Due problemi relatività

[sonda90]

Non riesco a risolvere due problemi sulla relatività:
1. Rispetto a un sistema di riferimento terrestre due pianeti si trovano a una distanza di 424000 Km l'uno dall'altro. Una navicella spaziale viaggia da un pianeta all'altro con velocità costante e gli orologi sulla navicella mostrano che il viaggio dura soltanto 1 secondo. Calcolare la velocità della navicella.

2. Un aeroplano viaggia a una velocità costante di 212 m/s. Gli orologi sull'aereo mostrano che si impiegano esattamente 2 ore per arrivare a una certa distanza. Calcolare di quanto in più o in meno durerà il viaggio secondo gli orologi a terra.

[wedge]

guarda sul libro le trasformazioni di lorentz, o al livello zero, le formule del tempo proprio e la lunghezza propria.

[sonda90]

si ma il primo problema proprio non so come fare, mentre il secondo essendo la velocità troppo piccola dell'aereo il tempo mi verrebbe lo stesso invece dovrebbe impiegarci 1.8 ns in più

[nirvana2]

"sonda90":Non riesco a risolvere due problemi sulla relatività:
1. Rispetto a un sistema di riferimento terrestre due pianeti si trovano a una distanza di 424000 Km l'uno dall'altro. Una navicella spaziale viaggia da un pianeta all'altro con velocità costante e gli orologi sulla navicella mostrano che il viaggio dura soltanto 1 secondo. Calcolare la velocità della navicella.

Dunque, se non hai già risolto lo posto io:

Hai due sistemi di riferimento, quello terrestre (il laboratorio) e quello della navicella: ovviamente la velocità della navicella nel sistema della navicella è zero. Hai la distanza tra i due pianeti nel sistema terrestre mentre hai il tempo nel sistema della navicella. Ora sai che la velocità è semplicemente spazio diviso tempo. Però ti accorgi che hai lo spazio rispetto ad un sistema di riferimento e il tempo in un altro, e questo non va bene.
Visto che vuoi la velocità espressa nel sistema del laboratorio e hai lo spazio nello stesso sistema, vogliamo trovare il tempo espresso in questo sistema (quindi passare dal riferimento della navicella a quello del laboratorio).

Le equazioni della trasformazione di Lorentz si semplificano se noti la seguente cosa: chiama evento 1 la partenza del razzo dal primo pianeta, e l'evento 2 l'arrivo sull'altro pianeta.
Nel sistema di riferimento della navicella i due eventi accadono nello stesso posto (per capirci: fuori dal finestrino della navicella. Puoi pensare che la navicella sia ferma e che i due pianeti si spostino). Dunque: $Deltax' = 0$ (il simbolo primato indica il sistema della navicella).

Allora l'equazione di Lorentz si semplifica in: $gamma=(Deltat) / (Deltat')$ dove $gamma = sqrt(1/(1-v^2/c^2))$

Dall'equazione di $gamma$ risolvi su $v$ che indica appunto la velocità della navicella nel sistema terrestre.

Però ti manca di sapere $Deltat$ il tempo nel sistema terrestre, e non puoi usare la formula di sopra visto che ti manca pure $gamma$ (non avendo $v$).

Adesso quindi usi un potente invariante in relatività speciale: l'invariante spazio-temporale (detto intervallo di Lorentz), che dice appunto che la distanza spazio-temporale tra due eventi è uguale indipendentemente dal sistema di riferimento che usi.
La formula recita (intervallo al quadrato): $c^2*(Deltat')^2 - (Deltax')^2 = c^2*(Deltat)^2 - (Deltax)^2$. Risolvi su $Deltat$ che è la grandeza che ti manca, visto che $Deltax'$ sai che è zero (vedi sopra) e che $Deltax$ e $Deltat'$ te lo dà il problema.

Adesso puoi usare la formula $gamma=(Deltat) / (Deltat')$ dove $gamma = sqrt(1/(1-v^2/c^2))$ e risolvere su $v$ e l'esercizio è finito.

Se hai domande fammi sapere.

Ciao.