Elettromagnetismo e relatività
Torno or ora da una settimana al mare, nella quale per passare il tempo mi son portato da leggere sotto l'ombrellone la fisica di Feynman vol.2.
A proposito di un esempio fatto dall'autore in un esercizio nel quale spiegava in che modo il campo elettromagnetico e la relatività vadano a braccetto, mi sono trovato a sviluppare un dubbio che come un tarlo ancora m'assilla. Vado a spiegare.
L'autore pone una carica q in moto nei pressi di un conduttore nel quale circola corrente. Suppone anche che la carica q si muova con la stessa velocità v degli elettroni di conduzione del conduttore. Scopo dell'esercizio è mostrare la relatività dei concetti di campo magnetico ed elettrico e mostrare che comunque tutto torna in termini di impulso sulla carica.
Fa due calcoli: il primo in un sistema di riferimento fisso (solidale con il conduttore); il secondo in un sistema di riferimento in moto con la carica q.
Nel primo caso la carica q possiede velocità v e poiché attraversa un campo magnetico generato dalla corrente nel conduttore, è soggetta alla forza di Lorentz. L'autore afferma che il conduttore è neutro, non ha carica poiché le cariche positive del reticolo cristallino e le cariche negative di conduzione sono in egual numero, dunque in questo caso c'è solo forza magnetica sulla carica q in movimento.
Nel secondo sistema di riferimento, quello in moto insieme alla carica q, quest'ultima è ferma, dunque non risente della forza di Lorentz poiché non c'è velocità della carica nel campo magnetico. Però arriva una magia: il conduttore adesso appare carico positivamente e dunque esercita una forza elettrostatica sulla carica ferma q, una forza che a conti fatti produce lo stesso impulso che nel caso precedente. Come si crea questa carica? l'autore afferma che la densità di carica in movimento non è più uguale a quella che il conduttore aveva quando era fermo, perché essendo la lunghezza contratta per effetto relativistico la densità degli ioni positivi è maggiore di prima, mentre per contro la densità degli elettroni di conduzione, che in questo sistema di riferimento sono fermi, è minore che nel caso precedente quando si muovevano, per ragioni simmetriche.
Ma allora, dico io, se le cose stanno così non mi ci ritrovo. Infatti, direi, quando il conduttore era fermo e vi passava corrente non poteva essere neutro, perché ammettendo che in assenza di corrente il numero degli elettroni di conduzione e quindi la loro densità dovevano essere i medesimi rispetto agli ioni positivi cristallini, e quindi il conduttore prima che vi ci fosse fatta passare corrente doveva per forza essere neutro, nel momento in cui si fanno muovere gli elettroni di conduzione la densità di questi dovrebbe aumentare per contrazione relativistica, dunque non è possibile che un conduttore percorso da corrente sia neutro, come invece esplicitamente ipotizza l'autore nel primo caso.
Insomma: è il Feynman che ha in parte toppato (mi si perdoni l'eretico dubbio) nel proporre l'esempio, oppure sono io che, ottenebrato da balneari e succinti abbigliamenti femminili circolanti nei dintorni, non ho capito più nulla?
La seconda ipotesi temo sia la più probabile.
A proposito di un esempio fatto dall'autore in un esercizio nel quale spiegava in che modo il campo elettromagnetico e la relatività vadano a braccetto, mi sono trovato a sviluppare un dubbio che come un tarlo ancora m'assilla. Vado a spiegare.
L'autore pone una carica q in moto nei pressi di un conduttore nel quale circola corrente. Suppone anche che la carica q si muova con la stessa velocità v degli elettroni di conduzione del conduttore. Scopo dell'esercizio è mostrare la relatività dei concetti di campo magnetico ed elettrico e mostrare che comunque tutto torna in termini di impulso sulla carica.
Fa due calcoli: il primo in un sistema di riferimento fisso (solidale con il conduttore); il secondo in un sistema di riferimento in moto con la carica q.
Nel primo caso la carica q possiede velocità v e poiché attraversa un campo magnetico generato dalla corrente nel conduttore, è soggetta alla forza di Lorentz. L'autore afferma che il conduttore è neutro, non ha carica poiché le cariche positive del reticolo cristallino e le cariche negative di conduzione sono in egual numero, dunque in questo caso c'è solo forza magnetica sulla carica q in movimento.
