Elettrostatica, esercizio condensatore - dielettrici
Ciao a tutti!
L'esercizio è il seguente;
Si consideri un condensatore a facce piane parallele riempito con due dielettrici diversi come in figura. Sapendo che la tensione ai suoi capi è pari a [tex]V_0[/tex], si calcolino:
a) Il campo [tex]E[/tex] all'interno del condensatore.
b) Il vettore [tex]P[/tex] .
c) Le densità di cariche di polarizzazione.
Ora secondo me è strano che non dia come dato la dimensione delle armature, perchè ho visto un esercizio simile e lì lo dava, quindi si ricavava i vari [tex]D_1[/tex] e [tex]D_2[/tex] e di conseguenza i campi elettrici.
Avete qualche utile suggerimento? o forse sbaglio approccio io.
L'esercizio è il seguente;
Si consideri un condensatore a facce piane parallele riempito con due dielettrici diversi come in figura. Sapendo che la tensione ai suoi capi è pari a [tex]V_0[/tex], si calcolino:
a) Il campo [tex]E[/tex] all'interno del condensatore.
b) Il vettore [tex]P[/tex] .
c) Le densità di cariche di polarizzazione.
Ora secondo me è strano che non dia come dato la dimensione delle armature, perchè ho visto un esercizio simile e lì lo dava, quindi si ricavava i vari [tex]D_1[/tex] e [tex]D_2[/tex] e di conseguenza i campi elettrici.
Avete qualche utile suggerimento? o forse sbaglio approccio io.
Risposte
Puoi determinare il campo elettrico $E_1$ all'interno del dielettrico di costante dielettrica relativa $\epsilon_(r1)$ e il campo elettrico $E_2$ all'interno del dielettrico di costante dielettrica relativa $\epsilon_(r2)$ risolvendo il seguente sistema:
$\{(E_1*a+E_2*b=V_0),(\epsilon_(r1)*E_1=\epsilon_(r2)*E_2):}$
$\{(E_1*a+E_2*b=V_0),(\epsilon_(r1)*E_1=\epsilon_(r2)*E_2):}$
Ok vediamo se ho capito, siccome il campo è uniforme all'interno del condensatore, basta fare:
[tex]V_0 = E \cdot d[/tex] , con [tex]d[/tex] intendo la distanza fra le armature(caso generico)
In questo caso la somma di due contributi, ok mi è chiaro.
Per scrivere la 2° equazione invece ci si ricorda che la componente normale di [tex]D[/tex] si conserva in assenza di densità superficiali di cariche libere, dico bene?
Ecco perchè da' il potenziale, e non la carica all'inizio.
Quindi il vettore [tex]P[/tex] sarà uno solo;
[tex]P = \frac{(\epsilon_{r1} - 1)D}{\epsilon_{r1}}[/tex] , con [tex]D_1 = D_2 = D[/tex]
Ma qui mettere [tex]\epsilon_{r1}[/tex] o [tex]\epsilon_{r2}[/tex] è indifferente?
Ultima domanda, le densità superficiali di cariche di polarizzazione [tex]\sigma_P[/tex] saranno in totale quattro vero? visto che sono due per ogni dielettrico, mentre le [tex]\rho_P[/tex] saranno nulle, visto che non c'erano cariche libere.
[tex]V_0 = E \cdot d[/tex] , con [tex]d[/tex] intendo la distanza fra le armature(caso generico)
In questo caso la somma di due contributi, ok mi è chiaro.
Per scrivere la 2° equazione invece ci si ricorda che la componente normale di [tex]D[/tex] si conserva in assenza di densità superficiali di cariche libere, dico bene?
Ecco perchè da' il potenziale, e non la carica all'inizio.
Quindi il vettore [tex]P[/tex] sarà uno solo;
[tex]P = \frac{(\epsilon_{r1} - 1)D}{\epsilon_{r1}}[/tex] , con [tex]D_1 = D_2 = D[/tex]
Ma qui mettere [tex]\epsilon_{r1}[/tex] o [tex]\epsilon_{r2}[/tex] è indifferente?
