Elettrostatica
Salve a tutti! Qualcuno può spiegarmi in che modo risolvere questo esercizio?
Un filo rettilineo indefinito è tenuto parallelo a una lastra metallica indefinita di spessore [tex]\delta[/tex]. Sul filo è presente una carica di densità uniforme [tex]\lambda[/tex], mentre la lastra è collegata a terra. Sia d la distanza tra il filo e la superficie della lastra ad esso più vicina.
Le richieste sono:
- la forza per unità di lunghezza con cui il filo è attratto dalla lastra.
- le densità di carica indotte sulle due facce della lastra.
Un filo rettilineo indefinito è tenuto parallelo a una lastra metallica indefinita di spessore [tex]\delta[/tex]. Sul filo è presente una carica di densità uniforme [tex]\lambda[/tex], mentre la lastra è collegata a terra. Sia d la distanza tra il filo e la superficie della lastra ad esso più vicina.
Le richieste sono:
- la forza per unità di lunghezza con cui il filo è attratto dalla lastra.
- le densità di carica indotte sulle due facce della lastra.
Risposte
dovrebbe essere così :
1) la carica che si forma sulla faccia collegata a terra viene scaricata nella terra stessa
2) la densità di carica sull'altra faccia è tale da neutralizzare all'interno della lastra il campo elettrico creato dal filo
1) la carica che si forma sulla faccia collegata a terra viene scaricata nella terra stessa
2) la densità di carica sull'altra faccia è tale da neutralizzare all'interno della lastra il campo elettrico creato dal filo
Un modo per risolverlo è utilizzare il metodo delle cariche immagini , guardatelo se non l' hai fatto è e sarà molto utile 
No no , non avevo letto dello spessore della lastra , meglio non usarlo
No no , non avevo letto dello spessore della lastra , meglio non usarlo
Vi ringrazio delle risposte. 
Sono d'accordo sul fatto che non ci sia carica sulla faccia più lontana dal filo, proprio per conseguenza della messa a terra. Ma come posso calcolare esplicitamente la densità sull'altra faccia? Ho provato a usare il metodo delle cariche immagini, ma non riesco a trovare una configurazione che annulli il potenziale contemporaneamente su entrambe le facce del conduttore...
Inoltre, suggerimenti per il calcolo della forza?
Sono d'accordo sul fatto che non ci sia carica sulla faccia più lontana dal filo, proprio per conseguenza della messa a terra. Ma come posso calcolare esplicitamente la densità sull'altra faccia? Ho provato a usare il metodo delle cariche immagini, ma non riesco a trovare una configurazione che annulli il potenziale contemporaneamente su entrambe le facce del conduttore...
Inoltre, suggerimenti per il calcolo della forza?
"Very25":
Ma come posso calcolare esplicitamente la densità sull'altra faccia?
"stormy":
2) la densità di carica sull'altra faccia è tale da neutralizzare all'interno della lastra il campo elettrico creato dal filo
noi sappiamo come è legato il campo elettrico generato da un piano indefinito, carico omogeneamente ,alla sua densità di carica
E applicare il metodo delle cariche immagine alle due facce separatamente? Direi anche che la seconda faccia non è neutra...
"Very25":
la lastra è collegata a terra.
"stormy":
noi sappiamo come è legato il campo elettrico generato da un piano indefinito, carico omogeneamente ,alla sua densità di carica
In base a cosa concludo che il piano è carico omogeneamente? L'unica considerazione di simmetria che riesco a fare, sulla base della geometria del sistema, è che la densità sarà costante lungo le rette, giacenti nel piano, parallele al filo. O sbaglio?
