Due esercizi fisica A

[joani92]

Sto trovando dei problemi con alcuni esercizi di fisica A in preparazione ad un esame: in entrambi ci sono due punti che non riesco a capire (o meglio, non mi viene il risultato nel primo). Il punto del primo esercizio può essere sintetizzato così:

Una particella di massa m entra in collisione (con urto totalmente elastico) con una particella di massa M, la particella di massa m inizialmente viaggia con velocità $V_0$ mentre la particella di massa M è ferma. Dire quello che succede nei tre casi $mM$.

Avrei risolto cosi visto che si conservano la quantità di moto e l'energia cinetica:

${(1/2mV_0^2=1/2mV_m^2+1/2MV_M^2),(mV_0=mV_m+MV_M):}$

Risolvendo al prof viene inizialmente $V_m=(m-M)/(2m)V_M$ e successivamente andando avanti con il calcolo:

${(V_M=(2m)/(m+M)V_0),(V_m=(m-M)/(m+M)V_0):}$

Poi le successive considerazioni le ho capite (quelle delle masse maggiori minori o uguali), penso che il mio problema sia più matematico diciamo, l'ho provato a risolvere mille volte ma non riesco mai a raggiungere lo stesso risultato perchè mi viene una super equazione kilometrica.

Secondo esercizio: Una sfera di raggio R e massa m = 2 kg sale lungo un piano inclinato di un angolo α = 30° rotolando senza strisciare. La velocità del suo centro di massa alla base del piano vale $v_G=4,9 m/s$. Calcolare:

a)L'altezza massima raggiunta dalla sfera prima di fermarsi
b)Il tempo che ci mette la sfera a ritornare sul piano dopo essersi fermata all'altezza massima
c)La forza sul piano inclinato che determina il moto di rotolamento puro

Il punto a) l'ho risolto con la conservazione dell'energia e mi viene (il risultato è corretto) $h=1,715m$ ma non ho idea di come risolvere i punti b e c, se mi riuscite a dare una mano vi ringrazio

[chiaraotta1]

Da
${(1/2mV_0^2=1/2mV_m^2+1/2MV_M^2),(mV_0=mV_m+MV_M):}$
puoi passare a
${(m(V_0^2-V_m^2)=MV_M^2),(m(V_0-V_m)=MV_M):}$
e a
${(m(V_0-V_m)(V_0+V_m)=MV_M^2),(m(V_0-V_m)=MV_M):}$.
Sostituendo nella prima a $m(V_0-V_m)$ il valore $MV_M$ preso dalla seconda, ottieni
$MV_M(V_0+V_m)=MV_M^2$
e
$V_M=V_0+V_m$.
Sostituendo questo valore di $V_M$ in $mV_0=mV_m+MV_M$ ottieni l'equazione $mV_0=mV_m+M(V_0+V_m)$ nella sola incognita $V_m$.
Risolvendola trovi
$V_m=(m-M)/(m+M)V_0$.

[joani92]

Grazie mille

[Skylarry]

"Dewhurst":
Secondo esercizio: Una sfera di raggio R e massa m = 2 kg sale lungo un piano inclinato di un angolo α = 30° rotolando senza strisciare. La velocità del suo centro di massa alla base del piano vale $v_G=4,9 m/s$. Calcolare:

a)L'altezza massima raggiunta dalla sfera prima di fermarsi
b)Il tempo che ci mette la sfera a ritornare sul piano dopo essersi fermata all'altezza massima
c)La forza sul piano inclinato che determina il moto di rotolamento puro

Il punto a) l'ho risolto con la conservazione dell'energia e mi viene (il risultato è corretto) $h=1,715m$ ma non ho idea di come risolvere i punti b e c, se mi riuscite a dare una mano vi ringrazio

Se non erro devi usare le equazioni cardinali.

Quali sono le forze che agiscono sul cilindro?
la forza peso $mg$ e l'attito statico $\tau$

il punto c) consiste nel valutare $\tau$
per il punto b) puoi usare credo il teorema di koenig, oppure impostare i momenti e le forze per trovare la legge oraria.

