E' vero che, in un campo di forze, il modulo della velocità non dipende dal tempo, ma dalla posizione?

[siddy98]

Consideriamo un punto materiale $P$ e supponiamo, per semplicità, che il suo moto sia unidimensionale.
Assumiamo inoltre di trovarci in un campo di forze $F: mathbb\R \rightarrow mathbb\R$, ovvero assumiamo che la forza totale agente su $P$ non dipenda dal tempo ma unicamente dalla posizione. Indichiamo infine con $x=x(t)$ la sua legge oraria.

Ora immaginiamo che, nell'istante di tempo $t_0$, $P$ si trovi nel punto $a\in \mathbb{R}$ (ovvero $x(t_0)=a$), mentre in due diversi istanti $t_1$ e $t_2$ la particella si trovi nel medesimo punto $b\in \mathbb{R}$ (ossia $x(t_1)=x(t_2)=b)$.

Calcolando il lavoro di $F$ da $a$ a $b$ si ha che

$int_a^b F(x) dx=int_{x(t_0)}^{x(t_1)} F(x) dx=int_{t_0}^{t_1} F(x(t))x'(t) dt=int_{t_0}^{t_1} mv'(t)v(t) dt=m/2(v^2(t_1)-v^2(t_0)) $.

Ma, equivalentemente, si potrebbe scrivere

$int_a^b F(x) dx=int_{x(t_0)}^{x(t_2)} F(x) dx=int_{t_0}^{t_2} F(x(t))x'(t) dt=int_{t_0}^{t_2} mv'(t)v(t) dt=m/2(v^2(t_2)-v^2(t_0)) $.

E pertanto abbiamo

$ m/2(v^2(t_2)-v^2(t_0)) = m/2(v^2(t_1)-v^2(t_0)) $

da cui segue banalmente

$|v(t_1)|=|v(t_2)|$

Ma questo vuol dire che se la forza totale agente su una particella è dipendente unicamente dal punto dello spazio (della retta in questo caso) in cui essa si trova, e non già dal tempo, lo stesso varrà per il modulo della velocità. Dunque le mie domande sono:

1)E' corretto il mio ragionamento?
2)Vale lo stesso risultato in più dimensioni?

Grazie infinite in anticipo!

[professorkappa]

Leggo da cellbe non vedo le formupe. Minriservo di leggerle dopo. Ma in generale, non e' vero. Se la velocita non variasse con il tempo, la risultante delle forze dovrebbe essere nulla. Se la risultante delle forze non e' nulla allora la velocita' varia col tempo.

[siddy98]

"professorkappa":Leggo da cellbe non vedo le formupe. Minriservo di leggerle dopo. Ma in generale, non e' vero. Se la velocita non variasse con il tempo, la risultante delle forze dovrebbe essere nulla. Se la risultante delle forze non e' nulla allora la velocita' varia col tempo.

Be', tralasciando il fatto che ho parlato di modulo della velocità, che può rimanere costante anche in presenza di forze, non intendevo certo che questo debba rimanere costante nel tempo, bensì che, così come la forza, nel medesimo punto esso sia sempre uguale anche in istanti diversi (detto in soldoni, se la particella passa più volte per lo stesso punto, il modulo della velocità è sempre uguale nel momento in cui passa per quel dato punto).

[mgrau]

Ti propongo un controesempio.
Immagina il punto O che si può muovere lungo il percorso rettangolare indicato.
C'è un campo di forza che nella metà destra è rivolto verso l'alto, nella metà sinistra verso il basso.
Ora lungo il circuito la forza dipende solo dalla posizione, però il punto circola in senso antiorario, e, ad ogni giro, acquista energia, quindi passa dagli stessi punti con velocità che ad ogni giro aumenta

Click sull'immagine per visualizzare l'originale

[siddy98]