Direi che:
a) il metodo delle immagini è quello corretto; non ha importanza ne lo spessore del piano conduttore ne che sia o meno collegato a terra; il campo elettrico sui punti del piano avrà ovviamente solo una componente normale Ey ricavabile dalla somma vettoriale di quello associato al filo superiore E1 e a quello associato al filo immagine inferiore E2 come illustrato in figura (riciclo una mia vecchia immagine)
b) il piano non sarà quindi uniformemente carico, ma la densità di carica indotta sarà funzione della coordinata x ; presenterà un valore massimo per x=0 e diminuirà progressivamente per le x crescenti in valore assoluto, tendendo asintoticamente a zero per x tendente a infinito.
c) per quanto riguarda la forza, si potrebbe pensare di ricavarla via bilancio energetico associato ad uno spostamento infinitesimo dh della distanza h (=d) dal piano a partire dalla energia immagazzinata dalla capacità specifica, con carica costante pari a $\lambda$ ... ma servirebbe il diametro del conduttore, è dato?
a) il metodo delle immagini è quello corretto; non ha importanza ne lo spessore del piano conduttore ne che sia o meno collegato a terra; il campo elettrico sui punti del piano avrà ovviamente solo una componente normale Ey ricavabile dalla somma vettoriale di quello associato al filo superiore E1 e a quello associato al filo immagine inferiore E2 come illustrato in figura (riciclo una mia vecchia immagine)
b) il piano non sarà quindi uniformemente carico, ma la densità di carica indotta sarà funzione della coordinata x ; presenterà un valore massimo per x=0 e diminuirà progressivamente per le x crescenti in valore assoluto, tendendo asintoticamente a zero per x tendente a infinito.
c) per quanto riguarda la forza, si potrebbe pensare di ricavarla via bilancio energetico associato ad uno spostamento infinitesimo dh della distanza h (=d) dal piano a partire dalla energia immagazzinata dalla capacità specifica, con carica costante pari a $\lambda$ ... ma servirebbe il diametro del conduttore, è dato?
[quote=RenzoDF]non ha importanza che sia o meno collegato a terra
cioè ,non ha importanza se l'altra faccia sia carica o meno ?
sarà....
cioè ,non ha importanza se l'altra faccia sia carica o meno ?
sarà....
Se possono essere d'aiuto, nel frattempo ho avuto le soluzioni.
1) [tex]F=\lambda^2/(4 \pi \epsilon d^2) \vec{d}[/tex]
2) [tex]\sigma 1=-\lambda/(\pi d) cos\theta^2 = \frac{-\lambda d}{\pi (d^2+r^2)};
\sigma2=0[/tex]
dove r è la distanza del punto sulla lastra dalla proiezione del filo sulla lastra.
1) [tex]F=\lambda^2/(4 \pi \epsilon d^2) \vec{d}[/tex]
2) [tex]\sigma 1=-\lambda/(\pi d) cos\theta^2 = \frac{-\lambda d}{\pi (d^2+r^2)};
\sigma2=0[/tex]
dove r è la distanza del punto sulla lastra dalla proiezione del filo sulla lastra.
In effetti il diametro 2a non serve, in quanto scritta la capacità specifica come
$C\approx \frac{2\pi \epsilon}{\ln (\frac{2d}{a})}$
di valore doppio rispetto a quella fra i due fili, e l'energia elettrostatica immagazzinata come
$ W=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}=\frac{1}{2}\frac{\lambda^2}{C}$
derivando l'energia rispetto a d, otteniamo la forza F.
Per quanto riguarda il campo, mantenendo $h (=d)$, $x_0 (=r)$ e $ \alpha = (\theta)$
$|E_y|=2(\frac{\lambda }{2\pi \epsilon })(\frac{1}{ \sqrt{x_{0}^{2}+h^2}}cos\alpha )=\frac{\lambda }{\pi \epsilon }\frac{h}{x_{0}^{2}+h^2}$
dal quale la densità di carica superficiale indotta dal filo carico nel piano conduttore.
$C\approx \frac{2\pi \epsilon}{\ln (\frac{2d}{a})}$
di valore doppio rispetto a quella fra i due fili, e l'energia elettrostatica immagazzinata come
$ W=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}=\frac{1}{2}\frac{\lambda^2}{C}$
derivando l'energia rispetto a d, otteniamo la forza F.
