ELETTROMAGNETISMO

[berretto2016]

Un lungo cilindro pieno non conduttore di raggio R = 10 cm ha una densità di carica volumica[size=150] non uniforme[/size] ρ funzione della
distanza radiale r dall’asse del cilindro: ρ = A r2 con A = 2.5 ⋅10-6 C/m5. Calcolare il modulo del campo elettrico alla distanza
r = 3.0 cm.

[Lele0012]

Ti do una mano volentieri visto che questo è concettualmente un po' più difficilotto degli altri postati, ma ti chiedo di provare a proporre metodi di risoluzione: non serve a niente se ti diciamo subito come si risolve l'esercizio
Dunque, per questo problema dovremo fare un po' di supposizioni:
-Il cilindro è "infinito" o "indefinito": o meglio, la distanza a cui si vuole calcolare il campo elettrico è abbastanza piccola da poter immaginare il cilindro come infinito.
-Per la simmetria del problema, una volta considerate coordinate cilindriche, il campo elettrico generato dal "tubo" sarà soltanto radiale: possiamo infatti immaginare come ad esempio, per ogni componente assiale data dal contributo di un pezzo infinitesimo di carica a quota z, vi sia un contributo, uguale ed opposto, da parte di un pezzo infinitesimo di carica a quota -z. Nella supposizione che il cilindro sia infinito, perciò, le componenti del campo sono solo radiali.
Per il resto... basta applicare il teorema di Gauss come nell'esercizio del cubo che hai proposto in qualche altro post, facendo attenzione che la carica NON è distribuita uniformemente, dunque la carica $Q$ che appare al secondo membro dovrà essere il risultato di un integrale fatto sul volume del cilindro.
Un consiglio: applica Gauss su un cilindro, coassiale al cilindro stesso, di raggio r e altezza h, e vedi cosa succede

Fissato il nostro sistema di rierimento nel centro del cilindro (tanto è infinito, ogni punto va bene), calcoliamo il flusso del campo elettrico attraverso un cilindro di altezza h e raggio r, quello segnato in rosso in figura, che avvolge il cilindro di raggio R. Per la simmetria del problema, il campo elettrico, lungo una circonferenza fissata coassiale al cilindro, si mantiene costante, visto che la distribuzione dipende solo dalla distanza radiale. Iniziamo a calcolare il campo per un punto esterno al cilindro; varrà:
$\int_S\vec(E)\cdotd\vec(s) =Q/\varepsilon_0$
Dove $S$ è la superficie del cilindro rosso.
Perciò,
$E2\pirh=1/\varepsilon_0\int_V\rho(r)d\tau$
Dove $V$ è il volume di carica racchiuso nel nostro cilindro rosso. Ovviamente, al di fuori del raggio $R$ non c'è carica. Poiché il nostro integrale non dipende dall'angolo $\phi$ nè dall'altezza $h$, possiamo scrivere l'integrale al secondo membro come:
$E2\pirh=1/\varepsilon_0\int_(0)^(R)\rho(r)2\pihrdr=1/\varepsilon_0\int_(0)^(R)\Ar^3 2\pihdr=(AR^4)/4 2\pih$
Perciò il tuo campo elettrico a distanza r al di fuori del cilindro è:
$E=(AR^4)/(4r\varepsilon_0)$
Discorso simile se volessimo calcolare il campo elettrico invece all'interno del cilindro: semplicemente, basta cambiare l'estremo di integrazione:
$E2\pirh=1/\varepsilon_0\int_(0)^(r)\Ar^3 2\pihdr=(Ar^4)/4 2\pih$
Perciò:
$E=(Ar^3)/(4\varepsilon_0)$
Mi sono or ora accorto che il problema pone un $r