"mgrau":Ti propongo un controesempio.
Immagina il punto O che si può muovere lungo il percorso rettangolare indicato.
C'è un campo di forza che nella metà destra è rivolto verso l'alto, nella metà sinistra verso il basso.
Ora lungo il circuito la forza dipende solo dalla posizione, però il punto circola in senso antiorario, e, ad ogni giro, acquista energia, quindi passa dagli stessi punti con velocità che ad ogni giro aumenta

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Ma allora qual è l'errore nei passaggi matematici che ho mostrato nella domanda?
Comunque credo (ma potrei sbagliarmi) non sia valido come controesempio, in quanto la forza totale non può essere quella data dal tuo campo di forze se il corpo si muove su una traiettoria quadrata. Ci dovrebbe essere (dico dovrebbe perché ripeto che potrei sbagliarmi) un'altra forza che faccia deviare la particella orizzontalmente quando si trova nei vertici del quadrato, altrimenti continuerebbe a muoversi di moto rettilineo uniformemente accelerato in direzione verticale.

[mgrau]

Certamente un corpo libero non fa quella traiettoria. Quella è invece una traiettoria obbligata (una rotaia per es.) immersa in un campo di forze. Ci sono delle reazioni vincolari che gli fanno girare gli angoli.
Dove sia, nel caso, l'errore nei calcoli non te lo so dire, anche se ho l'impressione (vaga) che il tuo discorso valga per un campo conservativo (e quello del mio esempio non lo è)

[donald_zeka]

Pare che tu abbia scoperto l'esistenza dei campi di forze conservativi
Comunque c'è del giusto e del sbagliato in quel che dici. E' possibile parlare di posizione per un punto materiale anche a priori, ma non è possibile parlare di velocità, la velocità di un punto è indeterminata perché è funzione del moto della particella stessa, per parlare di velocità devi risolvere l'equazione del moto $vecF=mveca$ che è un sistema di 3 equazioni differenziali, e in genere non è per niente facilmente risolvibile. Quello di cui parli, sono le velocità iniziali e finali di un certo moto di una particella di cui conosci la posizione finale e quella iniziale soggetta solo a un campo di forze conservative, grazie al teorema dell'energia cinetica e grazie alla conservatività del campo, puoi dire $1/2mv^2(a)-1/2mv^2(b)=phi(a)-phi(b)$. Se $a=b$, puoi quindi dire che il punto parte e ritorna con la stessa velocità in modulo, ma la variabile temporale non ce la puoi mettere in nessun modo, perché per parlare di tempo devi risolvere l'equazione del moto, mentre pui solo dire che, se un punto materiale parte da un punto dello spazio soggetto a forze conservative, e vi ritorna, allora la sua energia cinetica non può essere variata.

L'esempio di mgrau penso sia sbagliato perché qui si parla di moti generati solo dalla forza conservativa in esame, un moto quadrato come quello non può in alcun modo essere causato solo da quelle forze verticali, e chiaramente l'energia cinetica varia perché un corpo esterno ha fatto lavoro per traslarlo orizzontalmente. p.s. si in effetti quel campo non è conservativo perché presenta una discontinuità.

[donald_zeka]

Insomma, quello che tu stai cercando di dire è che se conosciamo il moto di una particella soggetta solo a un campo conservativo, se la particella passa tante volte per lo stesso punto in istanti diversi, allora in tale punto il modulo della velocità sarà sempre lo stesso tutte le volte, e questo è vero proprio per la conservatività del campo. Per esempio, nel moto dei pianeti attorno al sole, si conosce la loro traiettoria che è ellittica, quindi in ogni punto dell'ellisse la velocità del pianeta sarà sempre la stessa ogni volta che ci ripassa

[siddy98]

