Elettromagnetismo e sistemi di riferimento
Alla fine di un capitolo, il 35esimo per l'esattezza, di FISICA 2 di Resnick Halliday Krane, ho trovato un bel paragrafo, dato come facoltativo, sull'argomento che potete leggere nel titolo del post. In una facciata descrive qualitativamente una situazione come quella in figura
Nella figura (a), (sistema di riferimento che da ora chiamiamo $S$ come anche indicato in figura), troviamo un filo conduttore in cui circola una corrente $i$ verso destra, e quindi ci troviamo ad avere un moto di elettroni verso sinistra con velocità di deriva $v_d$. Il filo è complessivamente neutro, vediamo gli ioni positivi a riposo. A una distanza $r$ dal filo c'è una carica positiva a riposo, $q$. Su di essa non agisce una forza elettrica, in quanto il campo elettrico in quel punto risulta zero per quanto detto sulla neutralità del filo (la densità lineare $lambda_-$ delle cariche negative è uguale in valore assoluto a $lambda_+$). C'è un campo magnetico $B$, perpendicolare e uscente dal piano del foglio, ma essendo la carica a riposo non agisce su di essa alcuna forza.
Nella figura (b) studiamo la situazione in un sistema di riferimento $S'$ solidale agli elettroni, che quindi in $S'$ risultano a riposo. Gli ioni positivi sono in moto verso destra (e quindi abbiamo sempre una corrente di intensità $i$ verso destra) ovviamente con velocità $v_d$; stessa cosa dicasi per la carica positiva $q$.
Vediamo che in $S'$, essendo $q$ in moto ed essendoci in quel punto un campo magnetico $B$ perpendicolare e uscente dal piano del foglio, essa è sottoposta a una forza $F_B$ diretta verso il basso.
Ora, un osservatore in $S$ e un altro $S'$, trovandosi in due sistemi di riferimento inerziali, devono concordare sul fatto che su $q$ non agisca nessuna forza, o quantomeno che la risultante sia zero.
Deve quindi esserci in $S'$ una forza uguale e contraria a $F_B$, che in figura troviamo indicata come $F_E$. Questa forza è di natura elettrica.
Il problema è cosa genera un campo elettrico, e quindi una forza elettrica su $q$.
(-La soluzione che propone ora il libro è uno dei punti che mi piacerebbe discutere, e per evitare fraintendimenti la riporto parola per parola, indi per cui la mettiamo tra virgolette-)
"Consideriamo in figura (a) un tratto di filo. Possiamo considerare questo tratto di filo composto da due regoli (?), un regolo carico positivamente a riposo (gli ioni), ed uno carico negativamente in moto (gli elettroni). I due regoli hanno la stessa lunghezza in $S$ e contengono lo stesso numero di cariche. Quando trasformiamo questi regoli in $S'$, troviamo che il regolo carico negativamente ha una lunghezza maggiore in $S'$. In $S$, questo regolo in moto ha la sua lunghezza contratta, in accordo con l'effetto di contrazione relativistica delle lunghezze. In $S'$ è ha riposo e ha la sua lunghezza propria, che è maggiore della lunghezza contratta in $S$. La densità lineare di carica negativa $lambda_(-)'$ in $S'$ è minore in modulo di quella in $S$ (cioè $|lambda_(-)'|
Spiega quindi la situazione per il regolo positivo nei due sistemi di riferimento, ma penso abbiate capito. Per riassumere ci troviamo in questa situazione
in $S$: $lambda_+=|lambda_-|$
in $S'$: $lambda_(+)^{\prime}>|lambda_(-)'|$
Dalla differenza delle due densità di carica lineari, dovuta agli effetti relativistici, abbiamo un campo elettrico $E$ in $S'$ che agisce sulla carica $q$, generando (essendo $lambda_(+)^{\prime}>|lambda_(-)'|$), una forza repulsiva verso l'alto $F_E$.
Il libro conclude con il classico "è possibile dimostrare che $|F_B|=|F_E|$", in modo che anche in $S'$ sulla carica $q$ non agisca alcuna forza, in modo che i due osservatori in $S$ e in $S'$ siano concordi.
Io ho dato una dimostrazione di questo e vorrei sapere se è accettabile.
Considerazioni prima di iniziare
($l_+$ e $l_-$ sono le lunghezze dei regoli positivo e negativo in $S$, cioè le porzioni di filo che contengono rispettivamente le cariche positive e negative, mentre $l_(+)'$ e $l_(-)'$ sono le lunghezze dei regoli positivo e negativo in $S'$)
in $S$: $l_+=l_-$ e $lambda_+=|lambda_-|$
in $S$: $l_(+)'|lambda_(-)'|$
sia in $S$ che in $S'$, sia per le cariche positive che negative, le quantità di carica $Q$ presenti nel filo le indichiamo come $n*e$, con $e$ la carica dell'elettrone (in valore assoluto uguale anche alla carica degli ioni positivi) ed $n$ il numero di cariche sia positive che negativi presenti nel tratto di filo.Tanto per intenderci nel caso in figura $n$ sarebbe uguale a $4$.
