Elettromagnetismo: polarizzazione e magnetizzazione
Salve a tutti. Vi espongo un dubbio che non riesco a risolvere.
Il mio dubbio nasce dal paragone tra un dipolo elettrico \(\overrightarrow{p} \) e un dipolo magnetico \(\overrightarrow{m} \).
I campi generati rispettivamente da \(\overrightarrow{p} \) e da \(\overrightarrow{m} \) sono:
\(\overrightarrow{E}_p= - \nabla V_p = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \big( \frac{3(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{r}) \overrightarrow{r}}{r^5} - \frac{\overrightarrow{p}}{r^3} \big) \)
\(\overrightarrow{B}_m= \nabla \times \overrightarrow{A}_m = \frac{\mu_0}{4 \pi} \big( \frac{3(\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{r}) \overrightarrow{r}}{r^5} - \frac{\overrightarrow{m}}{r^3} \big) \)
Si vede che, se \(\overrightarrow{p} \) e \(\overrightarrow{m} \) sono entrambi nell'origine e orientati nello stesso modo, i due campi sono identici a meno di una costante moltiplicativa (dimensionale): \( \overrightarrow{B}_m = \mu_0 \epsilon_0 \frac{m}{p} \overrightarrow{E}_p \).
Fatta questa premessa, veniamo al mio dubbio, che ha relazione con la polarizzazione e la magnetizzazione dei materiali.
Nel caso della polarizzazione, il materiale ha in ogni punto un vettore polarizzazione \(\overrightarrow{P} \) che rappresenta la densità volumica di dipoli elettrici nel materiale. In questo caso il campo elettrico generato dal materiale si scopre essere uguale a quello generato da delle fittizie densità di carica volumica e superficiale, la prima interna al materiale e pari a \( \rho_p = - \nabla \cdot \overrightarrow{P} \), la seconda sulla superficie del materiale e pari a \( \sigma_p = \overrightarrow{P} \cdot \overrightarrow{n} \) (\(\overrightarrow{n} \) è il versore normale alla superficie).
Nel caso della magnetizzazione si ha un vettore magnetizzazione \(\overrightarrow{M} \) analogo a \(\overrightarrow{P} \) e rappresentante la densità volumica di dipoli magnetici. Dato che i campi di dipolo magnetico e elettrico sono "uguali", io erroneamente mi aspetterei di risolvere il problema della magnetizzazione con delle fittizie "cariche magnetiche" volumica e superficiale analoghe a quelle della polarizzazione. Invece saltano fuori delle densità di corrente volumica \( \overrightarrow{J}_{mv} = \nabla \times \overrightarrow{M} \) e superficiale \( \overrightarrow{J}_{ms} = \overrightarrow{M} \times \overrightarrow{n}\).
Il risultato è che, in generale, un materiale con polarizzazione \( \overrightarrow{P} \) genera un campo \( \overrightarrow{E} \) che non è proporzionale al campo \( \overrightarrow{B} \) che lo stesso materiale genererebbe se al posto della polarizzazione \( \overrightarrow{P} \) avesse una magnetizzazione \( \overrightarrow{M} \) ad essa proporzionale. Non capisco come questo sia possibile dato che i dipoli elettrico e magnetico generano campi proporzionali.
Potete aiutarmi a chiarirmi le idee? Grazie in anticipo!
Il mio dubbio nasce dal paragone tra un dipolo elettrico \(\overrightarrow{p} \) e un dipolo magnetico \(\overrightarrow{m} \).
I campi generati rispettivamente da \(\overrightarrow{p} \) e da \(\overrightarrow{m} \) sono:
\(\overrightarrow{E}_p= - \nabla V_p = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \big( \frac{3(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{r}) \overrightarrow{r}}{r^5} - \frac{\overrightarrow{p}}{r^3} \big) \)
\(\overrightarrow{B}_m= \nabla \times \overrightarrow{A}_m = \frac{\mu_0}{4 \pi} \big( \frac{3(\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{r}) \overrightarrow{r}}{r^5} - \frac{\overrightarrow{m}}{r^3} \big) \)
Si vede che, se \(\overrightarrow{p} \) e \(\overrightarrow{m} \) sono entrambi nell'origine e orientati nello stesso modo, i due campi sono identici a meno di una costante moltiplicativa (dimensionale): \( \overrightarrow{B}_m = \mu_0 \epsilon_0 \frac{m}{p} \overrightarrow{E}_p \).
Fatta questa premessa, veniamo al mio dubbio, che ha relazione con la polarizzazione e la magnetizzazione dei materiali.
Nel caso della polarizzazione, il materiale ha in ogni punto un vettore polarizzazione \(\overrightarrow{P} \) che rappresenta la densità volumica di dipoli elettrici nel materiale. In questo caso il campo elettrico generato dal materiale si scopre essere uguale a quello generato da delle fittizie densità di carica volumica e superficiale, la prima interna al materiale e pari a \( \rho_p = - \nabla \cdot \overrightarrow{P} \), la seconda sulla superficie del materiale e pari a \( \sigma_p = \overrightarrow{P} \cdot \overrightarrow{n} \) (\(\overrightarrow{n} \) è il versore normale alla superficie).
Nel caso della magnetizzazione si ha un vettore magnetizzazione \(\overrightarrow{M} \) analogo a \(\overrightarrow{P} \) e rappresentante la densità volumica di dipoli magnetici. Dato che i campi di dipolo magnetico e elettrico sono "uguali", io erroneamente mi aspetterei di risolvere il problema della magnetizzazione con delle fittizie "cariche magnetiche" volumica e superficiale analoghe a quelle della polarizzazione. Invece saltano fuori delle densità di corrente volumica \( \overrightarrow{J}_{mv} = \nabla \times \overrightarrow{M} \) e superficiale \( \overrightarrow{J}_{ms} = \overrightarrow{M} \times \overrightarrow{n}\).
Il risultato è che, in generale, un materiale con polarizzazione \( \overrightarrow{P} \) genera un campo \( \overrightarrow{E} \) che non è proporzionale al campo \( \overrightarrow{B} \) che lo stesso materiale genererebbe se al posto della polarizzazione \( \overrightarrow{P} \) avesse una magnetizzazione \( \overrightarrow{M} \) ad essa proporzionale. Non capisco come questo sia possibile dato che i dipoli elettrico e magnetico generano campi proporzionali.
Potete aiutarmi a chiarirmi le idee? Grazie in anticipo!
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Scusate se mi permetto... è che mi piacerebbe risolvere il dubbio prima di dare l'esame.
Scusate se mi permetto... è che mi piacerebbe risolvere il dubbio prima di dare l'esame.
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