Due lamine piane che ruotano, velocità sistema

[Studente Anonimo]

Ciao!

Eccomi di nuovo qui, vi presento un esercizio:





ESERCIZIO
Abbiamo due lamine piane saldate tra loro ed incernierate all'asse $z$.
Entrambe le lamine hanno lato lungo uguale a $2L$ e lato corto uguale ad $L$. Essendo saldate fra loro formano un quadrato.
Non possono scorrere lungo l'asse $z$, ma solo ruotare attorno ad esso.

Il sistema di riferimento è mobile (gli assi $x$ ed $y$ ruotano, l'asse $z$ rimane fermo e perpendicolare ad essi).

Il centro di massa del sistema (composto dalle due lamine piane) ruoterà attorno all'asse $z$ nel piano $xy$. Nell'SDR mobile il centro di massa ha coordinate:

$ { ( x_G=0 ),( y_G=L ),( z_G= (m-M)/(m+M)L/2 ):} $

PROBLEMA
Viene chiesto di scrivere la velocità del centro di massa del sistema vista da un SDR fisso con stessa origine $O$ e stesso asse $z$ di quello mobile.
La velocità deve essere espressa in funzione di $phi$, ovvero l'angolo che descrivono le lamine ruotando attorno all'asse $z$.

Nelle soluzioni leggo scritto

$v_G= -y_Gdot(phi) hat(i)' = -Ldot(phi)hat(i)'$

Qualcuno sarebbe in grado di spiegarmi questa espressione e da dove salta fuori? Non la capisco affatto!

[Dracmaleontes]

Ciao, immagino che tu sappia che, dati un punto O ed uno P su un corpo rigido:
$ \vec{v_O} = \vec{v_P} + \vec{\dot\phi} \times \vec{r} $

Se scegliamo come P il centro di massa e come O un punto sull'asse di rotazione che sia alla stessa quota del centro di massa rispetto all'asse z:

$ 0 = \vec{v_{CM}} + \vec{\dot\phi} \times \vec{r_{CM}}$

Da cui si ottiene:
$\vec{v_{CM}} = - \dot\phi y_G \hat{i} $

[Studente Anonimo]

"Dracmaleontes":Ciao, immagino che tu sappia che, dati un punto O ed uno P su un corpo rigido:
$ \vec{v_O} = \vec{v_P} + \vec{\dot\phi} \times \vec{r} $

Caspita, bastava applicare la formula fondamentale per la cinematica dei corpi rigidi.