La densità lineare di carica è definita come $Q/l$
il campo elettrico generato a una distanza $r$ da una distribuzione lineare di carica $E=lambda/(2pi*epsilon_0*r)$
La forza di Lorentz agente su una carica $q$ in moto con velocità $v$ in un campo magnetico è $F_B=q*v*B$
La legge di Biot-Savart per il campo magnetico generato da un filo percorso da corrente $i$ a distanza $r$ è $B=(mu_0*i)/(2pi*r)$
Inoltre per comodità indicherò la quantità $sqrt(1-v^2/c^2)$, in pratica l'inverso del coeff di Lorentz, come $L$.
DIMOSTRAZIONE
Primo punto:trovare $F_E$
Per la legge di contrazione delle lunghezze abbiamo che $l_(+)'=l_+ * L$
conseguentemente $lambda_(+)'=(n*e)/(l_+*L)$
e anche $l_(-)'=l_-/L$ , quindi $lambda_(-)'=(n*e)/(l_-)*L$, e ricordando che $l_+=l_-$ riscriviamo come $lambda_(-)'=(n*e)/(l_+)*L$
La densità di carica netta nel filo in $S'$ quindi, per quanto detto sopra, sarà $lambda_(+)' - lambda_(-)'$. Il campo elettrico alla distanza $r$ dal filo sarà quindi guardando la formula ricordata nelle considerazioni sopra
$E=((n*e)/(l_+*L) - (n*e)/(l_+)*L)*1/(2pi*epsilon_0*r)$, quindi la forza elettrica, ricordando che $F=E*q$
$F_E=((n*e)/(l_+*L) - (n*e)/(l_+)*L)*1/(2pi*epsilon_0*r)*q$, raccogliendo un po di cose e sistemando la somma tra frazioni otteniamo
$F_E=(n*e*q)/(l_+*2pi*epsilon_0*r)*((1-L^2)/L)$
Secondo punto: trovare $F_B$
La $F_B$ agente sulla carica abbiamo detto essere
$F_B=q*v_d*B$
dobbiamo esprime $B$ attraverso la legge di Biot-Savart, ma dobbiamo prima scrivere meglio la corrente $i$. Ricordando la definizione di corrente, possiamo scrivere $i=(n+e)/(Deltat)$, cioè la carica fluita attraverso la sezione del conduttere in un certo tempo. Ora $Deltat$ possiamo vederlo come $(l_(+)')/v_d$. Guardiamo infatti l'immagine (b): se prendiamo una sezione qualunque, facciamo l'estremo destro, e iniziamo a misurare il tempo impiegato dalle $n$ cariche in figura a passarci attraverso, esso sarà uguale al tempo impiegato dall'ennesima carica , che si trova alla distanza (entro cui troviamo tutte le $n$ cariche) dalla sezione considerata, per attraversare quest'ultima.
Ricordando che $l_(+)'=l_+ * L$ la corrente sarà
$i=(n*e*v_d)/(l_+ * L)$
Sostituendo la $i$ nella legge di Biot-Savart e quest'ultima nell'equazione della Forza di Lorentz otteniamo
$F_B=(q*mu_0*n*e*v_(d)^2)/(2pi*r*l_+*L)$
Terzo punto: verificare che$F_B=F_E$
Iniziamo quindi con l'eguagliare le due espressioni
$(n*e*q)/(l_+*2pi*epsilon_0*r)*((1-L^2)/L)=(q*mu_0*n*e*v_(d)^2)/(2pi*r*l_+*L)$
qualche agevole semplificazione e rimaniamo con
$(1-L^2)/epsilon_0=v_d^2*mu_0$
a questo punto dobbiamo risostituire a $L$ la quantità $sqrt(1-v^2/c^2)$, o meglio $sqrt(1-v_(d)^2/c^2)$e quindi
$(1- 1+v_(d)^2/c^2)/epsilon_0=v_d^2*mu_0$, un altro paio di semplici semplificazioni e sistemazioni per arrivare a
$c=1/sqrt(epsilon_0*mu_0)$
relazione risaputamente vera dovuta a Maxwell.
Quindi come volevasi dimostrare $F_B=F_E$, cioè la carica non è sottoposta a forze non bilanciate ne in $S$ ne in $S'$.
FINE
Tutto questo avevo pensato di portarlo come tesina, assieme alla dimostrazione tramite le equazioni di Maxwell che $c=1/sqrt(epsilon_0*mu_0)$ per giustificare l'ultimo passaggio. Sebbene terribilmente noiosa l'ho tirata 35 minuti ed ero neanche a metà. E' interessante perchè riassume tantissimi argomenti trattati durante l'anno in fisica ma inseriti comunque in un lavoro personale. Non sarà una dimostrazione difficile ma solo per la lunghezza fa scena
Non credo che qualcuno abbia voglia di leggersela, in caso contrario gradirei tantissimo commenti, osservazioni e correzioni. Grazie in anticipo
P.S. 2.30 h e più per scrivere tutto, avevo perso la dimostrazione
Nella figura (a), (sistema di riferimento che da ora chiamiamo $S$ come anche indicato in figura), troviamo un filo conduttore in cui circola una corrente $i$ verso destra, e quindi ci troviamo ad avere un moto di elettroni verso sinistra con velocità di deriva $v_d$. Il filo è complessivamente neutro, vediamo gli ioni positivi a riposo. A una distanza $r$ dal filo c'è una carica positiva a riposo, $q$. Su di essa non agisce una forza elettrica, in quanto il campo elettrico in quel punto risulta zero per quanto detto sulla neutralità del filo (la densità lineare $lambda_-$ delle cariche negative è uguale in valore assoluto a $lambda_+$). C'è un campo magnetico $B$, perpendicolare e uscente dal piano del foglio, ma essendo la carica a riposo non agisce su di essa alcuna forza.
