Due lastre conduttrici
Mi trovo davanti al seguente probelmino:
due lastre di sostanze diverse, a forma di parallelepipedo, con base S e uguali altezze h, sono poste tra due elettrodi
piani tenuti ad ddp costante V; le permittività e le conduttività delle due sostanze sono note. Si calcoli:
a) la resistenza R tra gli elettrodi;
b) le intensità del campo elettrico nelle due lastre;
c) la carica sopra la faccia comune alle due lastre.
a) La resistenza di una lastra di base S ed altezza h e conduttività $\rho$ è data da $R=h/((\rho)S)$
quindi
$R=R_1+R_2=(h/S)((\rho_1+\rho_2)/(\rho_1\rho_2))$ che è la risposta data dal testo
b) Il campo elettrico,nel vuoto, in una zona dove E è uniforme è
$ E = V/h$ ma qui non siamo nel vuoto e mi aspetterei che $E_1=\epsilon_1V/h$
ma così non è, la risposta dovrebbe essere
$E_1=\epsilon_2/(\epsilon_1+\epsilon_2)(V/h)$
$E_2=\epsilon_1/(\epsilon_1+\epsilon_2)(V/h)$
c) qui non so come calcolare la carica....
due lastre di sostanze diverse, a forma di parallelepipedo, con base S e uguali altezze h, sono poste tra due elettrodi
piani tenuti ad ddp costante V; le permittività e le conduttività delle due sostanze sono note. Si calcoli:
a) la resistenza R tra gli elettrodi;
b) le intensità del campo elettrico nelle due lastre;
c) la carica sopra la faccia comune alle due lastre.
a) La resistenza di una lastra di base S ed altezza h e conduttività $\rho$ è data da $R=h/((\rho)S)$
quindi
$R=R_1+R_2=(h/S)((\rho_1+\rho_2)/(\rho_1\rho_2))$ che è la risposta data dal testo
b) Il campo elettrico,nel vuoto, in una zona dove E è uniforme è
$ E = V/h$ ma qui non siamo nel vuoto e mi aspetterei che $E_1=\epsilon_1V/h$
ma così non è, la risposta dovrebbe essere
$E_1=\epsilon_2/(\epsilon_1+\epsilon_2)(V/h)$
$E_2=\epsilon_1/(\epsilon_1+\epsilon_2)(V/h)$
c) qui non so come calcolare la carica....
Risposte
$J_1=J_2$ e $\epsilon_1E_1=\epsilon_2E_2$ e poi?
Premesso che tutte le grandezze vettoriali sono dirette perpendicolarmente alle lastre, dovresti risolvere il seguente sistema:
$\{(hE_1+hE_2=V),(\epsilon_1E_1=\epsilon_2E_2):}$
imponendo, nella prima equazione, che la circuitazione di $vecE$ sia $V$ e, nella seconda, la condizione di continuità del vettore spostamento elettrico $vecD$.
P.S.
Non considerare il messaggio precedente, avevo sbagliato. Più precisamente, nonostante valga anche la condizione $J_1=J_2$, dovrebbe esistere una relazione tra la conducibilità e la permittività che la rende soddisfatta.
$\{(hE_1+hE_2=V),(\epsilon_1E_1=\epsilon_2E_2):}$
imponendo, nella prima equazione, che la circuitazione di $vecE$ sia $V$ e, nella seconda, la condizione di continuità del vettore spostamento elettrico $vecD$.
P.S.
Non considerare il messaggio precedente, avevo sbagliato. Più precisamente, nonostante valga anche la condizione $J_1=J_2$, dovrebbe esistere una relazione tra la conducibilità e la permittività che la rende soddisfatta.
Si è questa la strada..la tensione fra i due elettrodi è la somma di due contributi...
risolvendo si arriva alla soluzione del testo su scritta.
Grazie tanto.
Mentre per il calcolo della carica presente sulla superficie comune delle due lastre come si dovrebbe ragionare?
risolvendo si arriva alla soluzione del testo su scritta.