Per quanto riguarda il campo, mantenendo $h (=d)$, $x_0 (=r)$ e $ \alpha = (\theta)$
$|E_y|=2(\frac{\lambda }{2\pi \epsilon })(\frac{1}{ \sqrt{x_{0}^{2}+h^2}}cos\alpha )=\frac{\lambda }{\pi \epsilon }\frac{h}{x_{0}^{2}+h^2}$
dal quale la densità di carica superficiale indotta dal filo carico nel piano conduttore.
per quanto riguarda la densità di carica (che non è costante 
), si può arrivare anche in questo modo: in ogni punto,il campo generato dal piano è in modulo uguale a quello generato dal filo cioè $E=lambda/(2piepsilon_0sqrt(r^2+d^2)$
per il teorema di Gauss applicato al ben noto cilindretto di altezza e basi infinitesime,si ha
$-sigma/epsilon_0=2Ecostheta$ con $ costheta=d/(sqrt(d^2+r^2)$
), si può arrivare anche in questo modo: in ogni punto,il campo generato dal piano è in modulo uguale a quello generato dal filo cioè $E=lambda/(2piepsilon_0sqrt(r^2+d^2)$per il teorema di Gauss applicato al ben noto cilindretto di altezza e basi infinitesime,si ha
$-sigma/epsilon_0=2Ecostheta$ con $ costheta=d/(sqrt(d^2+r^2)$
"RenzoDF":
$ W=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}=\frac{1}{2}\frac{\lambda^2}{C} $
ma $Q=lambda$ non mi sembra avere molto senso a livello dimensionale
inoltre,la carica sul filo,a occhio e croce,è infinita
"stormy":
... ma $Q=lambda$ non mi sembra avere molto senso a livello dimensionale
inoltre,la carica sul filo,a occhio e croce,è infinita
Infinita? ... ma dai, davvero? ... non me n'ero accorto.
Stiamo ovviamente parlando di: carica specifica, capacità specifica ed energia specifica, ovvero relative ad un metro di "geometria" (conduttore-piano):
$[Q]=[\lambda ]=\frac{C}{m}\qquad,\qquad[C]=\frac{F}{m}\qquad,\qquad[W]=\frac{J}{m}$
mi sembra di averlo specificato.
"RenzoDF":
mi sembra di averlo specificato.
per quanto riguarda l'energia e la carica mi sembra di no
scusa l'ingenuità,ma, se non specificato, con $Q$ io intendo carica
ma è sicuramente un mio limite
Premesso che non sono convinto che $\sigma_2=0$, la forza l'ho trovata applicando la kegge di Coulomb. In pratica si risolve un integrale doppio...
"anonymous_ad4c4b":
Premesso che non sono convinto che $\sigma_2=0$,...
Questa domanda me l'ero proprio persa.
La densità sulla faccia inferiore va ad annullarsi grazie al collegamento "a terra", ovvero ad un conduttore di dimensioni infinite, un "serbatoio" che può tranquillamente assorbire o fornire una certa carica Q, senza fare una piega (modificare il suo stato neutro), un concetto a dir poco filosofico, specie per il problema in oggetto, dove pure la lastra conduttrice e la carica risultano infinite, ad ogni modo "vedendo" la terra come un piano conduttore di dimensioni infinite, sottostante alla lastra, il collegamento fra i due porterà a potere vedere il complesso lastra-terra come un unico conduttore infinito e l'intercapedine fra i due come interna allo stesso, portando alla impossibilità di esistenza di qualsiasi carica "interna" e da qui alla $\sigma_2=0$.
"anonymous_ad4c4b":
... la forza l'ho trovata applicando la kegge di Coulomb. In pratica si risolve un integrale doppio...
Di strade, come spesso accade, ce ne possono essere diverse, ma io sono sempre dell'idea che derivare sia meglio che integrare, la derivata nel nostro caso poi è semplicissima, visto che si tratta di derivare un logaritmo di kx rispetto a x.