Ultima domanda, le densità superficiali di cariche di polarizzazione [tex]\sigma_P[/tex] saranno in totale quattro vero? visto che sono due per ogni dielettrico, mentre le [tex]\rho_P[/tex] saranno nulle, visto che non c'erano cariche libere.
Per quale motivo $P$ dovrebbe essere unico?
Perchè pensavo che essendo [tex]D[/tex] uguale nei due dielettrici.. ma ho capito, quindi sarà la somma di due contributi;
[tex]P = D \bigg( \frac{(\epsilon_{r1} - 1)}{\epsilon_{r1}} + \frac{(\epsilon_{r2} - 1)}{\epsilon_{r2}} \bigg)[/tex]
Ora?
grazie degli interventi.
[tex]P = D \bigg( \frac{(\epsilon_{r1} - 1)}{\epsilon_{r1}} + \frac{(\epsilon_{r2} - 1)}{\epsilon_{r2}} \bigg)[/tex]
Ora?
grazie degli interventi.
Perchè dovrebbe essere la somma di due contributi? Piuttosto:
$P_1=D(\epsilon_(r1)-1)/\epsilon_(r1)$ all'interno del dielettrico di costante dielettrica relativa $\epsilon_(r1)$.
$P_2=D(\epsilon_(r2)-1)/\epsilon_(r2)$ all'interno del dielettrico di costante dielettrica relativa $\epsilon_(r2)$.
In ogni modo, dovresti esprimere $D$ in funzione dei soli dati assegnati dal problema.
$P_1=D(\epsilon_(r1)-1)/\epsilon_(r1)$ all'interno del dielettrico di costante dielettrica relativa $\epsilon_(r1)$.
$P_2=D(\epsilon_(r2)-1)/\epsilon_(r2)$ all'interno del dielettrico di costante dielettrica relativa $\epsilon_(r2)$.
In ogni modo, dovresti esprimere $D$ in funzione dei soli dati assegnati dal problema.
Ok capito, ecco i miei risultati:
[tex]E_1 = \frac{\epsilon_{r2}V_0}{\epsilon_{r2}a + \epsilon_{r1}b}[/tex]
[tex]E_2 = \frac{\epsilon_{r1}V_0}{\epsilon_{r2}a + \epsilon_{r1}b}[/tex]
[tex]P_1 = \epsilon_0 E_1 (\epsilon_{r1} - 1)[/tex]
[tex]P_2 = \epsilon_0 E_2 (\epsilon_{r2} - 1)[/tex]
[tex]\rho_P = 0[/tex]
Tante grazie!
[tex]E_1 = \frac{\epsilon_{r2}V_0}{\epsilon_{r2}a + \epsilon_{r1}b}[/tex]
[tex]E_2 = \frac{\epsilon_{r1}V_0}{\epsilon_{r2}a + \epsilon_{r1}b}[/tex]
[tex]P_1 = \epsilon_0 E_1 (\epsilon_{r1} - 1)[/tex]
[tex]P_2 = \epsilon_0 E_2 (\epsilon_{r2} - 1)[/tex]
[tex]\rho_P = 0[/tex]
Tante grazie!
Ok per $E_1$, $E_2$, $P_1$, $P_2$. Inoltre, dovresti calcolare esplicitamente $\sigma_P$ sulle armature del condensatore e sulla superficie di separazione dei $2$ dielettrici.
Sì fatto, solo che scriverle qui con il disegnino che di solito faccio per far capire meglio, è un pò laborioso.. comunque avendo noti i diversi [tex]P_1[/tex] e [tex]P_2[/tex] è immediato.