Grazie tanto.
Mentre per il calcolo della carica presente sulla superficie comune delle due lastre come si dovrebbe ragionare?
Ho trovato una risorsa in cui si tratta questo caso:
Ho l'impressione che queste competenze non ti fossero richieste. Se così è, dovresti continuare come se i dielettrici non avessero perdite.
Ho l'impressione che queste competenze non ti fossero richieste. Se così è, dovresti continuare come se i dielettrici non avessero perdite.
quindi mi pare di capire che trattasi di due lastre di dielettri e non conduttrici..
devo approfondire i vari passaggi....
intanto perchè non scrivere $Q=CV$ e ricavarsi la carica sugli elettrodi
infatti è noto che la capacità di un condensatore piano con due diettrici interposti è
$C=(2\epsilon_0S/d)(\epsilon_1\epsilon_2)/(\epsilon_1+\epsilon_2)$
quindi essendo d =2h
$Q=(\epsilon_0S/h)(\epsilon_1\epsilon_2)/(\epsilon_1+\epsilon_2)V$
ma poi come calcolare la carica sulla superficie di separazione delle due lastre?
Il testo dice $Q=(\epsilon_0S/h)(\epsilon_1-\epsilon_2)/(\epsilon_1+\epsilon_2)V$
devo approfondire i vari passaggi....
intanto perchè non scrivere $Q=CV$ e ricavarsi la carica sugli elettrodi
infatti è noto che la capacità di un condensatore piano con due diettrici interposti è
$C=(2\epsilon_0S/d)(\epsilon_1\epsilon_2)/(\epsilon_1+\epsilon_2)$
quindi essendo d =2h
$Q=(\epsilon_0S/h)(\epsilon_1\epsilon_2)/(\epsilon_1+\epsilon_2)V$
ma poi come calcolare la carica sulla superficie di separazione delle due lastre?
Il testo dice $Q=(\epsilon_0S/h)(\epsilon_1-\epsilon_2)/(\epsilon_1+\epsilon_2)V$
Vista la conducibilità non nulla delle lastre non puoi considerare le due capacità in serie, prova invece a scrivere i due campi elettrici in funzione della densità di corrente, che a regime sarà uguale nelle due lastre, per poi imporre che l'integrale di linea del campo sia pari alla tensione imposta V fra i due elettrodi.
In questo modo potrai ottenere la densità di corrente e i due campi elettrici nelle due regioni e, sfruttando la discontinuità dello spostamento elettrico, la carica cercata, ... che non vedo come possa essere quella da te indicata come soluzione del testo[nota]Possiamo sapere quale?[/nota], in quanto non basta di certo l'uguagliarsi delle due permittività per annullare la carica sulla superficie di separazione.
Alternativamente puoi considerare il circuito equivalente ohmico capacitivo, andando a ricavarti le due tensioni a regime via partitore resistivo e di conseguenza i due diversi campi e le due diverse cariche relative ai due condensatori.
In questo modo potrai ottenere la densità di corrente e i due campi elettrici nelle due regioni e, sfruttando la discontinuità dello spostamento elettrico, la carica cercata, ... che non vedo come possa essere quella da te indicata come soluzione del testo[nota]Possiamo sapere quale?[/nota], in quanto non basta di certo l'uguagliarsi delle due permittività per annullare la carica sulla superficie di separazione.
Alternativamente puoi considerare il circuito equivalente ohmico capacitivo, andando a ricavarti le due tensioni a regime via partitore resistivo e di conseguenza i due diversi campi e le due diverse cariche relative ai due condensatori.
ok..ci sono
basta considerare la (2.76) del post precedente, in quanto già ci siamo calcolati al punto b) il valore dei campi!
Dunque
$Q=\epsilon_0S(E_2-E_1)$ e sosituendo i valori dei campi si arriva alla soluzione del testo
$Q=(\epsilon_0S/h)(\epsilon_1-\epsilon_2)/(\epsilon_1+\epsilon_2)V$
dove Q è la carica totale presente sulla superficie di separazione.