Edit ---- vedendo che anche qui è possibile inserire codice FidoCadJ,
aggiungo anche uno schema della "situazione"
[fcd="Lastra+Terra"][FIDOCAD]
FJC L 13 -6118750 0.37
FJC A 0.4
FJC B 0.4
LI 20 55 150 55 0
LI 150 55 150 55 0
LI 20 60 150 60 0
LI 150 60 150 60 0
LI 20 80 150 80 0
LI 160 80 160 80 0
LI 150 55 160 55 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 160 55 160 55 0
LI 150 60 160 60 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 150 80 160 80 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 20 80 20 80 0
LI 10 55 20 55 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 20 55 20 55 0
LI 10 60 20 60 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 10 80 20 80 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
EV 80 15 90 24 0
LI 85 55 85 55 0
BE 108 60 107 69 97 67 98 80 0
LI 20 100 150 100 0
LI 160 100 160 100 0
LI 150 100 160 100 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 10 100 20 100 0
FCJ 0 0 3 2 1 0
LI 85 51 85 51 0
TY 68 87 4 3 0 1 0 * Terra (conduttore)
TY 44 68 4 3 0 1 0 * spazio interno al conduttore
TY 25 54 4 3 0 1 0 * lastra (conduttore)
TY 149 43 4 3 0 0 0 * delta
MC 158 49 1 0 074
MC 158 66 3 0 074
TY 100 73 4 3 0 1 0 * lastra-Terra
TY 86 19 4 3 0 1 2 * +
TY 85 17 4 3 0 1 2 * +
TY 38 100 4 3 0 5 2 * +
TY 74 100 4 3 0 5 2 * +
TY 82 19 4 3 0 1 2 * +
TY 95 100 4 3 0 1 2 * +
TY 82 15 4 3 0 1 2 * +
TY 60 100 4 3 0 5 2 * +
TY 83 100 4 3 0 1 2 * +
TY 137 100 4 3 0 1 2 * +
TY 86 15 4 3 0 1 2 * +
TY 83 17 4 3 0 1 2 * +
TY 111 100 4 3 0 1 2 * +
TY 112 61 4 3 0 1 7 * sigma2=0
BE 79 23 66 25 54 39 55 51 9
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 85 26 85 51 9
FCJ 2 0 3 1 0 0
BE 91 23 104 25 116 39 115 51 9
FCJ 2 0 3 1 0 0
BE 81 25 74 31 72 40 72 50 9
FCJ 2 0 3 1 0 0
BE 89 25 96 31 98 40 98 50 9
FCJ 2 0 3 1 0 0
BE 91 16 105 8 129 12 140 23 9
BE 92 20 110 20 134 27 136 50 9
FCJ 2 0 3 1 0 0
BE 80 15 66 7 42 11 31 22 9
BE 79 20 61 20 37 27 35 50 9
FCJ 2 0 3 1 0 0
TY 117 50 4 3 0 5 11 * -
TY 140 50 4 3 0 5 11 * -
TY 53 50 4 3 0 1 11 * -
TY 71 50 4 3 0 1 11 * -
TY 100 50 4 3 0 5 11 * -
TY 33 50 4 3 0 1 11 * -
TY 84 50 4 3 0 1 11 * -
RP 20 55 150 60 13
RP 20 80 150 100 13[/fcd]
Sono sicuro che qualcuno (correttamente) mi farà notare che la "terra" non ha un "sopra" e un "sotto", ma non ho resistito alla tentazione di immaginarmi dove "la terra" possa tenere nascosta una carica infinita.
Ok, lastra + terra sono un corpo unico, per cui della carica negativa viene richiamata solamente sulla prima faccia.
Integrando Coulomb, ho ottenuto lo stesso risultato della forza specifica postato sopra.
Integrando Coulomb, ho ottenuto lo stesso risultato della forza specifica postato sopra.
qualcuno può dirmi come è stato fatto questo disegno? con quale programma?
Con [size=150]FidoCadJ[/size], un software di grafica vettoriale
che via codice permette un successivo editing dell'immagine.
http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=38&t=132268
http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=38&t=121249
http://www.electroyou.it/elettrodomus/wiki/fidocadj-per-tonni
per il quale dobbiamo ringraziare il Grande Davide Bucci.
che via codice permette un successivo editing dell'immagine.
http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=38&t=132268
http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=38&t=121249
http://www.electroyou.it/elettrodomus/wiki/fidocadj-per-tonni
per il quale dobbiamo ringraziare il Grande Davide Bucci.
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