Nel secondo sistema di riferimento, quello in moto insieme alla carica q, quest'ultima è ferma, dunque non risente della forza di Lorentz poiché non c'è velocità della carica nel campo magnetico. Però arriva una magia: il conduttore adesso appare carico positivamente e dunque esercita una forza elettrostatica sulla carica ferma q, una forza che a conti fatti produce lo stesso impulso che nel caso precedente. Come si crea questa carica? l'autore afferma che la densità di carica in movimento non è più uguale a quella che il conduttore aveva quando era fermo, perché essendo la lunghezza contratta per effetto relativistico la densità degli ioni positivi è maggiore di prima, mentre per contro la densità degli elettroni di conduzione, che in questo sistema di riferimento sono fermi, è minore che nel caso precedente quando si muovevano, per ragioni simmetriche.
Ma allora, dico io, se le cose stanno così non mi ci ritrovo. Infatti, direi, quando il conduttore era fermo e vi passava corrente non poteva essere neutro, perché ammettendo che in assenza di corrente il numero degli elettroni di conduzione e quindi la loro densità dovevano essere i medesimi rispetto agli ioni positivi cristallini, e quindi il conduttore prima che vi ci fosse fatta passare corrente doveva per forza essere neutro, nel momento in cui si fanno muovere gli elettroni di conduzione la densità di questi dovrebbe aumentare per contrazione relativistica, dunque non è possibile che un conduttore percorso da corrente sia neutro, come invece esplicitamente ipotizza l'autore nel primo caso.
Insomma: è il Feynman che ha in parte toppato (mi si perdoni l'eretico dubbio) nel proporre l'esempio, oppure sono io che, ottenebrato da balneari e succinti abbigliamenti femminili circolanti nei dintorni, non ho capito più nulla?
La seconda ipotesi temo sia la più probabile.
Risposte
credo proprio che hai ragione tu... 
anche secondo me il conduttore percorso da corrente nel primo caso non è neutro.
Chiamiamo la densità di carica $\rho$ e sia $\rho=nq$ dove $\n$ è il numero di portatori di carica per unità di volume.
Introducendo il quadrivettore densità di corrente $\vec j=(vec J, c*rho)$ si vede in base a considerazioni relativistiche che si trasforma in un sistema di
riferimento che si muove con velocità v in $\vec j=gamma(vec J, c*rho)$.
Nel nostro caso abbiamo allora $\vec j=vec j{+} + vec j {-}=(0,nqc)+gamma(nqv,-nqc) =(gamma*nqv, (1-gamma)*nqc) $.
Quindi a rigore la carica totale è diversa da zero: è complessivamente negativa.
Questo perchè il primo SR è solidale al conduttore ma non agli elettroni che si muovono con velocità v in esso.
Considerando però che la velocità di deriva è di frazioni di millimetro al secondo il termine $\(1-gamma)$ si può approssimare a 0 , considerando la
forza elettrostatica che ne scaturirebbe trascurabile rispetto alla forza di Lorentz.
Credo che Feynman sottointenda questo.
Tuttavia a rigore la particella dovrebbe risentire anche di questo campo elettrico.
Ad ogni modo inserendo nel computo delle forze anche questo contributo si vede,svolgendo i calcoli per la forza nell' altro SR, che naturalmente la covarianza dell' elettromagnetismo rimane salva.
anche secondo me il conduttore percorso da corrente nel primo caso non è neutro.
Chiamiamo la densità di carica $\rho$ e sia $\rho=nq$ dove $\n$ è il numero di portatori di carica per unità di volume.
Introducendo il quadrivettore densità di corrente $\vec j=(vec J, c*rho)$ si vede in base a considerazioni relativistiche che si trasforma in un sistema di
riferimento che si muove con velocità v in $\vec j=gamma(vec J, c*rho)$.
Nel nostro caso abbiamo allora $\vec j=vec j{+} + vec j {-}=(0,nqc)+gamma(nqv,-nqc) =(gamma*nqv, (1-gamma)*nqc) $.
Quindi a rigore la carica totale è diversa da zero: è complessivamente negativa.
Questo perchè il primo SR è solidale al conduttore ma non agli elettroni che si muovono con velocità v in esso.