Grazie.
basta considerare la (2.76) del post precedente, in quanto già ci siamo calcolati al punto b) il valore dei campi!
Dunque
$Q=\epsilon_0S(E_2-E_1)$ e sosituendo i valori dei campi si arriva alla soluzione del testo
$Q=(\epsilon_0S/h)(\epsilon_1-\epsilon_2)/(\epsilon_1+\epsilon_2)V$
dove Q è la carica totale presente sulla superficie di separazione.
Grazie.
"zorrok":
... Dunque
$Q=\epsilon_0S(E_2-E_1)$
Direi di no, dove sono sparite le costanti dielettriche relative?
"zorrok":
...e sosituendo i valori dei campi si arriva alla soluzione del testo
$Q=(\epsilon_0S/h)(\epsilon_1-\epsilon_2)/(\epsilon_1+\epsilon_2)V$
Come ti dicevo, non capisco come, la carica sarà funzione anche delle conducibilità, non solo delle permittività dei due mezzi.
BTW Provo a richiederlo: da quale testo arriva questo problema?
Ad ogni modo, tanto per farla breve, come già detto (senza farmi capire), risolverei nel seguente modo
trattasi del Prob. 5.29 del Rosati.
dalla tua risposta si evince che
$E_1=(V/h)(\rho_2/(\rho_1+\rho_2))$
mentre nel punto b) su esposto avevo trovato
$E_1=\epsilon_2/(\epsilon_1+\epsilon_2)(V/h)$
$E_2=\epsilon_1/(\epsilon_1+\epsilon_2)(V/h)$
allora sarebbe errato il calcolo di $E_1 ed E_2$?
mi è tornato il buio...
dalla tua risposta si evince che
$E_1=(V/h)(\rho_2/(\rho_1+\rho_2))$
mentre nel punto b) su esposto avevo trovato
$E_1=\epsilon_2/(\epsilon_1+\epsilon_2)(V/h)$
$E_2=\epsilon_1/(\epsilon_1+\epsilon_2)(V/h)$
allora sarebbe errato il calcolo di $E_1 ed E_2$?
mi è tornato il buio...
"zorrok":
... allora sarebbe errato il calcolo di $E_1 ed E_2$?
Certo che è errato (come lo hai calcolato tu).
Renzo ti ha dato una soluzione di rara eleganza, seguila passo per passo e comprendine ogni passaggio.
Per renderti conto che il tuo calcolo dei campi elettrici è errato, puoi seguire un ragionamento pratico: se la conduttività dei dielettrici non è nulla, il potenziale all'interfaccia tra i dielettrici dipende solo dal partitore resistivo stabilito dalle due resistenze in serie; del resto, il campo elettrico dipende solo dalla differenza di potenziale e dalla distanza, e quindi la permittività non deve trovare posto nel calcolo...
"zorrok":
trattasi del Prob. 5.29 del Rosati.
dalla tua risposta si evince che
$E_1=(V/h)(\rho_2/(\rho_1+\rho_2))$
Sì, se indichi (impropriamente) la conducibilità con $\rho$, dalla mia risposta
$E_1=J/\sigma_1=(V/h)(\sigma_2/(\sigma_1+\sigma_2))$
in quanto normalmente si usa $\sigma$ (o $\gamma$).
"zorrok":
... mentre nel punto b) su esposto avevo trovato
$E_1=\epsilon_2/(\epsilon_1+\epsilon_2)(V/h)$
$E_2=\epsilon_1/(\epsilon_1+\epsilon_2)(V/h)$
allora sarebbe errato il calcolo di $E_1 ed E_2$?