Nella figura (b) studiamo la situazione in un sistema di riferimento $S'$ solidale agli elettroni, che quindi in $S'$ risultano a riposo. Gli ioni positivi sono in moto verso destra (e quindi abbiamo sempre una corrente di intensità $i$ verso destra) ovviamente con velocità $v_d$; stessa cosa dicasi per la carica positiva $q$.
Vediamo che in $S'$, essendo $q$ in moto ed essendoci in quel punto un campo magnetico $B$ perpendicolare e uscente dal piano del foglio, essa è sottoposta a una forza $F_B$ diretta verso il basso.
Ora, un osservatore in $S$ e un altro $S'$, trovandosi in due sistemi di riferimento inerziali, devono concordare sul fatto che su $q$ non agisca nessuna forza, o quantomeno che la risultante sia zero.
Deve quindi esserci in $S'$ una forza uguale e contraria a $F_B$, che in figura troviamo indicata come $F_E$. Questa forza è di natura elettrica.
Il problema è cosa genera un campo elettrico, e quindi una forza elettrica su $q$.
(-La soluzione che propone ora il libro è uno dei punti che mi piacerebbe discutere, e per evitare fraintendimenti la riporto parola per parola, indi per cui la mettiamo tra virgolette-)
"Consideriamo in figura (a) un tratto di filo. Possiamo considerare questo tratto di filo composto da due regoli (?), un regolo carico positivamente a riposo (gli ioni), ed uno carico negativamente in moto (gli elettroni). I due regoli hanno la stessa lunghezza in $S$ e contengono lo stesso numero di cariche. Quando trasformiamo questi regoli in $S'$, troviamo che il regolo carico negativamente ha una lunghezza maggiore in $S'$. In $S$, questo regolo in moto ha la sua lunghezza contratta, in accordo con l'effetto di contrazione relativistica delle lunghezze. In $S'$ è ha riposo e ha la sua lunghezza propria, che è maggiore della lunghezza contratta in $S$. La densità lineare di carica negativa $lambda_(-)'$ in $S'$ è minore in modulo di quella in $S$ (cioè $|lambda_(-)'|
Spiega quindi la situazione per il regolo positivo nei due sistemi di riferimento, ma penso abbiate capito. Per riassumere ci troviamo in questa situazione
in $S$: $lambda_+=|lambda_-|$
in $S'$: $lambda_(+)^{\prime}>|lambda_(-)'|$
Dalla differenza delle due densità di carica lineari, dovuta agli effetti relativistici, abbiamo un campo elettrico $E$ in $S'$ che agisce sulla carica $q$, generando (essendo $lambda_(+)^{\prime}>|lambda_(-)'|$), una forza repulsiva verso l'alto $F_E$.
Il libro conclude con il classico "è possibile dimostrare che $|F_B|=|F_E|$", in modo che anche in $S'$ sulla carica $q$ non agisca alcuna forza, in modo che i due osservatori in $S$ e in $S'$ siano concordi.
Io ho dato una dimostrazione di questo e vorrei sapere se è accettabile.
Considerazioni prima di iniziare
($l_+$ e $l_-$ sono le lunghezze dei regoli positivo e negativo in $S$, cioè le porzioni di filo che contengono rispettivamente le cariche positive e negative, mentre $l_(+)'$ e $l_(-)'$ sono le lunghezze dei regoli positivo e negativo in $S'$)
in $S$: $l_+=l_-$ e $lambda_+=|lambda_-|$
in $S$: $l_(+)'
sia in $S$ che in $S'$, sia per le cariche positive che negative, le quantità di carica $Q$ presenti nel filo le indichiamo come $n*e$, con $e$ la carica dell'elettrone (in valore assoluto uguale anche alla carica degli ioni positivi) ed $n$ il numero di cariche sia positive che negativi presenti nel tratto di filo.Tanto per intenderci nel caso in figura $n$ sarebbe uguale a $4$.
La densità lineare di carica è definita come $Q/l$
il campo elettrico generato a una distanza $r$ da una distribuzione lineare di carica $E=lambda/(2pi*epsilon_0*r)$
La forza di Lorentz agente su una carica $q$ in moto con velocità $v$ in un campo magnetico è $F_B=q*v*B$
La legge di Biot-Savart per il campo magnetico generato da un filo percorso da corrente $i$ a distanza $r$ è $B=(mu_0*i)/(2pi*r)$
Inoltre per comodità indicherò la quantità $sqrt(1-v^2/c^2)$, in pratica l'inverso del coeff di Lorentz, come $L$.