Considerando però che la velocità di deriva è di frazioni di millimetro al secondo il termine $\(1-gamma)$ si può approssimare a 0 , considerando la
forza elettrostatica che ne scaturirebbe trascurabile rispetto alla forza di Lorentz.
Credo che Feynman sottointenda questo.
Tuttavia a rigore la particella dovrebbe risentire anche di questo campo elettrico.
Ad ogni modo inserendo nel computo delle forze anche questo contributo si vede,svolgendo i calcoli per la forza nell' altro SR, che naturalmente la covarianza dell' elettromagnetismo rimane salva.
"Fabbro":
Quindi a rigore la carica totale è diversa da zero: è complessivamente negativa.
Questo perchè il primo SR è solidale al conduttore ma non agli elettroni che si muovono con velocità v in esso.
Considerando però che la velocità di deriva è di frazioni di millimetro al secondo il termine $\(1-gamma)$ si può approssimare a 0 , considerando la
forza elettrostatica che ne scaturirebbe trascurabile rispetto alla forza di Lorentz.
Credo che Feynman sottointenda questo.
Non mi pare proprio.
Mi sono divertito a calcolare il rapporto tra forza elettrica e forza magnetica nel caso di elettroni in movimento e conduttore fermo (e quindi conduttore non neutro per contrazione relativistica) e trovo quanto segue:
Posto n= densità elettroni di conduzione; N=densità elettroni di conduzione non compensati da carica positiva per effetto relativistico
e=carica elettrone, q=carica esterna che si muove con velocità v pari a quella degli elettroni, $\lambda$= densità lineare di carica non compensata nel conduttore S= sezione del conduttore, e gli altri simboli con significato ovvio:
Forza magnetica di Lorentz:
[tex]\begin{array}{l}
j = env \\
I = jS \\
2\pi rB = \frac{I}{{{\varepsilon _0}{c^2}}} \\
{F_m} = qvB = q\frac{{vI}}{{{\varepsilon _0}{c^2}2\pi r}} = q\frac{{{v^2}enS}}{{{\varepsilon _0}{c^2}2\pi r}} = q\frac{{\frac{{{I^2}}}{{{e^2}{n^2}{S^2}}}enS}}{{{\varepsilon _0}{c^2}2\pi r}} = q\frac{{{I^2}}}{{{\varepsilon _0}{c^2}2\pi renS}} \\
\end{array}[/tex]
Forza elettrostatica:
[tex]\begin{array}{l}
\lambda = eNS \\
2\pi rE = \frac{\lambda }{{{\varepsilon _0}}} \\
{F_e} = qE = q\frac{\lambda }{{2\pi r{\varepsilon _0}}} = q\frac{{eNS}}{{2\pi r{\varepsilon _0}}} \\
\end{array}[/tex]
Rapporto tra le due forze:
[tex]\frac{{{F_e}}}{{{F_m}}} = \frac{{q\frac{{eNS}}{{2\pi r{\varepsilon _0}}}}}{{q\frac{{{I^2}}}{{{\varepsilon _0}{c^2}2\pi renS}}}} = nN{\left( {\frac{{eSc}}{I}} \right)^2}[/tex]
Data l'approssimazione valida per x piccoli [tex]\frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} \simeq 1 + \frac{{{x^2}}}{2}[/tex]
e posto [tex]N = \frac{n}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} - n \simeq n\left( {1 + \frac{1}{2}{{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2} - 1} \right) = \frac{n}{2}{\left( {\frac{v}{c}} \right)^2}[/tex]
sostituendo si trova
[tex]\frac{{{F_e}}}{{{F_m}}} = nN{\left( {\frac{{eSc}}{I}} \right)^2} = \frac{{{n^2}}}{2}{\left( {\frac{v}{c}} \right)^2}{\left( {\frac{{eSc}}{I}} \right)^2} = \frac{1}{2}{\left( {\frac{{nveS}}{I}} \right)^2}[/tex]
Ma dalla relazione [tex]v = \frac{I}{{enS}}[/tex] sostituendo nella precedente si trova alla fine
[tex]\frac{{{F_e}}}{{{F_m}}} = \frac{1}{2}[/tex]
Da cui si deduce che le due forze sono dello stesso ordine di grandezza, dunque l'effetto relativistico è determinante qualunque sia la velocità degli elettroni.
Salvo errori miei di calcolo, ovviamente.