A questo punto sarei davvero curioso di vedere un'immagine del testo originale
, quelli da te indicati sono i campi nelle due lastre per $t=0^ +$, ovvero supponendo di aver "acceso" il generatore di tensione per $t=0$; io invece, come era logico pensare fosse sottinteso dal testo (vista la mancanza di una diversa precisazione), ritenevo che le domande b) e c) si riferissero alla condizione di regime, a transitorio esaurito.Supponendo esista questa "accensione" del generatore per $t=0$, per $t=0^ +$ i condensatori vengono ad essere carichi grazie ad un impulso di corrente che porta entrambi ad assumere la stessa carica $Q$ e tensioni $V_1$ e $V_2$ ricavabili via partitore capacitivo dalla tensione $V_0$ del generatore, ma di conseguenza non capisco la risposta ufficiale del testo al quesito c).
Riassumendo:
i) le mie determinazioni dei campi sono relative al raggiungimento della condizione di regime, nel qual caso la partizione della $V_0$ è determinata dai parametri resistivi, mentre il testo li va a calcolare a $t=0^+$, nel qual caso devono essere usati i parametri capacitivi.
ii) la carica $Q$ sulla superficie di separazione io vado a calcolarla sempre a regime mentre non capisco in quale istante vada a determinarla Rosati, visto che a $t=0^+$ risulterebbe nulla.
Attendo una foto del testo
... Grazie 
In attesa dell'immagine, visto che stamattina ho un po' di tempo da perdere, cerco di chiarire il mio punto di vista su quel problema che, come al solito, è mal posto, in quanto lo stesore, avaro di informazioni, lascia "indovinare" al lettore quali siano le condizioni al contorno.
Visto il disegno, nel quale non si vedono interruttori e il testo postato, dove non esistono riferimenti al tempo, direi sia più che normale pensare ad uno stato di "regime" del circuito, ovvero condensatori carichi e corrente $i$ costante, e di conseguenza pervenire alla soluzione che ho già proposto.
Vedendo però che le soluzioni ufficiali al punto (b) sono quelle relative ad un inizio transitorio, possiamo anche cercare di ricavare i due campi elettrici, le densità di corrente e la carica sulla superficie di separazione in funzione del tempo, e per far questo possiamo seguire due strade: quella che possiamo chiamare "locale", andando ad analizzare le relazioni fra i campi interni alle lastre e attraverso la loro discontinuità e quella che possiamo chiamare "globale", che va invece a considerare il circuito equivalente con i due paralleli ohmico capacitivi.
Per la prima analisi, non potremo più ritenere costante la densità di corrente nei due mezzi e quindi (indicando con $\gamma$ la conduttività, per riservare $\sigma$ alla densità di carica superficiale), l'integrale di linea del campo elettrico porterà a scrivere
$J_1/\gamma_1+J_2/\gamma_2=V/h$
rimarrà comunque valida la relazione fra spostamento elettrico e densità di carica, indicando con $\epsilon_i$ le permittività assolute,
$D_2-D_1=\sigma=\epsilon_2J_2/\gamma_2-\epsilon_1J_1/\gamma_1$
alle quali dovremo però ora aggiungere la conservazione della carica, ovvero
$J_1-J_2= \frac{\text{d}\sigma }{\text{d} t}$
Un sistema di tre equazioni, che ridotto alla soluzione di una equazione differenziale del primo ordine in $\sigma(t)$, permetterà di ricavare anche le densità di corrente $J_i(t)$ e i campi elettrici $E_i(t)$.