[BlairHoppes]

"Dewhurst":Sto trovando dei problemi con alcuni esercizi di fisica A in preparazione ad un esame: in entrambi ci sono due punti che non riesco a capire (o meglio, non mi viene il risultato nel primo). Il punto del primo esercizio può essere sintetizzato così:

Una particella di massa m entra in collisione (con urto totalmente elastico) con una particella di massa M, la particella di massa m inizialmente viaggia con velocità $V_0$ mentre la particella di massa M è ferma. Dire quello che succede nei tre casi $mM$.

Avrei risolto cosi visto che si conservano la quantità di moto oviera energia cinetica:

${(1/2mV_0^2=1/2mV_m^2+1/2MV_M^2),(mV_0=mV_m+MV_M):}$

Risolvendo al prof viene inizialmente $V_m=(m-M)/(2m)V_M$ e successivamente andando avanti con il calcolo:

${(V_M=(2m)/(m+M)V_0),(V_m=(m-M)/(m+M)V_0):}$

Poi le successive considerazioni le ho capite (quelle delle masse maggiori minori o uguali), penso che il mio problema sia più matematico diciamo, l'ho provato a risolvere mille volte ma non riesco mai a raggiungere lo stesso risultato perchè mi viene una super equazione kilometrica.

Secondo esercizio: Una sfera di raggio R e massa m = 2 kg sale lungo un piano inclinato di un angolo α = 30° rotolando senza strisciare. La velocità del suo centro di massa alla base del piano vale $v_G=4,9 m/s$. Calcolare:

a)L'altezza massima raggiunta dalla sfera prima di fermarsi
b)Il tempo che ci mette la sfera a ritornare sul piano dopo essersi fermata all'altezza massima
c)La forza sul piano inclinato che determina il moto di rotolamento puro

Il punto a) l'ho risolto con la conservazione dell'energia e mi viene (il risultato è corretto) $h=1,715m$ ma non ho idea di come risolvere i punti b e c, se mi riuscite a dare una mano vi ringrazio

Grazie per la condivisione su formula esatta .. E 'difficile calcolare l'energia e molto difficile per me capire il concetto di fisica ..

[Skylarry]

"Skylarry":[quote="Dewhurst"]
Secondo esercizio: Una sfera di raggio R e massa m = 2 kg sale lungo un piano inclinato di un angolo α = 30° rotolando senza strisciare. La velocità del suo centro di massa alla base del piano vale $v_G=4,9 m/s$. Calcolare:

a)L'altezza massima raggiunta dalla sfera prima di fermarsi
b)Il tempo che ci mette la sfera a ritornare sul piano dopo essersi fermata all'altezza massima
c)La forza sul piano inclinato che determina il moto di rotolamento puro

Il punto a) l'ho risolto con la conservazione dell'energia e mi viene (il risultato è corretto) $h=1,715m$ ma non ho idea di come risolvere i punti b e c, se mi riuscite a dare una mano vi ringrazio

Se non erro devi usare le equazioni cardinali.

Quali sono le forze che agiscono sul cilindro?
la forza peso $mg$ e l'attito statico $\tau$

il punto c) consiste nel valutare $\tau$
per il punto b) puoi usare credo il teorema di koenig, oppure impostare i momenti e le forze per trovare la legge oraria.[/quote]

Calcolando i momenti rispetto al punto di contatto (in modo da eliminare il momento della forza di attrito) si ha:
$ mgR sin(\theta)= I_a \alpha $
con $ \alpha=a/R$ e $I_a$ il momento del cilindro rispetto al punto di contatto (teorema di Steiner) $=3/2 mR^2 $
da cui $ mgR sin(\theta)= 3/2 mR^2 a/R $
$rArr$
$ g sin(\theta)= 3/2 a $
$rArr$
$ a=2/3 g sin(\theta) $

detta h l'altezza da percorrere,sapendo che $h=1/2 a t^2$
ottieni $t = root(2)((h sin(\theta) ) / (3 g sin(\theta))) =root(2)((h ) / (3 g ))$

a questo punto puoi dedurre anche il punto c)

$\tau=mgr sin(\theta) - ma= mgr sin(\theta)-m2/3 g sin(\theta)=1/3 mgr sin(\theta) $

[joani92]