Ora se non è chiedere troppo ti chiederei una mano per un esercizio simile, ecco considera la figura del condensatore piano dell'es. precedente, solo che questa volta le lastre di dielettrico sono tre, e ognuna di spessore $d/3$, mi da' il lato $L$ delle armature quadrate, i diversi [tex]\epsilon_{r1}[/tex], [tex]\epsilon_{r2}[/tex] e [tex]\epsilon_{r3}[/tex] , e la differenza di potenziale [tex]V_0[/tex];
Chiede di determinare:
a) L'intensità del campo $E$ in ciscuna lastra di dielettrico.
b) L'energia elettrostatica in ciscuna lastra di dielettrico.
c) La densità superficiale [tex]\sigma_p[/tex] e volumetrica [tex]\rho_p[/tex] di carica di polarizzazione nella lastra di dielettrico centrale.
Per la risoluzione, non posso applicare lo stesso metodo di prima, visto che in questo caso le incognite son tre, però il fatto di avere come dato le dimensioni delle armature, mi ha fatto pensare di poter ricavare le singole capacità, che è come se fossere tre in serie;
[tex]C_1 = \frac{\epsilon_0 \epsilon_{r1} L^2}{d/3}[/tex] , [tex]C_2 = \frac{\epsilon_0 \epsilon_{r2} L^2}{d/3}[/tex] , [tex]C_3 = \frac{\epsilon_0 \epsilon_{r3} L^2}{d/3}[/tex]
E non mi viene in mente altro, suggerimento? grazie ancora.
Ora se non è chiedere troppo ti chiederei una mano per un esercizio simile, ecco considera la figura del condensatore piano dell'es. precedente, solo che questa volta le lastre di dielettrico sono tre, e ognuna di spessore $d/3$, mi da' il lato $L$ delle armature quadrate, i diversi [tex]\epsilon_{r1}[/tex], [tex]\epsilon_{r2}[/tex] e [tex]\epsilon_{r3}[/tex] , e la differenza di potenziale [tex]V_0[/tex];
Chiede di determinare:
a) L'intensità del campo $E$ in ciscuna lastra di dielettrico.
b) L'energia elettrostatica in ciscuna lastra di dielettrico.
c) La densità superficiale [tex]\sigma_p[/tex] e volumetrica [tex]\rho_p[/tex] di carica di polarizzazione nella lastra di dielettrico centrale.
Per la risoluzione, non posso applicare lo stesso metodo di prima, visto che in questo caso le incognite son tre, però il fatto di avere come dato le dimensioni delle armature, mi ha fatto pensare di poter ricavare le singole capacità, che è come se fossere tre in serie;
[tex]C_1 = \frac{\epsilon_0 \epsilon_{r1} L^2}{d/3}[/tex] , [tex]C_2 = \frac{\epsilon_0 \epsilon_{r2} L^2}{d/3}[/tex] , [tex]C_3 = \frac{\epsilon_0 \epsilon_{r3} L^2}{d/3}[/tex]
E non mi viene in mente altro, suggerimento? grazie ancora.
Intanto:
$\{(E_1*d/3+E_2*d/3+E_3*d/3=V_0),(\epsilon_(r1)*E_1=\epsilon_(r2)*E_2),(\epsilon_(r2)*E_2=\epsilon_(r3)*E_3):}$
Il lato $L$ delle armature quadrate è necessario per calcolare l'energia elettrostatica in ciascun dielettrico.
$\{(E_1*d/3+E_2*d/3+E_3*d/3=V_0),(\epsilon_(r1)*E_1=\epsilon_(r2)*E_2),(\epsilon_(r2)*E_2=\epsilon_(r3)*E_3):}$
Il lato $L$ delle armature quadrate è necessario per calcolare l'energia elettrostatica in ciascun dielettrico.
