Elettrostatica: Filo carico negativamente
Ciao a tutti!
Dopo averci perso più di due ore, vorrei che qualcuno, gentilmente, possa chiarirmi qualche dubbio sul filo indefinito carico, perchè voglio capire...
Mi trovo in un spazio dove il generico raggio vettore lo scrivo come: $r = x i + y j + z k$
Ho un filo (con cariche negative $- \lambda$) che si trova lungo l'asse $x$
Dal t. di Gauss trovo che il campo è perpendicolare al filo e diretto sull'asse quindi:
Ora come asse perpendicolare a x se scelgo y o z è indifferente...la mia domanda è:
in quali casi posso usoSOLO e Soltanto un asse e non l'altro?
Dopo averci perso più di due ore, vorrei che qualcuno, gentilmente, possa chiarirmi qualche dubbio sul filo indefinito carico, perchè voglio capire...
Mi trovo in un spazio dove il generico raggio vettore lo scrivo come: $r = x i + y j + z k$
Ho un filo (con cariche negative $- \lambda$) che si trova lungo l'asse $x$
Dal t. di Gauss trovo che il campo è perpendicolare al filo e diretto sull'asse quindi:
Ora come asse perpendicolare a x se scelgo y o z è indifferente...la mia domanda è:
in quali casi posso usoSOLO e Soltanto un asse e non l'altro?
Risposte
Ho l'impressione che ci sia qualcosa che non va in quello che hai scritto.
Il campo in un generico punto $vec(r)=(x.y.z)$ è comunque ortogonale al filo. Nella tua espressione compare, a direzionare il campo, il versore di $vec(r)$, il che ne fa un campo radiale rispetto all'origine. Se il filo è allineato sull'asse $x$ la direzione del campo è quella del vettore $(0,y,z)$, che rappresenta la generica direzione ortogonale al filo, e se il filo è carico negativamente il verso è quello opposto (il che implica un segno $-$ davanti all'espressione del campo). Salvo miei errori e se ho capito bene il senso della tua domanda.
Il campo in un generico punto $vec(r)=(x.y.z)$ è comunque ortogonale al filo. Nella tua espressione compare, a direzionare il campo, il versore di $vec(r)$, il che ne fa un campo radiale rispetto all'origine. Se il filo è allineato sull'asse $x$ la direzione del campo è quella del vettore $(0,y,z)$, che rappresenta la generica direzione ortogonale al filo, e se il filo è carico negativamente il verso è quello opposto (il che implica un segno $-$ davanti all'espressione del campo). Salvo miei errori e se ho capito bene il senso della tua domanda.
"Palliit":
Ho l'impressione che ci sia qualcosa che non va in quello che hai scritto.
Il campo in un generico punto $vec(r)=(x.y.z)$ è comunque ortogonale al filo. Nella tua espressione compare, a direzionare il campo, il versore di $vec(r)$, il che ne fa un campo radiale rispetto all'origine. Se il filo è allineato sull'asse $x$ la direzione del campo è quella del vettore $(0,y,z)$, che rappresenta la generica direzione ortogonale al filo, e se il filo è carico negativamente il verso è quello opposto (il che implica un segno $-$ davanti all'espressione del campo). Salvo miei errori e se ho capito bene il senso della tua domanda.
Se fosse allineato su x , il campo elettrico generato dal filo, che è perpendicolare al filo è (non riesco a mettere i vettori al primo membro e con n indico la normale al filo...):
$E = |E| n = |E| (y j + z k)/sqrt(y^2 + z^2)$
Ma il modulo del campo è:
$E(y,z) = 1/(2 \pi \epsilon_0) \lambda x/sqrt(y^2 + z^2)$
?
Spero sia utile.
Pongo il filo sull'asse $z$ (mia comodità). Con Gauss ricavo che il modulo del campo è $E=\frac{\lambda}{2 \pi \epsilon r}$, dove $r$ è la distanza del punto dove misuro il campo dal filo.
La direzione di $\vec(E)$ è ortogonale al filo ed il verso dipende dal segno della carica.
Introduco le coordinate cilindriche $(x,y,z) \rightarrow (r cos \theta,r sin \theta,z)$.
Nel punto $(x,y,z)$ il campo è allora:
[tex]\vec{E}=E \begin{pmatrix} cos \theta\\ sin \theta\\ 0 \end{pmatrix}= E \begin{pmatrix} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ 0 \end{pmatrix}=\frac{\lambda}{2 \pi\ \epsilon} \begin{pmatrix} \frac{x}{x^2+y^2}\\ \frac{y}{x^2+y^2}\\ 0 \end{pmatrix}[/tex].
S.e.e.o.
Pongo il filo sull'asse $z$ (mia comodità). Con Gauss ricavo che il modulo del campo è $E=\frac{\lambda}{2 \pi \epsilon r}$, dove $r$ è la distanza del punto dove misuro il campo dal filo.