DIMOSTRAZIONE
Primo punto:trovare $F_E$
Per la legge di contrazione delle lunghezze abbiamo che $l_(+)'=l_+ * L$
conseguentemente $lambda_(+)'=(n*e)/(l_+*L)$
e anche $l_(-)'=l_-/L$ , quindi $lambda_(-)'=(n*e)/(l_-)*L$, e ricordando che $l_+=l_-$ riscriviamo come $lambda_(-)'=(n*e)/(l_+)*L$
La densità di carica netta nel filo in $S'$ quindi, per quanto detto sopra, sarà $lambda_(+)' - lambda_(-)'$. Il campo elettrico alla distanza $r$ dal filo sarà quindi guardando la formula ricordata nelle considerazioni sopra
$E=((n*e)/(l_+*L) - (n*e)/(l_+)*L)*1/(2pi*epsilon_0*r)$, quindi la forza elettrica, ricordando che $F=E*q$
$F_E=((n*e)/(l_+*L) - (n*e)/(l_+)*L)*1/(2pi*epsilon_0*r)*q$, raccogliendo un po di cose e sistemando la somma tra frazioni otteniamo
$F_E=(n*e*q)/(l_+*2pi*epsilon_0*r)*((1-L^2)/L)$
Secondo punto: trovare $F_B$
La $F_B$ agente sulla carica abbiamo detto essere
$F_B=q*v_d*B$
dobbiamo esprime $B$ attraverso la legge di Biot-Savart, ma dobbiamo prima scrivere meglio la corrente $i$. Ricordando la definizione di corrente, possiamo scrivere $i=(n+e)/(Deltat)$, cioè la carica fluita attraverso la sezione del conduttere in un certo tempo. Ora $Deltat$ possiamo vederlo come $(l_(+)')/v_d$. Guardiamo infatti l'immagine (b): se prendiamo una sezione qualunque, facciamo l'estremo destro, e iniziamo a misurare il tempo impiegato dalle $n$ cariche in figura a passarci attraverso, esso sarà uguale al tempo impiegato dall'ennesima carica , che si trova alla distanza (entro cui troviamo tutte le $n$ cariche) dalla sezione considerata, per attraversare quest'ultima.
Ricordando che $l_(+)'=l_+ * L$ la corrente sarà
$i=(n*e*v_d)/(l_+ * L)$
Sostituendo la $i$ nella legge di Biot-Savart e quest'ultima nell'equazione della Forza di Lorentz otteniamo
$F_B=(q*mu_0*n*e*v_(d)^2)/(2pi*r*l_+*L)$
Terzo punto: verificare che$F_B=F_E$
Iniziamo quindi con l'eguagliare le due espressioni
$(n*e*q)/(l_+*2pi*epsilon_0*r)*((1-L^2)/L)=(q*mu_0*n*e*v_(d)^2)/(2pi*r*l_+*L)$
qualche agevole semplificazione e rimaniamo con
$(1-L^2)/epsilon_0=v_d^2*mu_0$
a questo punto dobbiamo risostituire a $L$ la quantità $sqrt(1-v^2/c^2)$, o meglio $sqrt(1-v_(d)^2/c^2)$e quindi
$(1- 1+v_(d)^2/c^2)/epsilon_0=v_d^2*mu_0$, un altro paio di semplici semplificazioni e sistemazioni per arrivare a
$c=1/sqrt(epsilon_0*mu_0)$
relazione risaputamente vera dovuta a Maxwell.
Quindi come volevasi dimostrare $F_B=F_E$, cioè la carica non è sottoposta a forze non bilanciate ne in $S$ ne in $S'$.
FINE
Tutto questo avevo pensato di portarlo come tesina, assieme alla dimostrazione tramite le equazioni di Maxwell che $c=1/sqrt(epsilon_0*mu_0)$ per giustificare l'ultimo passaggio. Sebbene terribilmente noiosa l'ho tirata 35 minuti ed ero neanche a metà. E' interessante perchè riassume tantissimi argomenti trattati durante l'anno in fisica ma inseriti comunque in un lavoro personale. Non sarà una dimostrazione difficile ma solo per la lunghezza fa scena
Non credo che qualcuno abbia voglia di leggersela, in caso contrario gradirei tantissimo commenti, osservazioni e correzioni. Grazie in anticipo
P.S. 2.30 h e più per scrivere tutto, avevo perso la dimostrazione
Risposte
A me non torna la considerazione che tu e Halliday fate sulla lunghezza del filo nei due sistemi di riferimento, immaginando che sia fatto da due regoli uno con gli ioni positivi ed uno con gli elettroni. Quindi non trovo davvero il senso delle affermazioni come l+ < l- eccetera.
Il filo deve essere assunto infinito per poter considerare la corrente continua e costante nel tempo nel sistema S. Altrimenti dovresti avere un buco da qualche parte dove si accumulano cariche (cosa difficile da giustificare) e poi addio campo magnetico uniforme in S.
Il filo deve essere assunto infinito per poter considerare la corrente continua e costante nel tempo nel sistema S. Altrimenti dovresti avere un buco da qualche parte dove si accumulano cariche (cosa difficile da giustificare) e poi addio campo magnetico uniforme in S.