"Vulplasir":Pare che tu abbia scoperto l'esistenza dei campi di forze conservativi
Comunque c'è del giusto e del sbagliato in quel che dici. E' possibile parlare di posizione per un punto materiale anche a priori, ma non è possibile parlare di velocità, la velocità di un punto è indeterminata perché è funzione del moto della particella stessa, per parlare di velocità devi risolvere l'equazione del moto $vecF=mveca$ che è un sistema di 3 equazioni differenziali, e in genere non è per niente facilmente risolvibile. Quello di cui parli, sono le velocità iniziali e finali di un certo moto di una particella di cui conosci la posizione finale e quella iniziale soggetta solo a un campo di forze conservative, grazie al teorema dell'energia cinetica e grazie alla conservatività del campo, puoi dire $1/2mv^2(a)-1/2mv^2(b)=phi(a)-phi(b)$. Se $a=b$, puoi quindi dire che il punto parte e ritorna con la stessa velocità in modulo, ma la variabile temporale non ce la puoi mettere in nessun modo, perché per parlare di tempo devi risolvere l'equazione del moto, mentre pui solo dire che, se un punto materiale parte da un punto dello spazio soggetto a forze conservative, e vi ritorna, allora la sua energia cinetica non può essere variata.

L'esempio di mgrau penso sia sbagliato perché qui si parla di moti generati solo dalla forza conservativa in esame, un moto quadrato come quello non può in alcun modo essere causato solo da quelle forze verticali, e chiaramente l'energia cinetica varia perché un corpo esterno ha fatto lavoro per traslarlo orizzontalmente. p.s. si in effetti quel campo non è conservativo perché presenta una discontinuità.

Perdonami, ma dove, nella dimostrazione che ho fatto, sfrutto l'ipotesi che il campo di cui parlo sia conservativo? Credo da nessuna parte.
E onestamente non capisco molto bene il tuo discorso, mi basterebbe che mi facessi notare in quale dei miei passaggi c'è un errore...è tutta matematica d'altronde.

Facciamola più semplice: io so che il teorema dell'energia cinetica (che vale per tutti i campi) mi dice che $1/2mv^2(a)-1/2mv^2(b)=L_{ab}$, dove $L$ è il lavoro da $a$ a $b$. Perfetto, ma cosa sono $v^2(a)$ e $v^2(b)$? Penso mi risponderesti "sono i moduli (al quadrato) della velocità della particella quando si trova nel punto $a$ e nel punto $b$ rispettivamente". Giusto? Bene, se $P$ passa per $a$ e $b$ una sola volta allora non c'è ambiguità, esiste un solo possibile valore per $v(a)$ e un solo possibile valore per $v(b)$. Il problema sorge se $P$ passa per $a$ (o per $b$) più di una volta, perché in quel caso potrebbe darsi che almeno il modulo della velocità cambi ogni volta che $P$ passa per $a$! Tuttavia, sembra che sia possibile dimostrare che almeno il modulo, appunto, della velocità sia sempre lo stesso ogni volta che $P$ passa per $a$ (o $b$) qualora le forze del campo siano le uniche ad agire sul P. La domanda è, dunque, la dimostrazione che ho fatto è corretta o no? Qual è l'errore? E soprattutto, se c'è un errore, allora che significano $v^2(a)$ e $v^2(b)$?

[siddy98]

"Vulplasir":Insomma, quello che tu stai cercando di dire è che se conosciamo il moto di una particella soggetta solo a un campo conservativo, se la particella passa tante volte per lo stesso punto in istanti diversi, allora in tale punto il modulo della velocità sarà sempre lo stesso tutte le volte, e questo è vero proprio per la conservatività del campo. Per esempio, nel moto dei pianeti attorno al sole, si conosce la loro traiettoria che è ellittica, quindi in ogni punto dell'ellisse la velocità del pianeta sarà sempre la stessa ogni volta che ci ripassa

Precisamente, anche se mi riferivo soltanto al modulo delle velocità. Ma ancora non capisco perché ciò vale solo nei campi conservativi...dove ho sfruttato questa ipotesi nei passaggi che ho fatto?

[donald_zeka]

Se pensi che quello valga anche per campi non conservativi, l'esempio di mgrau basta e avanza per dire che non è vero. Nella tua dimostrazione hai implicitamente usato un campo conservativo, infatti un campo posizionale dipendente solo da una coordinata (x nel tuo caso) è sempre conservativo, infatti ammette sempre potenziale $phi(x)=intF(x)dx$. Nella tua dimostrazione non c'è errore perché è giusta, ma appunto il campo usato è conservativo. In due o tre dimensioni la cosa non è così semplice, infatti non basta più che il campo sia dipendente solo dalla posizione, ma sono necessarie altri requisiti per essere conservativo (in primis la "irrotazionalita").