Gente, questa storia del campo elettrico che si crea in un circuito per effetto relativistico sulla concentrazione degli elettroni liberi mi lascia troppe perplessità!!! 
Mi chiedo: ma se in un tratto di circuito effettivamente si crea un campo a causa di una maggiore concentrazione degli elettroni per contrazione relativistica, tuttavia nel complesso del circuito il numero di elettroni totale è uguale al numero totale di protoni, dunque la carica netta è zero, per cui per il teorema di Gauss il flusso totale di campo attraverso una superficie chiusa che ingloba l'intero circuito deve essere nullo! da cui deduco che da qualche altra parte del circuito ci dovrebbe essere un eccesso di concentrazione di protoni... ma come è possibile visto che gli atomi del cristallo sono fermi?](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Voglio fare un esempio ulteriore.
Prendiamo una spira conduttrice chiusa circolare e immaginiamola posta a una temperatura tale da rendere il materiale superconduttore. Supponiamo che sia percorsa da una corrente che si mantiene costante (trascurando l'energia persa per irraggiamento, almeno per un tempo piccolo, visto che il sistema è accelerato).
A causa della simmetria circolare devo concludere che ogni tratto di circuito si deve comportare in modo identico a tutti gli altri.
Come è possibile in questo caso che ogni trattino di circuito risulti carico negativamente per contrazione relativistica? a causa della simmetria ciò significherebbe che tutto il circuito risulta carico negativamente, ma siccome il numero totale di protoni eguaglia il numero di elettroni ciò significherebbe o aver creato una carica netta negativa dal nulla (cosa che non mi risulta possibile nemmeno in campo relativistico), oppure aver creato un flusso netto di campo senza carica netta, cosa che contraddirebbe il teorema di Gauss.
Non mi resta che concludere che nel caso della spira circolare essa rimane neutra. Ma allora in questo caso la contrazione relativistica delle lunghezze riferita agli elettroni in movimento è compensata da qualche altro fenomeno relativistico inerente i sistemi accelerati (spira circolare => accelerazione centripeta) che io non conosco?
Aiutatemi a capire oh voi esperti di questa spinosa materia, vi prego.
EDIT:
in effetti mi è venuta in mente un'idea che potrebbe mettere a posto le cose: nel caso del circuito ad anello si può ipotizzare che l'anello lungo il quale si muovono le cariche negative, relativisticamente contratto, sia sempre una circonferenza ma di raggio minore rispetto all'anello formato dal conduttore che è invece immobile. In tal modo la densità di carica degli elettroni in movimento risulta maggiore di quella degli ioni positivi del conduttore (effetto relativistico), ma la carica totale degli elettroni rimane uguale e contraria a quella del reticolo cristallino, dunque la carica totale netta risulta nulla come è giusto che sia.
Commenti please?
Mi chiedo: ma se in un tratto di circuito effettivamente si crea un campo a causa di una maggiore concentrazione degli elettroni per contrazione relativistica, tuttavia nel complesso del circuito il numero di elettroni totale è uguale al numero totale di protoni, dunque la carica netta è zero, per cui per il teorema di Gauss il flusso totale di campo attraverso una superficie chiusa che ingloba l'intero circuito deve essere nullo! da cui deduco che da qualche altra parte del circuito ci dovrebbe essere un eccesso di concentrazione di protoni... ma come è possibile visto che gli atomi del cristallo sono fermi?
Voglio fare un esempio ulteriore.
Prendiamo una spira conduttrice chiusa circolare e immaginiamola posta a una temperatura tale da rendere il materiale superconduttore. Supponiamo che sia percorsa da una corrente che si mantiene costante (trascurando l'energia persa per irraggiamento, almeno per un tempo piccolo, visto che il sistema è accelerato).
A causa della simmetria circolare devo concludere che ogni tratto di circuito si deve comportare in modo identico a tutti gli altri.
Come è possibile in questo caso che ogni trattino di circuito risulti carico negativamente per contrazione relativistica? a causa della simmetria ciò significherebbe che tutto il circuito risulta carico negativamente, ma siccome il numero totale di protoni eguaglia il numero di elettroni ciò significherebbe o aver creato una carica netta negativa dal nulla (cosa che non mi risulta possibile nemmeno in campo relativistico), oppure aver creato un flusso netto di campo senza carica netta, cosa che contraddirebbe il teorema di Gauss.