La direzione di $\vec(E)$ è ortogonale al filo ed il verso dipende dal segno della carica.
Introduco le coordinate cilindriche $(x,y,z) \rightarrow (r cos \theta,r sin \theta,z)$.
Nel punto $(x,y,z)$ il campo è allora:
[tex]\vec{E}=E \begin{pmatrix} cos \theta\\ sin \theta\\ 0 \end{pmatrix}= E \begin{pmatrix} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ 0 \end{pmatrix}=\frac{\lambda}{2 \pi\ \epsilon} \begin{pmatrix} \frac{x}{x^2+y^2}\\ \frac{y}{x^2+y^2}\\ 0 \end{pmatrix}[/tex].
S.e.e.o.
Quello che non riesco a capir bene, perchè sull'asse z la componente è nulla? Come si può generalizzare nel caso degli altri assi?
grazie.
grazie.
Il vettore $\vec{E}$ è, per evidente simmetria, ortogonale all'asse che lo genera. Se a generarlo è l'asse $z$, la componente $z$ del campo è nulla. Ecc. per gli altri assi.
Comunque secondo me conviene calcolare il campo elettrico a partire dal potenziale.
Per il filo carico con densità $lambda$ nel punto a distanza $r$ dal filo il campo elettrico è $vec(E)=lambda/(2pi epsilon r)vec(u)_r$, il potenziale (posto nullo a distanza $r_0$) è dato da: $phi(vec(r))=-int_(r_0)^r vec(E)* d vec(r)=-lambda/(2pi epsilon)ln(r/(r_0))$;
se il filo è sull'asse $x$, hai, rispetto a quanto scritto sopra: $r=sqrt(y^2+z^2)$, e quindi: $phi(P)=-lambda/(2pi epsilon)ln((sqrt(y^2+z^2))/(r_0))$; calcolane il gradiente, cambialo di segno e avrai il campo $vec(E)$ in componenti cartesiane nel generico punto $P(x,y,z)$.
Salvo miei errori.
Per il filo carico con densità $lambda$ nel punto a distanza $r$ dal filo il campo elettrico è $vec(E)=lambda/(2pi epsilon r)vec(u)_r$, il potenziale (posto nullo a distanza $r_0$) è dato da: $phi(vec(r))=-int_(r_0)^r vec(E)* d vec(r)=-lambda/(2pi epsilon)ln(r/(r_0))$;
se il filo è sull'asse $x$, hai, rispetto a quanto scritto sopra: $r=sqrt(y^2+z^2)$, e quindi: $phi(P)=-lambda/(2pi epsilon)ln((sqrt(y^2+z^2))/(r_0))$; calcolane il gradiente, cambialo di segno e avrai il campo $vec(E)$ in componenti cartesiane nel generico punto $P(x,y,z)$.
Salvo miei errori.
"Palliit":
Comunque secondo me conviene calcolare il campo elettrico a partire dal potenziale.
Per il filo carico con densità $lambda$ nel punto a distanza $r$ dal filo il campo elettrico è $vec(E)=lambda/(2pi epsilon r)vec(u)_r$, il potenziale (posto nullo a distanza $r_0$) è dato da: $phi(vec(r))=-int_(r_0)^r vec(E)* d vec(r)=-lambda/(2pi epsilon)ln(r/(r_0))$;
se il filo è sull'asse $x$, hai, rispetto a quanto scritto sopra: $r=sqrt(y^2+z^2)$, e quindi: $phi(P)=-lambda/(2pi epsilon)ln((sqrt(y^2+z^2))/(r_0))$; calcolane il gradiente, cambialo di segno e avrai il campo $vec(E)$ in componenti cartesiane nel generico punto $P(x,y,z)$.
Salvo miei errori.
Infatti anche io avevo pensato di far così, potenziale e poi gradiente lungo x,y,z ...ma ora non so
non è più 'rigoroso' matematicamente come ha fatto Zpe?
Mi sembrano metodi equivalenti. Avevo pensato a questo visto il testo completo dell'esercizio, che a questo punto ti inviterei a postare.
Il potenziale di Palliit ha il grande vantaggio di non divergere, avendo posto il potenziale nullo in un punto arbitrario. Quello è il metodo giusto!
@anonymous_56b3e2
ho chiesto a ricevimento al professore alla fine: vanno bene entrambi, il tuo metodo è più rigoroso, anche se ha trovato da ridire sull'uso delle coordinate, non chiedermi il perchè
grazie ad entrambi, ho visto solo ora il messaggio!
ho chiesto a ricevimento al professore alla fine: vanno bene entrambi, il tuo metodo è più rigoroso, anche se ha trovato da ridire sull'uso delle coordinate, non chiedermi il perchè
grazie ad entrambi, ho visto solo ora il messaggio!
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