"strangolatoremancino":
Non credo che qualcuno abbia voglia di leggersela, in caso contrario gradirei tantissimo commenti, osservazioni e correzioni. Grazie in anticipo
P.S. 2.30 h e più per scrivere tutto, avevo perso la dimostrazione
Io l'ho letta tutta dal primo all'ultimo rigo: mi è piaciuta molto, e in base alle mie conoscenze (?sic?) da neodiplomato non ho trovato nessun errore.
35 minuti? Beato te...anch'io ho portato una tesina abbastanza "corposa", ma la commissione mi ha detto che dovevo "riassumerla" in 5, massimo 10 minuti!
Quando toccava alla professoressa di matematica e fisica interrogarmi, ecco la scena:
"Dimmi degli argomenti a piacere"
"Bè, vorrei parlare degli integrali definiti, e poi del moto di cariche in campi elettrici e magnetici e del calcolo della deflessione degli elettroni in un condensatore"
"No, va bene, va bene, non dirmi niente, basta così, puoi andare via!"
"wedge":
A me non torna la considerazione che tu e Halliday fate sulla lunghezza del filo nei due sistemi di riferimento, immaginando che sia fatto da due regoli uno con gli ioni positivi ed uno con gli elettroni. Quindi non trovo davvero il senso delle affermazioni come l+ < l- eccetera.
Il filo deve essere assunto infinito per poter considerare la corrente continua e costante nel tempo nel sistema S. Altrimenti dovresti avere un buco da qualche parte dove si accumulano cariche (cosa difficile da giustificare) e poi addio campo magnetico uniforme in S.
E' possibile che i 2 fili siano infiniti, e che le 2 figure a e b si riferiscano solo a delle sezioni degli stessi?
mi riferisco all'espressione
"Consideriamo in figura (a) un tratto di filo. Possiamo considerare questo tratto di filo composto da due regoli (?), un regolo carico positivamente a riposo (gli ioni), ed uno carico negativamente in moto (gli elettroni). I due regoli hanno la stessa lunghezza in S e contengono lo stesso numero di cariche. Quando trasformiamo questi regoli in S', troviamo che il regolo carico negativamente ha una lunghezza maggiore in S'. In S, questo regolo in moto ha la sua lunghezza contratta, in accordo con l'effetto di contrazione relativistica delle lunghezze. In S' è ha riposo e ha la sua lunghezza propria, che è maggiore della lunghezza contratta in S. La densità lineare di carica negativa λ-' in S' è minore in modulo di quella in S (cioè |λ-'|<λ-), perchè la densità di carica è distribuita su una lunghezza maggiore in S'."
"wedge":
mi riferisco all'espressione
"Consideriamo in figura (a) un tratto di filo. Possiamo considerare questo tratto di filo composto da due regoli (?), un regolo carico positivamente a riposo (gli ioni), ed uno carico negativamente in moto (gli elettroni). I due regoli hanno la stessa lunghezza in S e contengono lo stesso numero di cariche. Quando trasformiamo questi regoli in S', troviamo che il regolo carico negativamente ha una lunghezza maggiore in S'. In S, questo regolo in moto ha la sua lunghezza contratta, in accordo con l'effetto di contrazione relativistica delle lunghezze. In S' è ha riposo e ha la sua lunghezza propria, che è maggiore della lunghezza contratta in S. La densità lineare di carica negativa λ-' in S' è minore in modulo di quella in S (cioè |λ-'|<λ-), perchè la densità di carica è distribuita su una lunghezza maggiore in S'."
Scusa se insisto, ma vorrei cercare di capire. Quali sono gli errori presenti in questa affermazione?
Ho anche una domanda. Qui la contrazione riguarda più corpi contemporaneamente (le particelle cariche); è forse qui l'errore, se c'è? Mi spiego: il regolo qui si accorcia perchè le particelle cariche si "avvicinano" durante il moto (come delle macchine in autostrada in seguito ad un'incidente, per rendere l'idea; ovviamente le macchine rallentano al contrario delle particelle ma è solo per spiegare il concetto...); questo è un effetto relativistico, oppure la contrazione riguarda solo corpi solidi "compatti"?
Grazie a tutti e due prima di tutto.
Riguardo al dubbio espresso da wedge, è proprio quello che è ho anche io. Vedete infatti che nella citazione dal libro, quando si parla di regoli ho messo tra parentesi un bel (?), perchè non ho chiara questa divisione in regolo carico positivamente e regolo carico negativamente, e soprattutto cosa intenda per regolo. Poi altra cosa: non è che in $S$ sono entrambi fermi e in $S'$ sono entrambi in moto (o viceversa è un esempio), quindi chi o cosa ci assicura che in $S$, sebbene il regolo negativo sia in moto e l'altro no, essi abbiano la stessa lunghezza? Mi sembra un assunto abbastanza importante.