Grazie mille per le risposte, anche se penso che nell'ultima risoluzione ci sia un piccolo errore che avevo fatto anche io all'inizio: in realtà credo che h in questo caso non equivalga esattamente ad h del primo punto (riferito al primo punto) ma penso che sia $h/sintheta$, essendo questa la giusta direzione di h durante il moto, comunque quando finisco lezione all'università e sono a casa posso guardarci meglio. Grazie dell'aiuto

[joani92]

"Skylarry":[quote="Skylarry"][quote="Dewhurst"]
Secondo esercizio: Una sfera di raggio R e massa m = 2 kg sale lungo un piano inclinato di un angolo α = 30° rotolando senza strisciare. La velocità del suo centro di massa alla base del piano vale $ v_G=4,9 m/s $. Calcolare:

a)L'altezza massima raggiunta dalla sfera prima di fermarsi
b)Il tempo che ci mette la sfera a ritornare sul piano dopo essersi fermata all'altezza massima
c)La forza sul piano inclinato che determina il moto di rotolamento puro

Il punto a) l'ho risolto con la conservazione dell'energia e mi viene (il risultato è corretto) $ h=1,715m $ ma non ho idea di come risolvere i punti b e c, se mi riuscite a dare una mano vi ringrazio

Se non erro devi usare le equazioni cardinali.

Quali sono le forze che agiscono sul cilindro?
la forza peso $ mg $ e l'attito statico $ \tau $

il punto c) consiste nel valutare $ \tau $
per il punto b) puoi usare credo il teorema di koenig, oppure impostare i momenti e le forze per trovare la legge oraria.[/quote]

Calcolando i momenti rispetto al punto di contatto (in modo da eliminare il momento della forza di attrito) si ha:
$ mgR sin(\theta)= I_a \alpha $
con $ \alpha=a/R $ e $ I_a $ il momento del cilindro rispetto al punto di contatto (teorema di Steiner) $ =3/2 mR^2 $
da cui $ mgR sin(\theta)= 3/2 mR^2 a/R $
$ rArr $
$ g sin(\theta)= 3/2 a $
$ rArr $
$ a=2/3 g sin(\theta) $

detta h l'altezza da percorrere,sapendo che $ h=1/2 a t^2 $
ottieni $ t = root(2)((h sin(\theta) ) / (3 g sin(\theta))) =root(2)((h ) / (3 g )) $

a questo punto puoi dedurre anche il punto c)

$ \tau=mgr sin(\theta) - ma= mgr sin(\theta)-m2/3 g sin(\theta)=1/3 mgr sin(\theta) $[/quote]

Sono riuscito anche con questo metodo oltre a quello della legge oraria derivando l'accelerazione rispetto al tempo, grazie mille a tutti (in realtà il momento di inerzia è quello di una sfera e non del cilindro ed effettivamente l's giusto è $h/sintheta$ dato il verso non identico all'altezza sull'asse y come invece era per il primo punto). Siete stati tutti gentili e disponibili come sempre.

[joani92]

"Skylarry":
Calcolando i momenti rispetto al punto di contatto (in modo da eliminare il momento della forza di attrito)

effettivamente pensandoci bene non riesco a capire questo passaggio, cioè perchè viene tolto il momento della forza d'attrito? E' semplicemente perchè nel rotolamento puro non si ha l'effetto dell'attrito nel punto di contatto?

[Skylarry]

"Dewhurst":[quote="Skylarry"]
Calcolando i momenti rispetto al punto di contatto (in modo da eliminare il momento della forza di attrito)

effettivamente pensandoci bene non riesco a capire questo passaggio, cioè perchè viene tolto il momento della forza d'attrito? E' semplicemente perchè nel rotolamento puro non si ha l'effetto dell'attrito nel punto di contatto?[/quote]

E' matematica.... se calcoli il momento di iuna forza utilizzando come polo il punto di applicazione della forza stessa il braccio è nullo quindi il risultato è 0

[Skylarry]

"Dewhurst":$h/sintheta$ dato il verso non identico all'altezza sull'asse y come invece era per il primo punto). Siete stati tutti gentili e disponibili come sempre.

scusa. Sai l'età gioca brutti scherzi. Grazie.