Non mi resta che concludere che nel caso della spira circolare essa rimane neutra. Ma allora in questo caso la contrazione relativistica delle lunghezze riferita agli elettroni in movimento è compensata da qualche altro fenomeno relativistico inerente i sistemi accelerati (spira circolare => accelerazione centripeta) che io non conosco?
Aiutatemi a capire oh voi esperti di questa spinosa materia, vi prego.
EDIT:
in effetti mi è venuta in mente un'idea che potrebbe mettere a posto le cose: nel caso del circuito ad anello si può ipotizzare che l'anello lungo il quale si muovono le cariche negative, relativisticamente contratto, sia sempre una circonferenza ma di raggio minore rispetto all'anello formato dal conduttore che è invece immobile. In tal modo la densità di carica degli elettroni in movimento risulta maggiore di quella degli ioni positivi del conduttore (effetto relativistico), ma la carica totale degli elettroni rimane uguale e contraria a quella del reticolo cristallino, dunque la carica totale netta risulta nulla come è giusto che sia.
Commenti please?
Quello che ha voluto dimostrare Feyman e credo che diversamente da te non fu distratto in quel momento dalle grazie in bikini e' che per effetto relativistico se si passa da un sistema di riferimento all'altro un campo magnetico possa originare un campo elettrico e viceversa.Si parte da questi punti:
1)la carica e' invariante
2)la densita' di carica $\rho$ e la densita' di corrente $\vec J$ non sono invarianti:dato un osservatore mobile con velocita' $v$ rispetto alla distribuizione di carica si ha
infatti per il sistema mobile si osserva:$\rho=\rho_0/(sqrt(1-(v^2/c^2)))$.la densita' portata nel semplice caso da cariche negative:$\vec J=\rho\vec v$ diviene
$J'=AJ$ dove $A$ e' la matrice di Lorentz.in termini cartesiani (lungo per esempio $x$) e':$J_x'=(sqrt(1-(v^2/c^2))(J_x-\rhov))$ e $\rho'=(\rho-(v/c^2))J_x/(sqrt(1-(v^2/c^2)))$
Passiamo all'esempio di Feyman
Il filo percorso da corrente non genera un campo elettrico(ipotesi di vuoto)ma un campo magnetico dovuto al moto delle cariche.
Una carica q nelle sue vicinanze se e' in moto con velocita' $v$ risente della forza di Lorentz.eE' appurato quindi che se prendo un sistema di riferimento mobile in moto
con q (quindi solidale a q),alla stessa velocita' e parallelamente (per esempio ad x),quest'ultima non risente di una forza di Lorentz $\vec F=qvXB_0$,per cui rimane ferma non essendo sottoposta ad alcuna forza.
Se ammettiamo che in questo sistema ci sia "solo" un campo magnetico $\vec B'_0$,la particella poiche' non c'e' nessuna forza rimane ferma e cio' e' in netto contrasto con quanto si osserva da un sistema fisso e quindi non vale piu' il principio della relativita'.Allora ci aspettiamo che nel sistema mobile sia presente anche un campo elettrico
$\vec E'_0$.quindi se si passa da un sistema di riferimento all'altro un campo magnetico genera un campo elettrico e viceversa.
A questo punto Feyman trae la stessa conclusione se fa lo studio delle cariche del filo osservandolo dai 2 sistemi fisso e mobile.
Sul filo sono presenti sia le cariche positive che negative.nel sistema fisso le cariche positive sono fisse e le negative procedono con velocita' $V$.In questi 2 casi le correnti saranno lungo $x$:$J_x^+=0$ e $J_x^(-)=-nqV$,mentre le densita' di cariche sono opposte e quindi per un sistema fisso il filo e' neutro.n sono i portatori di carica.
Nel sistema mobile $J'_(+x)=-\rhoVsqrt(1-(v^2/c^2)$ e $J'_(-x)=(sqrt(1-(v^2/c^2)))*(-nqV+nqv)$
$\rho'_+=(sqrt(1-(v^2/c^2)))\rho=sqrt(1-(v^2/c^2))nq$ e $\rho'_(-)=sqrt(1-(v^2/c^2))(-nq+nqVv/(c^2))$.Si vede che quindi rispetto al sistema mobile le densita' di cariche sono diverse:$\rho'!=\rho'_-!=\rho'_+$.Quindi essendoci una diversa distribuzione(le cariche positive come vedi sovrastano le negative) ci sara' un campo elettrico che e' lo stesso prodotto da un filo:
$E'_x=E_x=\rho/(2\pi\epsilon_0R)$.In questo caso lungo $x$ il campo e' visto allo stesso modo dai 2 sistemi ma lungo le altre componenti $y,z$ e' in genere diverso.
