Elettrotecnica - Esercizio su un transitorio del primo ordine RC con interruttore

[lonelyharp]

Ciao a tutti,
non riesco a risolvere questo esercizio:
Nella rete mostrata in figura l'interruttore si chiude nell'istante t = 0 s. Sapendo che E1 = 150 V, R1 = 2 Ω, R2 = 8 Ω, C = 1 mF, calcolare la tensione ai capi del condensatore dopo 10 costanti di tempo dalla chiusura dell'interruttore.
La soluzione è 120V.



Il mio procedimento sbagliato:
In tt=0 e in t<0 la tensione ai capi del condensatore vale E = 150 V.
In t>0: procedo inserendo un corto circuito al posto dell'interruttore e riduco il circuito ad un circuito standard RC con una resistenza equivalente in parallelo al condensatore. R equivalente mi viene 1,6 ohm quindi moltipllicando R per C trovo la costante di tempo= 1,6 ms o 1600 s.
Quindi $ Vc(t) = 150 e^(-t/(10\tau)) $ ma non torna il risultato.

Potete dirmi cosa sbaglio o come andrebbe risolto?
Grazie.

[RenzoDF]

"lonelyharp":... Potete dirmi cosa sbaglio ...

Sbagli diverse cose; la tensione sul condensatore, partendo dalla tensione iniziale che hai calcolato $v(0)=150 \ \text{V}$, andrà a portarsi, per $t$ tendente a infinito, al valore di regime [nota]Ovvero a transitorio esaurito, tensione pari anche a quella del generatore equivalente secondo Thevenin, se lo conosci.[/nota], determinabile via partitore di tensione, (in quanto il condensatore, una volta carico, equivarrà ad un circuito aperto)

$v(\infty)=E \cdot R_2/(R_1+R_2)=120 \ \text{V}$

e visto che viene richiesta la tensione dopo un tempo molto maggiore della costante di tempo, ci si potrebbe fermare qui con la soluzione, in quanto la tensione sul condensatore sarà di certo molto vicina a questo valore.

Volendo proseguire nell'analisi dell'evoluzione del sistema

"lonelyharp":... R equivalente mi viene 1,6 ohm quindi moltipllicando R per C trovo la costante di tempo= 1,6 ms o 1600 s ...

Esatto, ultima equivalenza a parte.

$\tau=R_{eq}\ C=1.6\ \text{ms}$.

A questo punto non so come hai studiato l'evoluzione del transitorio di un circuito RC, dipende dal corso che stai seguendo, in elettrotecnica, per esempio, normalmente si usa direttamente la seguente relazione notevole,

$v(t)=[v(0)-v(\infty)]e^{-\frac{t}{\tau}}+v(\infty)$

che volendo puoi anche facilmente ricavare a partire dall'equazione differenziale [nota]Risolvendo la quale otterrai $v(t)=k_1+k_2e^{-\frac{t}{\tau}}$, che grazie alle condizioni iniziale $v(0)$ e finale $v(\infty)$, ti permetterà di ottenere le due costanti $k_i$ (rispettivamente 120 e 30 V) e quindi la relazione che ti ho indicato.[/nota].

Relazione che al tempo $t=10 \tau$, porterà a

$v(10\tau)=[v(0)-v(\infty)]e^{- (10\tau)/\tau}+v(\infty)=[150-120]e^{-\10}+120\approx 120 \ \text{V}$

[lonelyharp]

Grazie mille, sei stato molto chiaro!
Purtroppo il libro di testo del mio corso non è molto chiaro sulla risoluzione degli esercizi e il tutor non è contattabile. Ora devo trovare un libro che mi faccia comprendere meglio i vari metodi di risoluzione. Se hai consigli sono bene accetti.

A questo punto non so come hai studiato l'evoluzione del transitorio di un circuito RC, dipende dal corso che stai seguendo, in elettrotecnica, per esempio, normalmente si usa direttamente la seguente relazione notevole

qui ho erroneamente usato la relazione della risposta naturale di un circuito, ovvero privo di eccitazione, che si applica invece quando non c'è un generatore indipendente.

[RenzoDF]

Quale corso segui e qual è il libro consigliato?

[lonelyharp]

seguo il corso di Elettrotecnica della triennale in Ing. Informatica presso l'università Uninettuno e il libro consigliato è "Elettrotecnica" di Luciano De Menna, ed. Vittorio Pironti, Napoli 1998

[RenzoDF]

Sul De Menna c'è tutto quello che serve per la soluzione dei transitori.

[lonelyharp]

Ciao, scusami quindi in questo caso: per tT è in regime transitorio, infine per t--> infinito il regime torna di nuovo stazionario?

grazie.

[RenzoDF]

Premesso che non capisco cosa sia T e quel 10s, è sottinteso dal testo che, prima di chiudere l'interruttore, come si suol dire per $t=0^-$, ci troviamo in regime stazionario, ovvero con condensatore completamente carico, equivalente ad un circuito aperto.
Dopo la chiusura dell'interruttore per t=0, nell'intervallo da $0^+sempre in regime transitorio, ma (normalmente) il transitorio si considera praticamente esaurito dopo 5 volte la costante di tempo, in quanto la variazione della tensione ha superato il 99 % (e ancor più nel tuo caso, dopo $10\tau$, il 99,99%) del $\Delta V=v(\infty)-v(0)$ fra i due stati stazionari.