U)*sqrt(2)I\sin(\omega t + \theta_I)=2UI\sin(\omega t + \theta_U)\sin(\omega t + \theta_I)$
Quindi applicando: $\sin(a)*\sin(b)=1/2[\cos(a-b)-\cos(a+b)]$:

$p(t)=UI\cos(\theta_U-\theta_I)-UI\cos(2\omega t +\theta_U +\theta_I)$

Dalla relazione, troviamo $theta_U-\theta_I$ che indica l'angolo di ritardo della corrente rispetto la tensione che per semplicità potremmo chiamare $\phi$. Nel termine che viene sottratto possiamo pensare di sommare e sottrarre $\theta_I$ nell'argomento del coseno.

$p(t)=UI\cos\phi-UI\cos(2\omega t +2\theta_I +\theta_U - \theta_I)=UI\cos\phi-UI\cos(2\omega t +2\theta_I +\phi)$

Adesso sfruttando la proprietà trigonometrica $\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$, in particolare ponendo $a=2\omega t +2\theta_I$ e $b=\phi$

$p(t)=UI\cos\phi-UI[\cos(2\omega t +2\theta_I)\cos\phi-\sin(2\omega t +2\theta_I)\sin\phi]$

Adesso basta raccogliere i termini

$p(t)=UI\cos\phi[1-\cos(2\omega t +2\theta_I)]+UI\sin(2\omega t +2\theta_I)\sin\phi$

Adesso potresti effettuare le considerazioni per un sistema trifase simmetrico applicando il teorema di Boucherot e dalla considerazione che le tensioni sono sfasate di $2\pi/3$ ed anche le correnti, che sono isofrequenziali, che $I_1=I_2=I_3$ e che $U_1=U_2=U_3$.

[PoliBa12]

Grazie mille per la risposta chiarissima!

Ho anche capito perchè sulle dispense da cui sto studiando, nel diagramma delle potenze attive trifase, esse compaiano come funzioni sinusoidali sfasate di 120°: nella "parte attiva" della potenza istantanea c'è la fase della corrente i-esima e questo fa sì che una potenza attiva sia sfasata rispetto alla precedente di 120°.