In questo caso sara':$B'_x=B_x$.Quest'ultima dimostrazione e' un po' piu' complicata per questo non l'ho messa ma fidati e' cosi'.Spero di essere stao chiaro visto che questi argomenti sono un po' oscuri.
1)la carica e' invariante
2)la densita' di carica $\rho$ e la densita' di corrente $\vec J$ non sono invarianti:dato un osservatore mobile con velocita' $v$ rispetto alla distribuizione di carica si ha
infatti per il sistema mobile si osserva:$\rho=\rho_0/(sqrt(1-(v^2/c^2)))$.la densita' portata nel semplice caso da cariche negative:$\vec J=\rho\vec v$ diviene
$J'=AJ$ dove $A$ e' la matrice di Lorentz.in termini cartesiani (lungo per esempio $x$) e':$J_x'=(sqrt(1-(v^2/c^2))(J_x-\rhov))$ e $\rho'=(\rho-(v/c^2))J_x/(sqrt(1-(v^2/c^2)))$
Passiamo all'esempio di Feyman
Il filo percorso da corrente non genera un campo elettrico(ipotesi di vuoto)ma un campo magnetico dovuto al moto delle cariche.
Una carica q nelle sue vicinanze se e' in moto con velocita' $v$ risente della forza di Lorentz.eE' appurato quindi che se prendo un sistema di riferimento mobile in moto
con q (quindi solidale a q),alla stessa velocita' e parallelamente (per esempio ad x),quest'ultima non risente di una forza di Lorentz $\vec F=qvXB_0$,per cui rimane ferma non essendo sottoposta ad alcuna forza.
Se ammettiamo che in questo sistema ci sia "solo" un campo magnetico $\vec B'_0$,la particella poiche' non c'e' nessuna forza rimane ferma e cio' e' in netto contrasto con quanto si osserva da un sistema fisso e quindi non vale piu' il principio della relativita'.Allora ci aspettiamo che nel sistema mobile sia presente anche un campo elettrico
$\vec E'_0$.quindi se si passa da un sistema di riferimento all'altro un campo magnetico genera un campo elettrico e viceversa.
A questo punto Feyman trae la stessa conclusione se fa lo studio delle cariche del filo osservandolo dai 2 sistemi fisso e mobile.
Sul filo sono presenti sia le cariche positive che negative.nel sistema fisso le cariche positive sono fisse e le negative procedono con velocita' $V$.In questi 2 casi le correnti saranno lungo $x$:$J_x^+=0$ e $J_x^(-)=-nqV$,mentre le densita' di cariche sono opposte e quindi per un sistema fisso il filo e' neutro.n sono i portatori di carica.
Nel sistema mobile $J'_(+x)=-\rhoVsqrt(1-(v^2/c^2)$ e $J'_(-x)=(sqrt(1-(v^2/c^2)))*(-nqV+nqv)$
$\rho'_+=(sqrt(1-(v^2/c^2)))\rho=sqrt(1-(v^2/c^2))nq$ e $\rho'_(-)=sqrt(1-(v^2/c^2))(-nq+nqVv/(c^2))$.Si vede che quindi rispetto al sistema mobile le densita' di cariche sono diverse:$\rho'!=\rho'_-!=\rho'_+$.Quindi essendoci una diversa distribuzione(le cariche positive come vedi sovrastano le negative) ci sara' un campo elettrico che e' lo stesso prodotto da un filo:
$E'_x=E_x=\rho/(2\pi\epsilon_0R)$.In questo caso lungo $x$ il campo e' visto allo stesso modo dai 2 sistemi ma lungo le altre componenti $y,z$ e' in genere diverso.
In questo caso sara':$B'_x=B_x$.Quest'ultima dimostrazione e' un po' piu' complicata per questo non l'ho messa ma fidati e' cosi'.Spero di essere stao chiaro visto che questi argomenti sono un po' oscuri.
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