Elettrotecnica, magnetismo

[Luca150Italia]

Buonasera,

vorrei per favore assistenza per il punto 2.2) del seguente esercizio:



Segue il mio svolgimento, per completezza anche del punto precedente:

punto 2.1)

$DeltaV=I_(MAX)*(R_L*cos(phi)+X_L*sin(phi))<=10 V$

con $R_l=2*R_C=2*(eta_(Cu)*l_(MAX))/S=2*(eta_(Cu)*l_(MAX))/(pi*a^2)$ resistenza della linea,

$phi=tan^(-1)(20/20)=pi/4$ fase del carico

e $X_L=2*pi*f*L=2*f*mu_0*ln((d-a)/a)*l_(MAX)$ contributo induttivo

Quindi $l_(MAX)=50,97 m$ per $I_(MAX)=25 A$, che credo sia corretto perché circa $49,14 A$

punto 2.2)

$B_(MIN)=(mu_0*I_(MIN))/(pi*d/2)=0,8 mT$

Non conosco la relazione fra campo di induzione magnetica e energia magnetica, qualcuno mi aiuta per favore?

Molte grazie,

Luca

[ingres]

Basta che fai

$W=1/2*L*I_(min)^2$

[Luca150Italia]

Ho provato a calcolare la lunghezza minima in maniera analoga alla lunghezza massima calcolata al punto 2.1), e mi esce pari a 127,59 m. A questo punto utilizzando la tua formula l'energia magnetica risulta W=5,31mJ. Potresti cortesemente farmi sapere se lo svolgimento è corretto, visto che i miei risultati escono di poco differenti dalla soluzione (lunghezza massima 50,97m invece di 49,14m; W = 5,31mJ anziché 5,40mJ)?

Grazie mille,

Luca

[ingres]

Ciao Luca

Con le formule indicate mi ritorna il numero che hai calcolato. Però ho qualche dubbio sul valore precisato nel testo di resistività del rame che è un pò basso (per es. a 20 gradi vale 1.75E-8 ohm*m, a cui corrsponde, rifacendo i conti, una lunghezza di 49.5 m. Quindi una spiegazione potrebbe essere che abbiano fatto i conti con una resistivà leggermente diversa.

[Luca150Italia]

Grazie,

"le formule indicate" credo siano corrette e dunque ti ringrazio ancora per il chiarimento e l'ipotesi di spiegazione.

[marco.ceccarelli]

Buon pomeriggio, non concordo. Ok la lunghezza massima al p.to 1: posta quella caduta di tensione e la condizione di funzionamento a corrente massima, quello è il risultato. Ok anche il campo magnetico minimo, caso dove la condizione di funzionamento è a corrente minima. Ma l'energia magnetica in corrispondenza della corrente minima perché è stata calcolata con quella "lunghezza minima [...] pari a 127,59 m", che peraltro è la lunghezza MASSIMA nella condizione di funzionamento a corrente minima? Io considererei comunque la lunghezza calcolata prima, chiedo ad @ingres od altri se siano d'accordo con me. Ciao

[ingres]

Ciao Bubbino1993

Una buona osservazione che merita una spiegazione approfondita.
In realtà lunghezza massima e minima si riferiscono ad una stessa caduta di tensione massima (poichè non è assegnata la minima caduta di tensione potrei prendere zero, ma credo che non sia questa l'ipotesi a base dell'esercizio).

Ora la caduta è proporzionale alla corrente e all'impedenza totale a sua volta legata alla lunghezza. Infatti si ha:

$I_max*l_max = I_min*l_min = 1275=k$

Poichè L è proporzionale alla lunghezza, l'energia magnetica si può scrivere:

$W_m = k'*l*I^2 = k'*k*I$

Quindi l'energia magnetica in queste ipotesi è proporzionale alla corrente e pertanto per avere l'energia minima è corretto prendere la corrente minima, ma per quanto detto dovrò anche prendere la corrispondente lunghezza.
Peraltro in maniera molto pragmatica il valore che si ottiene con questa scelta torna con il risultato, mentre se prendessi l'altra lunghezza il risultato sarebbe meno della metà.