Riguardo al dubbio espresso da wedge, è proprio quello che è ho anche io. Vedete infatti che nella citazione dal libro, quando si parla di regoli ho messo tra parentesi un bel (?), perchè non ho chiara questa divisione in regolo carico positivamente e regolo carico negativamente, e soprattutto cosa intenda per regolo. Poi altra cosa: non è che in $S$ sono entrambi fermi e in $S'$ sono entrambi in moto (o viceversa è un esempio), quindi chi o cosa ci assicura che in $S$, sebbene il regolo negativo sia in moto e l'altro no, essi abbiano la stessa lunghezza? Mi sembra un assunto abbastanza importante.
"wedge":
A me non torna la considerazione che tu e Halliday fate sulla lunghezza del filo nei due sistemi di riferimento, immaginando che sia fatto da due regoli uno con gli ioni positivi ed uno con gli elettroni. Quindi non trovo davvero il senso delle affermazioni come l+ < l- eccetera.
Il filo deve essere assunto infinito per poter considerare la corrente continua e costante nel tempo nel sistema S. Altrimenti dovresti avere un buco da qualche parte dove si accumulano cariche (cosa difficile da giustificare) e poi addio campo magnetico uniforme in S.
Potresti chiarire i problemi? Le considerazioni sulla contrazione ecc non possono essere fatte se si assume il filo infinito? Nemmeno se nel problema se ne considera solo un tratto?
Poi comunque la contrazione non riguarda solo dei corpi, riguarda anche le distanze tra i corpi, quindi penso si intenda che nei due sistemi di riferimento variano le distanze relative tra le cariche e quindi risultino densità di carica diverse, e non che si contragga diciamo una porzione di filo e una no.
Anche a me non convince molto il discorso fatto con questi misteriosi regoli, principalmente perchè per fare considerazioni del genere hai bisogno di un filo infinitamente lungo. Continuano comunque a valere quelle sulla densità di carica, poichè in questo caso consideri soltanto una parte finita (o infinitesima se vuoi) del filo.
Considera infatti la densità di carica $\lambda = Q / (\Delta x)$. La carica $Q$ è un invariante relativistico, mentre per la lunghezza hai $\Delta x' = \sqrt(1-v^2/c^2) \Delta x = (\Delta x) / \gamma$. Quindi la densità di carica nel sistema solidale è $\lambda' = Q / (\Delta x') = \gamma Q / (\Delta x) = \gamma \lambda$.
EDIT: Avevo letto male, pensavo che con il discorso dei regoli volesse intendere un filo di lunghezza finita, invece a quanto pare dice la stessa cosa che ho scritto io.
Considera infatti la densità di carica $\lambda = Q / (\Delta x)$. La carica $Q$ è un invariante relativistico, mentre per la lunghezza hai $\Delta x' = \sqrt(1-v^2/c^2) \Delta x = (\Delta x) / \gamma$. Quindi la densità di carica nel sistema solidale è $\lambda' = Q / (\Delta x') = \gamma Q / (\Delta x) = \gamma \lambda$.
EDIT: Avevo letto male, pensavo che con il discorso dei regoli volesse intendere un filo di lunghezza finita, invece a quanto pare dice la stessa cosa che ho scritto io.
"strangolatoremancino":
Grazie a tutti e due prima di tutto.
Riguardo al dubbio espresso da wedge, è proprio quello che è ho anche io. Vedete infatti che nella citazione dal libro, quando si parla di regoli ho messo tra parentesi un bel (?), perchè non ho chiara questa divisione in regolo carico positivamente e regolo carico negativamente, e soprattutto cosa intenda per regolo. Poi altra cosa: non è che in $S$ sono entrambi fermi e in $S'$ sono entrambi in moto (o viceversa è un esempio), quindi chi o cosa ci assicura che in $S$, sebbene il regolo negativo sia in moto e l'altro no, essi abbiano la stessa lunghezza? Mi sembra un assunto abbastanza importante.
L'ipotesi di partenza è che, nella figura a, non c'è campo elettrico, giusto?
Uguagliando i campi delle cariche positive e negative e semplificando, si ottiene l'uguaglianza fra le densità lineari, cioè Q+/l+=Q-/l-
Affinchè la tua dimostrazione funzioni si deve avere l+=l-, cioè Q+=Q-.
Ora mi chiedo: se siamo noi a "postulare" questi regoli, non possiamo determinarne anche la lunghezza a piacimento? Non possiamo, cioè, scegliere due regoli che, se entrambi a riposo, siano di lunghezza e di densità di carica differente? Se, a regoli fermi, prendiamo quello positivo più corto di quello negativo (con una densità di carica maggiore), nel momento in cui uno qualsiasi dei due subisce la contrazione le "considerazioni" della dimostrazione verrebbero salvaguardate (bisognerebbe scegliere una differenza di lunghezza a riposo tale che questa differenza si annulli per contrazione nel momento in cui gli elettroni si muovono con una data velocità di deriva vd; io credo che si possa fare)
"VINX89":
L'ipotesi di partenza è che, nella figura a, non c'è campo elettrico, giusto?
Uguagliando i campi delle cariche positive e negative e semplificando, si ottiene l'uguaglianza fra le densità lineari, cioè Q+/l+=Q-/l-
Affinchè la tua dimostrazione funzioni si deve avere l+=l-, cioè Q+=Q-.