Con il secondo metodo invece, potremo andare a scrivere un sistema sfruttando i principi di Kirchhoff e le equazioni costitutive del bipolo condensatore e resistore che, indicando con $v_1$ e $v_2$ le tensioni sui due paralleli R-C, porteranno a scrivere la KCL al nodo comune centrale come
$C_1\frac{\text{d} v_1 }{\text{d} t}-C_2\frac{\text{d} v_2 }{\text{d} t} +v_1/R_1-v_2/R_2=0$
e la KVL alla maglia con il generatore come
$v_1+v_2=V$
Anche in questo caso, riducendo ad una equazione differenziale in una delle due tensioni, avremo la soluzione generale del problema e con questo secondo metodo sarà anche più immediato andare a ricavarsi la costante di tempo relativa alla salita esponenziale della carica che, a partire come si diceva da un valore nullo per t=0, va a salire al valore indicato per t tendente a infinito
$ q(\infty) = \frac {VS}{h}\frac{(\epsilon_{2} \gamma_1-\epsilon_{1} \gamma_2)}{ \gamma_1+ \gamma_2}$
La rete infatti essendo degenere presenterà una sola costante di tempo, determinabile "spegnendo" il generatore di tensione, via prodotto capacità equivalente $C_{eq}=C_1+C_2$ resistenza equivalente $R_{eq}=R_1\text{||}R_2$
$\tau=C_{eq}R_{eq}=\frac{\epsilon_1+\epsilon_2}{\gamma_1+\gamma_2}$
utilizzabile sia per la carica
$q(t)=q(\infty)(1-e^{-t/\tau})$
sia per le tensioni,
$v_i(t)=v_i(\infty)+[v_i(0)-v_i(\infty)]e^{-t/\tau)$
e di conseguenza per i campi.
Visto il disegno, nel quale non si vedono interruttori e il testo postato, dove non esistono riferimenti al tempo, direi sia più che normale pensare ad uno stato di "regime" del circuito, ovvero condensatori carichi e corrente $i$ costante, e di conseguenza pervenire alla soluzione che ho già proposto.
Vedendo però che le soluzioni ufficiali al punto (b) sono quelle relative ad un inizio transitorio, possiamo anche cercare di ricavare i due campi elettrici, le densità di corrente e la carica sulla superficie di separazione in funzione del tempo, e per far questo possiamo seguire due strade: quella che possiamo chiamare "locale", andando ad analizzare le relazioni fra i campi interni alle lastre e attraverso la loro discontinuità e quella che possiamo chiamare "globale", che va invece a considerare il circuito equivalente con i due paralleli ohmico capacitivi.
Per la prima analisi, non potremo più ritenere costante la densità di corrente nei due mezzi e quindi (indicando con $\gamma$ la conduttività, per riservare $\sigma$ alla densità di carica superficiale), l'integrale di linea del campo elettrico porterà a scrivere
$J_1/\gamma_1+J_2/\gamma_2=V/h$
rimarrà comunque valida la relazione fra spostamento elettrico e densità di carica, indicando con $\epsilon_i$ le permittività assolute,
$D_2-D_1=\sigma=\epsilon_2J_2/\gamma_2-\epsilon_1J_1/\gamma_1$
alle quali dovremo però ora aggiungere la conservazione della carica, ovvero
$J_1-J_2= \frac{\text{d}\sigma }{\text{d} t}$
Un sistema di tre equazioni, che ridotto alla soluzione di una equazione differenziale del primo ordine in $\sigma(t)$, permetterà di ricavare anche le densità di corrente $J_i(t)$ e i campi elettrici $E_i(t)$.
Con il secondo metodo invece, potremo andare a scrivere un sistema sfruttando i principi di Kirchhoff e le equazioni costitutive del bipolo condensatore e resistore che, indicando con $v_1$ e $v_2$ le tensioni sui due paralleli R-C, porteranno a scrivere la KCL al nodo comune centrale come
$C_1\frac{\text{d} v_1 }{\text{d} t}-C_2\frac{\text{d} v_2 }{\text{d} t} +v_1/R_1-v_2/R_2=0$
e la KVL alla maglia con il generatore come
$v_1+v_2=V$
Anche in questo caso, riducendo ad una equazione differenziale in una delle due tensioni, avremo la soluzione generale del problema e con questo secondo metodo sarà anche più immediato andare a ricavarsi la costante di tempo relativa alla salita esponenziale della carica che, a partire come si diceva da un valore nullo per t=0, va a salire al valore indicato per t tendente a infinito
$ q(\infty) = \frac {VS}{h}\frac{(\epsilon_{2} \gamma_1-\epsilon_{1} \gamma_2)}{ \gamma_1+ \gamma_2}$
La rete infatti essendo degenere presenterà una sola costante di tempo, determinabile "spegnendo" il generatore di tensione, via prodotto capacità equivalente $C_{eq}=C_1+C_2$ resistenza equivalente $R_{eq}=R_1\text{||}R_2$
$\tau=C_{eq}R_{eq}=\frac{\epsilon_1+\epsilon_2}{\gamma_1+\gamma_2}$
utilizzabile sia per la carica
$q(t)=q(\infty)(1-e^{-t/\tau})$
sia per le tensioni,
$v_i(t)=v_i(\infty)+[v_i(0)-v_i(\infty)]e^{-t/\tau)$
e di conseguenza per i campi.