[marco.ceccarelli]

Ti ringrazio, ma non concordo ancora. Al p.to 1 secondo me è richiesta la lunghezza massima, in corrispondenza della corrente massima, tale che la caduta di tensione massima sia 10 V. Ok, la lunghezza è 50,97 m con quelle formule approssimate. Al p.to 2 invece è richiesto il campo magnetico in corrispondenza della corrente minima ed ok anche qua, è 0,8 mT. Peraltro è ancora valida la condizione del p.to 1 sulla caduta di tensione massima, a maggior ragione con la corrente minima. Sempre al p.to 2 è richiesta anche l'energia magnetica in corrispondenza della corrente minima, ma da nessuna parte è richiesto pure di cambiare la lunghezza per avere esattamente la caduta di tensione massima. Si tratta di un caso dove la corrente è quella minima e la lunghezza è quella calcolata prima, la caduta di tensione sarà minore di quella massima ed ok: è ancora valida la condizione del p.to 1 sulla caduta di tensione massima. D'altra parte:
1. non vedo perché chiamare "minima" una lunghezza che, a conti fatti, è maggiore di quella massima;
2. la lunghezza massima della soluzione è una, mentre secondo il tuo discorso ce ne sarebbero dovute essere 3 (una per ogni corrente in corrispondenza della caduta di tensione massima, dipende come s'interpreta la domanda);
3. le soluzioni dei testi a volte sono errate, non ci farei affidamento.
Scusami gli eventuali errori, ciao!

[ingres]

Una premessa: in genere questi esercizi non sono tanto esercizi di Elettrotecnica ma di Impianti Elettrici, in cui esistono diversi criteri di dimensionamento delle linee. Uno di questi si basa sulla massima caduta di tensione, ovvero date le caratteristiche di consumo del carico (es. corrente e cosfi), valutare i parametri della linea in modo da rispettare le specifiche. Tipicamente si stima la sezione data la lunghezza, ovvero la distanza tra il generatore e il carico, ma ovviamente si può anche fare il contrario ovvero stimare la massima lunghezza della linea assegnate sezione e caratteristiche del carico.

Passiamo al merito dei tuoi dubbi

"Bubbino1993":1. non vedo perché chiamare "minima" una lunghezza che, a conti fatti, è maggiore di quella massima;

In realtà, per quanto premesso, si tratta di 2 lunghezze massime ovvero più correttamente:
$l_(max-Imin), l_(max-Imax)$
poi per semplicità uno le può nominare anche $l_min$ e $l_max$, ma è importante aver sempre presente il reale significato.

"Bubbino1993":2. la lunghezza massima della soluzione è una, mentre secondo il tuo discorso ce ne sarebbero dovute essere 3 (una per ogni corrente in corrispondenza della caduta di tensione massima, dipende come s'interpreta la domanda);

Esattamente. La lunghezza massima dipenderà dalle caratteristiche del carico ovvero da quanto assorbe e quelle trovate sono quelle dei due casi estremi a 10 A e 25 A.

"Bubbino1993":3. le soluzioni dei testi a volte sono errate, non ci farei affidamento.

Pienamente d'accordo anche perchè in un altro esercizio di Luca i risultati erano errati. Infatti ho scritto che la mia era un'osservazione "pragmatica" e non tecnica.

[marco.ceccarelli]

Ti ringrazio ancora, quindi concordi l'esercitazione si possa svolgere anche come da me interpretata? Ok il discorso sugli impianti elettrici, ma io mi attenevo a quanto scritto e secondo me è corretto usare la stessa lung.

[ingres]

"Bubbino1993":quindi concordi l'esercitazione si possa svolgere anche come da me interpretata?

Bisogna interpretare il testo come segue ovvero:
"Si supponga che il carico sia posto alla lunghezza minima tra le lunghezze massime calcolate in precedenza. Calcolare per tale lunghezza e per la corrente minima il valore di energia magnetica"

Secondo me meno probabile, ma pur sempre possibile.

[Luca150Italia]

Grazie ad entrambi,

seguono i dati di un esercizio analogo:

$mu_0=4*pi*10^7 H/m$

$a=1,5 mm$

$d=8*a$

$dotZ=20+10j [mOmega]$

$I={15;20;30} A$

$f=50 Hz$

$eta_(Cu)=1,7*10^(-8) Omegam$

I risultati sono:

$l_(MAX)=75,45 m$

$B_(MIN)=1 mT$

$W_m=6,6 mJ$

In particolare l'energia magnetica $W_m$ di cui la soluzione si ottiene con la lunghezza $l_(MAX)$, come ipotizzato da Bubbino per l'esercizio iniziale (dove però, come osservato da Ingres, andava considerata la lunghezza chiamata $l_(MIN)$ per brevità). Insomma problemi uguali sono stati svolti in modo diverso, chissà!

[ingres]

Dove immagino la soluzione trovata in questo modo coincideva con quella del testo.

Purtroppo certe volte bisogna essere pragmatici nell'interpretare un testo.

[Luca150Italia]

Buonasera, @ingres,

ci tengo a farti sapere che l'esame sostenuto pocanzi è andato molto bene ed a ringraziarti tanto per tutto.

Grazie ancora,

Luca

[ingres]

Sono proprio contento! Grazie per il feedback