Ora mi chiedo: se siamo noi a "postulare" questi regoli, non possiamo determinarne anche la lunghezza a piacimento? Non possiamo, cioè, scegliere due regoli che, se entrambi a riposo, siano di lunghezza e di densità di carica differente? Se, a regoli fermi, prendiamo quello positivo più corto di quello negativo (con una densità di carica maggiore), nel momento in cui uno qualsiasi dei due subisce la contrazione le "considerazioni" della dimostrazione verrebbero salvaguardate (bisognerebbe scegliere una differenza di lunghezza a riposo tale che questa differenza si annulli per contrazione nel momento in cui gli elettroni si muovono con una data velocità di deriva vd; io credo che si possa fare)
Ho capito... penso che il discorso possa filare, sentiamo altri pareri
Un'altra cosa interessante di tutto questo che fa notare il libro è che "in questo contesto possiamo considerare il magnetismo come un effetto relativistico, che dipende dalla velocità della carica rispetto all'osservatore. Tuttavia, diversamente da altri effetti relativistici, ha conseguenze osservabili anche a velocità molto minori di quella della luce", infatti di solito la velocità di deriva delle cariche nei conduttori è svariati ordini di grandezza inferiore rispetto a $c$ (anche se con notevoli differenze tra conduttori metallici e semiconduttori)
Ad Einstein attribuiscono anche l'osservazione che "la forza che agisce su un corpo in un campo magnetico non è nient'altro che un campo elettrico"
Ora mi chiedo, partendo da queste considerazioni non risulta difficoltoso ipotizzare l'esistenza di monopoli magnetici?
"strangolatoremancino":
[Ora mi chiedo, partendo da queste considerazioni non risulta difficoltoso ipotizzare l'esistenza di monopoli magnetici?
Faccio una premessa: so che dal punto di vista teorico i monopoli magnetici possono esistere (anche se non sono mai stati trovati). Non so, però, su quali basi si possa affermare la loro possibile esistenza. Quali sono queste basi? Qual è il ragionamento che porta a prevedere la loro esistenza?
Detto questo, faccio una domanda "al contrario": per quale motivo, partendo da queste premesse, dici che dovrebbe risultare difficoltoso ipotizzare la loro esistenza?
Non riesco a seguire questo ragionamento, e mi piacerebbe conoscerlo visto che l'argomento è molto interessante.
"VINX89":
Faccio una premessa: so che dal punto di vista teorico i monopoli magnetici possono esistere (anche se non sono mai stati trovati). Non so, però, su quali basi si possa affermare la loro possibile esistenza. Quali sono queste basi? Qual è il ragionamento che porta a prevedere la loro esistenza?
Principalmente ci sono due ragioni, o almeno queste sono quelle che conosco.
La prima è per una questione di simmetria: infatti se hai mai visto le equazioni di Maxwell in forma differenziale forse ti sarai reso conto che le equazioni per i campi $\vec{E}$ e $\vec{B}$ hanno una forma piuttosto diversa, introducendo un termine di monopolo magnetico queste equazioni assumono invece la stessa forma per entrambi i campi e diventano quindi più simmetriche.
La seconda è legata alla quantizzazione della carica elettrica: infatti Paul Dirac ha dimostrato con argomenti di meccanica quantistica che l'esistenza di un monopolo magnetico implica che la carica elettrica sia quantizzata, cosa che sperimentalmente sappiamo essere vera, pertanto spiegherebbe questo fatto.
Poi ci sono ragioni legate a teorie più avanzate e speculative che non conosco, perciò per ora dovrai accontentarti di questo.
"VINX89":
[quote="strangolatoremancino"][Ora mi chiedo, partendo da queste considerazioni non risulta difficoltoso ipotizzare l'esistenza di monopoli magnetici?
Faccio una premessa: so che dal punto di vista teorico i monopoli magnetici possono esistere (anche se non sono mai stati trovati). Non so, però, su quali basi si possa affermare la loro possibile esistenza. Quali sono queste basi? Qual è il ragionamento che porta a prevedere la loro esistenza?
Detto questo, faccio una domanda "al contrario": per quale motivo, partendo da queste premesse, dici che dovrebbe risultare difficoltoso ipotizzare la loro esistenza?
Non riesco a seguire questo ragionamento, e mi piacerebbe conoscerlo visto che l'argomento è molto interessante.[/quote]
L'ipotesi dell'esistenza dei monopoli magnetici se non sbaglio rientra nella fisica quantistica: sul mio libro del liceo trovo scritto che Dirac, postulandone l'esistenza, potè giustificare la quantizzazione della carica elettrica.
Solo nell'ottica di questo problema,soprattutto dall'affermazione di Einstein, non sembra esserci bisogno di un monopolo magnetico, cioè di una particella in grado di generare, in quiete, un campo magnetico. Cioè il campo megnetico sembra solo essere un effetto relativistico delle cariche elttriche. (In effetti, se non sbaglio, Einstein e le teorie quantistiche non quagliavano
)A me verrebbe da pensare i monopli elettrici (si dice così?) e i monopoli magnetici si escludano, sul piano teorico, a vicenda. Cioè concettualmente si potrebbe sviluppare un "elettromagnetismo" in cui abbiamo solo monopoli magnetici, legati tra loro in condizioni stazionarie da una legge che rispetta l'inverso del quadrato della distanza, correnti di cariche magnetiche che generano campi elettrici ecc dove non esistono monopoli elettrici. Però non vorrei aver detto pirlate
Scusa Eredir non avevo visto, mannaggia a me che ci metto tanto a rispondere
"strangolatoremancino":
L'ipotesi dell'esistenza dei monopoli magnetici se non sbaglio rientra nella fisica quantistica: sul mio libro del liceo trovo scritto che Dirac, postulandone l'esistenza, potè giustificare la quantizzazione della carica elettrica.