ecco il testo con le soluzioni proposte
Ho trovato nel Silvestrini un problema svolto praticamente coincidente con quello del Rosati se si assume che le lastre siano dielettrici perfetti, e la soluzione coincide con quela del Rosati.eccolo:
Qiondi secondo me è pasticciato il testo del problema del Rosati, perchè da le soluzioni del caso di due lastre dielettriche e non conduttrici..o mi sbaglio?
Ho trovato nel Silvestrini un problema svolto praticamente coincidente con quello del Rosati se si assume che le lastre siano dielettrici perfetti, e la soluzione coincide con quela del Rosati.eccolo:
Qiondi secondo me è pasticciato il testo del problema del Rosati, perchè da le soluzioni del caso di due lastre dielettriche e non conduttrici..o mi sbaglio?
Grazie, sì avevi riportato proprio tutto, incredibile ma vero , ... non mi resta che fare i miei "complimenti" all'autore del problema.[nota]Anche per quel modo "originale" di quotare la superficie.[/nota] 
, ... non mi resta che fare i miei "complimenti" all'autore del problema.[nota]Anche per quel modo "originale" di quotare la superficie.[/nota]
Io per la carica Q del punto c) ho inteso e considerato quella libera, non quella di polarizzazione, che chiaramente per il problema del Mencuccini non cambia nel tempo, mentre per il Rosati sì, ecco svelato il mistero. 
Quindi ricapitolando la carica effettivamente presente sulla superficie è la somma delle cariche libere e di polarizzazione?
$Q=(\epsilon_0S/h)(\epsilon_1-\epsilon_2)/(\epsilon_1+\epsilon_2)V+(ε_0S/h)(ε_2σ_1−ε_1σ_2)/(σ_1+σ_2)V$
$Q=(\epsilon_0S/h)(\epsilon_1-\epsilon_2)/(\epsilon_1+\epsilon_2)V+(ε_0S/h)(ε_2σ_1−ε_1σ_2)/(σ_1+σ_2)V$
"zorrok":
... secondo me è pasticciato il testo del problema del Rosati, perchè da le soluzioni del caso di due lastre dielettriche e non conduttrici..o mi sbaglio?
Non ti sbagli e, mentre il Mencuccini specifica nella domanda che si riferisce alla densità di carica di polarizzazione, il Rosati non solo non lo fa, ma non va nemmeno a precisare in quale condizione vuole conoscere campo e carica; precisazione nel suo caso indispensabile vista la conducibilità non nulla e quindi la differenza fra le grandezze a inizio e a fine transitorio, al quale nemmeno accenna, facendo così pensare a un sottinteso riferimento alla condizione di regime.
"zorrok":
Quindi ricapitolando la carica effettivamente presente sulla superficie è la somma delle cariche libere e di polarizzazione?
Se parliamo di carica senza specificare nulla normalmente si fa riferimento alla carica libera e a mio modesto parere non è corretto andare a unirle in un'unica densità di carica globale netta, ad ogni modo volendo puoi anche farlo, ma la somma deve essere relativa allo stesso istante, non a istanti diversi.
Bene..penso di avermi chiarito le idee..con un po di fatica..e grazie soprtattutto al tuo aiuto.
Merci
Merci
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo