Due masse attaccate a una molla, distacco e moto armonico
Salve a tutti, vorrei una conferma sul procedimento che ho adottato per risolvere questo problema:
TESTO: Una massa $M_1=4 kg$ è attaccata ad una molla di costante elastica $ k=200 N/m$, il cui altro estremo è legato ad un muro. Una seconda massa $M_2=5 kg$ è tenuta contro la prima massa in modo che entrambe comprimono la molla di $25 cm$. Quando le due masse vengono lasciate libere, la molla si allunga e la massa $ M_2$ ad un certo momento si staccherà dalla massa $M_1$, che invece segue la molla. Determinare:
a) qual è la velocità di $M_2$ al momento del distacco;
b) qual è la distanza tra $M_2$ ed $M_1$, nel momento in cui la molla con la massa $ M_1$ raggiunge la massima elongazione;
c) la distanza tra $M_2$ ed $M_1$ quando la molla è di nuovo completamente compressa.
Mio ragionamento: nella situazione 1, abbiamo solo energia potenziale di compressione della molla, il distacco si ha quando il corpo 1 attaccato alla molla raggiunge la massima velocità, nella posizione di equilibrio della molla. Da questo punto in poi, 1 inizia a frenare attirato dalla forza di richiamo della molla, mentre 2 continua di moto rettilineo uniforme con la velocità che gli è stata impressa da 1. Per risolvere il punto impongo la conservazione dell'energia meccanica
$1/2kx^2=1/2(M_1+M_2)v^2 rArr v=xsqrt(k/(M_1+M_2)) (a)$
Per il secondo e terzo punto, ho deciso di non impelagarmi con le equazioni del moto armonico, sfruttando la proprietà di quest'ultimo di essere la proiezione su uno dei due diametri di un moto circolare uniforme. L'ampiezza del moto armonico (compressione iniziale della molla), determina il raggio della circonferenza, pertanto, partendo dalla posizione di equilibrio $(\theta=0)$quando il punto si trova a $\theta =\pi/2$, la molla si trova alla massima elongazione, quando $\theta =3\pi/2$, massima compressione. Dalla dinamica sappiamo che $\omega=sqrt(K/M_1)= 5sqrt(2)$
$\theta(t)= \theta_0+\omegat rArr \pi/2=\omegat rArr t_1=\pi/(2\omega)=0.33s$
$t_2=3/(2\omega)\pi=1s$
a questo punto non resta che calcolare quanto a percorso $M_2$ in questi due intervalli di tempo, partendo dalla posizione di equilibrio dellla molla e fare la differenza con la posizione di $M_1$. Corretto? Grazie in anticipo.
TESTO: Una massa $M_1=4 kg$ è attaccata ad una molla di costante elastica $ k=200 N/m$, il cui altro estremo è legato ad un muro. Una seconda massa $M_2=5 kg$ è tenuta contro la prima massa in modo che entrambe comprimono la molla di $25 cm$. Quando le due masse vengono lasciate libere, la molla si allunga e la massa $ M_2$ ad un certo momento si staccherà dalla massa $M_1$, che invece segue la molla. Determinare:
a) qual è la velocità di $M_2$ al momento del distacco;
b) qual è la distanza tra $M_2$ ed $M_1$, nel momento in cui la molla con la massa $ M_1$ raggiunge la massima elongazione;
c) la distanza tra $M_2$ ed $M_1$ quando la molla è di nuovo completamente compressa.
Mio ragionamento: nella situazione 1, abbiamo solo energia potenziale di compressione della molla, il distacco si ha quando il corpo 1 attaccato alla molla raggiunge la massima velocità, nella posizione di equilibrio della molla. Da questo punto in poi, 1 inizia a frenare attirato dalla forza di richiamo della molla, mentre 2 continua di moto rettilineo uniforme con la velocità che gli è stata impressa da 1. Per risolvere il punto impongo la conservazione dell'energia meccanica
$1/2kx^2=1/2(M_1+M_2)v^2 rArr v=xsqrt(k/(M_1+M_2)) (a)$
Per il secondo e terzo punto, ho deciso di non impelagarmi con le equazioni del moto armonico, sfruttando la proprietà di quest'ultimo di essere la proiezione su uno dei due diametri di un moto circolare uniforme. L'ampiezza del moto armonico (compressione iniziale della molla), determina il raggio della circonferenza, pertanto, partendo dalla posizione di equilibrio $(\theta=0)$quando il punto si trova a $\theta =\pi/2$, la molla si trova alla massima elongazione, quando $\theta =3\pi/2$, massima compressione. Dalla dinamica sappiamo che $\omega=sqrt(K/M_1)= 5sqrt(2)$
$\theta(t)= \theta_0+\omegat rArr \pi/2=\omegat rArr t_1=\pi/(2\omega)=0.33s$
$t_2=3/(2\omega)\pi=1s$
a questo punto non resta che calcolare quanto a percorso $M_2$ in questi due intervalli di tempo, partendo dalla posizione di equilibrio dellla molla e fare la differenza con la posizione di $M_1$. Corretto? Grazie in anticipo.
Risposte
mi rispondo da solo: dopo il distacco l'elongazione della molla cambia, e va ricalcolata con la conservazione dell'energia meccanica. Inoltre non è necessario passare per le equazioni orarie, basta sfruttare il concetto di periodo per capire quanto tempo passa dall'equilibrio alla massima elongazione e poi alla nuova compressione
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