[donald_zeka]

Insomma, se ancora non ti fosse chiaro dove sta l'inghippo, quando uguagli $int_(x(t_0))^(x(t_1)) F(x)dx$ a $int_(x(t_0))^(x(t_2))F(x)dx$, lo puoi fare solo perché sei nel caso unidimensionale e vale quella proprietà che ti ho detto (ossia i campi posizionali unidimensionali sono sempre conservativi...perché? Perché la conservatività nel caso unidimensionale non è altro che il teorema fondamentale del calcolo integrale). Se tu avessi preso un campo di forze nello spazio, allora l'integrale $int_(P(t_0))^(P(t_1))F(P)dP$ non sarebbe per niente uguale a $int_(P(t_0))^(P(t_2))F(P)dP$...lo sarebbe solo se il campo in questione fosse conservativo. Ma questi sono argomenti tipici di analisi 2, che mi pare tu non abbia ancora affrontato.

[siddy98]

"Vulplasir":Insomma, se ancora non ti fosse chiaro dove sta l'inghippo, quando uguagli $int_(x(t_0))^(x(t_1)) F(x)dx$ a $int_(x(t_0))^(x(t_2))F(x)dx$, lo puoi fare solo perché sei nel caso unidimensionale e vale quella proprietà che ti ho detto (ossia i campi posizionali unidimensionali sono sempre conservativi...perché? Perché la conservatività nel caso unidimensionale non è altro che il teorema fondamentale del calcolo integrale). Se tu avessi preso un campo di forze nello spazio, allora l'integrale $int_(P(t_0))^(P(t_1))F(P)dP$ non sarebbe per niente uguale a $int_(P(t_0))^(P(t_2))F(P)dP$...lo sarebbe solo se il campo in questione fosse conservativo. Ma questi sono argomenti tipici di analisi 2, che mi pare tu non abbia ancora affrontato.

Credo di aver capito, grazie mille della pazienza!

Però c'è ancora una cosa che non mi torna: se in un campo 3D non conservativo ho che $L_{AB}=m/2(||\vec v_B||^2-||\vec v_A||^2)$, supponendo ancora che il corpo passi per $A$ negli istanti $t_1$ e $t_2$ (con $t_1

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[donald_zeka]

No, lo decidi te cosa sono $v_A$ e $v_B$. Se il corpo passa piu volte da A e B, tuoi puoi applicare il teorema dell'energia cinetica tra due intervalli a piacere, il lavoro fatto dal campo, se non conservativo, sarà diverso, e le velocità saranno diverse.
Esempio: Supponiamo che in $t_1$ il corpo si trovi in $A$, poi vada in $B$ a $t_2$, poi vada di nuovo in $A$ a $t_3$ e poi ritorni in $B$ a $t_4$, se applichi il teorema tra A(t_1) e B(t_2) ottieni:

$L_(A(t_1)B(t_2))=1/2m(v_(A(t_1))^2 -v_(B(t_2))^2)$

Equivalentemente


$L_(A(t_3)B(t_4))=1/2m(v_(A(t_3))^2 -v_(B(t_4))^2)$

E anche

$L_(A(t_1)B(t_4))=1/2m(v_(A(t_1))^2 -v_(B(t_4))^2)$

Quei tre lavori elencati, se il campo è non conservativo, sono tutti e tre diversi tra loro, e le 4 velocità sono diverse tra loro. Se il campo fosse conservativo, il suo lavoro dipenderebbe solo da A e B, non da come ci arriva e da quante volte ci ripassa, quindi in quel caso quei tre lavori sarebbero uguali e risulterebbe v_A(t_1)=v_A(t_3) e v_B(t_2)=v_B(t_4)