Ok ottengo:
[tex]E_1 = \frac{3V_0\epsilon_{r2} \epsilon_{r3}}{d(\epsilon_{r2}\epsilon_{r3} + \epsilon_{r1}\epsilon_{r3} + \epsilon_{r1}\epsilon_{r2})}[/tex]
[tex]E_2 = \frac{3V_0\epsilon_{r1} \epsilon_{r3}}{d(\epsilon_{r2}\epsilon_{r3} + \epsilon_{r1}\epsilon_{r3} + \epsilon_{r1}\epsilon_{r2})}[/tex]
[tex]E_3 = \frac{3V_0\epsilon_{r1} \epsilon_{r2}}{d(\epsilon_{r2}\epsilon_{r3} + \epsilon_{r1}\epsilon_{r3} + \epsilon_{r1}\epsilon_{r2})}[/tex]
Le diverse energie elettrostatiche:
[tex]U_{el1} = \frac{3V_1^2 \epsilon_0 \epsilon_{r1} L^2}{2d}[/tex] , con [tex]V_1 = \frac{E_1 d}{3}[/tex]
[tex]U_{el2} = \frac{3V_2^2 \epsilon_0 \epsilon_{r2} L^2}{2d}[/tex] , con [tex]V_2 = \frac{E_2 d}{3}[/tex]
[tex]U_{el3} = \frac{3V_3^2 \epsilon_0 \epsilon_{r3} L^2}{2d}[/tex] , con [tex]V_3 = \frac{E_3 d}{3}[/tex]
Per quanto riguarda le densità di carica di polarizzazione, il discorso è lo stesso di prima, qui mi chiede solo quello della lastra centrale, quindi..
Spero sia tutto giusto
[tex]E_1 = \frac{3V_0\epsilon_{r2} \epsilon_{r3}}{d(\epsilon_{r2}\epsilon_{r3} + \epsilon_{r1}\epsilon_{r3} + \epsilon_{r1}\epsilon_{r2})}[/tex]
[tex]E_2 = \frac{3V_0\epsilon_{r1} \epsilon_{r3}}{d(\epsilon_{r2}\epsilon_{r3} + \epsilon_{r1}\epsilon_{r3} + \epsilon_{r1}\epsilon_{r2})}[/tex]
[tex]E_3 = \frac{3V_0\epsilon_{r1} \epsilon_{r2}}{d(\epsilon_{r2}\epsilon_{r3} + \epsilon_{r1}\epsilon_{r3} + \epsilon_{r1}\epsilon_{r2})}[/tex]
Le diverse energie elettrostatiche:
[tex]U_{el1} = \frac{3V_1^2 \epsilon_0 \epsilon_{r1} L^2}{2d}[/tex] , con [tex]V_1 = \frac{E_1 d}{3}[/tex]
[tex]U_{el2} = \frac{3V_2^2 \epsilon_0 \epsilon_{r2} L^2}{2d}[/tex] , con [tex]V_2 = \frac{E_2 d}{3}[/tex]
[tex]U_{el3} = \frac{3V_3^2 \epsilon_0 \epsilon_{r3} L^2}{2d}[/tex] , con [tex]V_3 = \frac{E_3 d}{3}[/tex]
Per quanto riguarda le densità di carica di polarizzazione, il discorso è lo stesso di prima, qui mi chiede solo quello della lastra centrale, quindi..
Spero sia tutto giusto
bello questo esercizio, l'ho risolto.ho una domanda da porvi. perchè la componente D si conserva in questo caso? ho cercato qualcosa su internet ma non ho trovato niente.
il significato di D mi è ancora oscuro, non mi sembra molto intuitivo, ma spero di sbagliare.
grazie
il significato di D mi è ancora oscuro, non mi sembra molto intuitivo, ma spero di sbagliare.
grazie
Le sorgenti del vettore spostamento elettrico sono le cariche libere, non quelle di polarizzazione. Quindi, se prendi un cilindro con le basi parallele alla superficie di separazione tra i $2$ dielettrici e di altezza infinitesima, al cui interno, evidentemente, non si trovano cariche libere, e applichi il teorema di Gauss, dovresti ottenere la suddetta proprietà, valida per la sola componente normale. In ogni modo, puoi trovare questo tipo di considerazioni in tutti i manuali di elettromagnetismo.
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