Elettrostatica: chiarimento su andamento di E e V all'interfaccia dielettrico/vuoto

[mzanut]

Ciao a tutti avrei bisogno di un chiarimento teorico sul seguente esercizio di elettrostatica: una sfera conduttrice di raggio R1 dotata di carica elettrica è circondata da un guscio sferico di raggio interno R1 ed esterno R2 fatto di materiale isolante (dielettrico). Si chiede di definire, esternamente alla sfera conduttrice di raggio R1, l'andamento sia del campo elettrico e sia del potenziale in funzione del raggio r. Leggendo la soluzione c'è una cosa che mi lascia perplesso: all'interfaccia dielettrico/vuoto (ovvero per raggio r=R2) il campo elettrico non è definito essendo discontinuo, ho infatti che il campo elettrico E1 (interno al dielettrico per rR2, praticamente nel vuoto) ma il potenziale invece è continuo e definito anche per r=R2. L'esercizio infatti per trovare le costanti di integrazione C1 e C2 delle equazioni dei relativi potenziali V1 e V2 (funzioni di r) impone che all'interfaccia r=R2 sia V1=V2. Mi chiedo perchè se l'equazione che descrive l'andamento di E in funzione di r sia discontinua per r=R2, l'equazione invece che descrive l'andamento del potenziale V non sia discontinua per r=R2. Anche perchè derivando l'equazione del potenziale V dovrei riottenere quella del campo elettrico E!
Grazie in anticipo per le risposte!

[donald_zeka]

Se la funzione potenziale $V(r)$ è continua, non significa che la sua derivata $E(r)$ lo sia.
Infatti per rendere continuo il potenziale in $r=R_2$ si aggiunge una costante, andando a derivare il potenziale, si ha che la derivata della costante è zero, pertanto il campo elettrico risulta discontinuo.

[donald_zeka]

In particolare le soluzioni dovrebbero essere:

Per $r>R_2$ si ha:

$V(r)-V(r')=q/(4piepsilon_0)(1/r-1/(r'))$
Scegliendo come zero del potenziale $r'=oo$ e quindi $V(oo)=0$ si ha:

$V(r)=q/(4piepsilon_0r)$ e quindi per continuità del potenziale
$V(R_2)=q/(4piepsilon_0R_2)$

Per $R_1
$V(r)-V(R_2)=q/(4piepsilon_0epsilon_r)(1/r-1/R_2)$

Da cui:

$V(r)=q/(4piepsilon_0epsilon_r)(1/r-1/R_2)+q/(4piepsilon_0R_2)$

Ancora per coninuità del potenziale si ha

$V(R_1)=q/(4piepsilon_0epsilon_r)(1/R_1-1/R_2)+q/(4piepsilon_0R_2)$

E quindi $V(r)=V(R_1)$ per $r
Il potenziale è quindi continuo, la sua derivata, ossia il campo elettrico però non lo è.

[mzanut]

Grazie per la risposta!
La mia però era più che altro un chiarimento teorico, ovvero mi sfugge il principio fisico per cui il potenziale debba essere per forza continuo anche all' interfaccia. Rivedendo il mio libro del corso di Fisica 2 non riesco a trovare la risposta.

[donald_zeka]

Perché il campo elettrico è la derivata del potenziale, e il fatto stesso di avere la derivata di una funzione in ogni punto implica che la funzione deve essere continua