Solo nell'ottica di questo problema,soprattutto dall'affermazione di Einstein, non sembra esserci bisogno di un monopolo magnetico, cioè di una particella in grado di generare, in quiete, un campo magnetico. Cioè il campo megnetico sembra solo essere un effetto relativistico delle cariche elttriche. (In effetti, se non sbaglio, Einstein e le teorie quantistiche non quagliavano
A me verrebbe da pensare i monopli elettrici (si dice così?) e i monopoli magnetici si escludano, sul piano teorico, a vicenda. Cioè concettualmente si potrebbe sviluppare un "elettromagnetismo" in cui abbiamo solo monopoli magnetici, legati tra loro in condizioni stazionarie da una legge che rispetta l'inverso del quadrato della distanza, correnti di cariche magnetiche che generano campi elettrici ecc dove non esistono monopoli elettrici. Però non vorrei aver detto pirlate
NOn ho capito molto come faresti, perchè cmq l'espressione del campo magnetico è u0/4pigreco integralde triplo di Jvettor r /r^3 dxdydz, dove J è la densità di corrente elettrica, che è definita cmq appunto a partire da cariche elettriche. Se tu appunti partissi da cariche magnetiche diciamo, come ridefiniresti quest'espressione?
"antani":
[quote="strangolatoremancino"]
L'ipotesi dell'esistenza dei monopoli magnetici se non sbaglio rientra nella fisica quantistica: sul mio libro del liceo trovo scritto che Dirac, postulandone l'esistenza, potè giustificare la quantizzazione della carica elettrica.
Solo nell'ottica di questo problema,soprattutto dall'affermazione di Einstein, non sembra esserci bisogno di un monopolo magnetico, cioè di una particella in grado di generare, in quiete, un campo magnetico. Cioè il campo megnetico sembra solo essere un effetto relativistico delle cariche elttriche. (In effetti, se non sbaglio, Einstein e le teorie quantistiche non quagliavano
A me verrebbe da pensare i monopli elettrici (si dice così?) e i monopoli magnetici si escludano, sul piano teorico, a vicenda. Cioè concettualmente si potrebbe sviluppare un "elettromagnetismo" in cui abbiamo solo monopoli magnetici, legati tra loro in condizioni stazionarie da una legge che rispetta l'inverso del quadrato della distanza, correnti di cariche magnetiche che generano campi elettrici ecc dove non esistono monopoli elettrici. Però non vorrei aver detto pirlate
NOn ho capito molto come faresti, perchè cmq l'espressione del campo magnetico è u0/4pigreco integralde triplo di Jvettor r /r^3 dxdydz, dove J è la densità di corrente elettrica, che è definita cmq appunto a partire da cariche elettriche. Se tu appunti partissi da cariche magnetiche diciamo, come ridefiniresti quest'espressione?[/quote]
A beh ovviamente non so come scrivere le equazioni con monopoli magnetici anzichè monopoli elettrici
eh appunto...secondo me è proprio impossibile:-D
"antani":
eh appunto...secondo me è proprio impossibile:-D
$q_m$ carica magnetica
$int E *dA=0$
$int B*dA=mu_o*q_m$
$int E*ds=mu_0*i_m-(dPhi_B)/(dt)$ cioè $int E*ds=mu_0*(dq_m)/(dt)-(dPhi_B)/(dt)$
$int B*ds=mu_0*epsilon_0*(dPhi_E)/(dt)
cioè in pratica hai scritto le equazioni di maxwell scambiando cariche elettricità e magnetismo...Ma hanno senso quelle cose che hai scritto l'una con l'altra:-D?
"antani":
cioè in pratica hai scritto le equazioni di maxwell scambiando cariche elettricità e magnetismo...Ma hanno senso quelle cose che hai scritto l'una con l'altra:-D?
Boh
. Il primo integrale è zero perchè non esistono cariche elettriche isolate. Conseguentemente il secondo non è zero perchè esistono monopoli magnetici. Nel terzo integrale ho aggiunto la corrente $i_m$, cioè una corrente di cariche magnetiche, che può generare un campo elettrico. Nel quarto ho tolto la corrente $i$ che compare solitamente nella legge di Ampere perchè non esistono cariche elettriche. Ipotizzando che esistano entrambi (monopoli elettrici e magnetici)
$int E *dA=q_e/epsilon_0$
$int B*dA=mu_o*q_m$
$int E*ds=mu_0*i_m-(dPhi_B)/(dt)$
$int B*ds=mu_0*i_e + mu_0*epsilon_0*(dPhi_E)/(dt)$
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