Due domande quantistiche
Le autofunzioni dell'oscillatore armonico sono date da $ ({m\omega}/{\pi h})^{1/4}i^n/{sqrt {2^n n!}}e^{-\xi ^2/2}H_n(\xi) $
Considerata una particella in un potenziale armonico, sia data la sua funzione d'onda nella forma di un polinomio di grado n per l'esponenziale che compare nelle autofunzioni dell'oscillatore. Allora possiamo esprimere la fuzione d'onda come combinazione lineare delle prime n autofunzioni. Determinati i coefficienti della combinazione, si ha che in alcuni di essi compare l'unità immaginaria in quanto presente nell'espressione delle autofunzioni. Nell'espressione della funzione d'onda moltiplico quindi i coefficienti immaginari per il fattore di fase $e^{i\pi}=i$ in modo tale da renderli reali.
Mi chiedo: è lecito moltiplicare solo alcuni termini per questo fattore di fase? Io credo di si perchè non abbiamo condizioni particolari imposte sulla funzione d'onda, quindi in ogni caso ciascun termine dovrebbe essere definito a meno di un fattore di fase arbitrario. Secondo voi?
Altra domanda. Abbiamo introdotto il concetto di quantità di moto in meccanica quantistica partendo dall'invarianza di un sistema per traslazioni spaziali. Sia quindi $ U(\delta \vec r )$ una trasformazione unitaria infinitesima che descrive una traslazione infinitesima. Riporto ora i passaggi del libro e la precisazione finale:
"$\psi (\vec {r_1}+\delta \vec r,...,\vec {r_n}+\delta \vec r)=<\vec {r_1}+\delta \vec r,...,\vec {r_n}+\delta \vec r|\psi>$$=<\vec {r_1},...,\vec {r_n}|U^+(\delta \vec r)|\psi>$$=<\vec {r_1}+,...,\vec {r_n}|U(-\delta \vec r)|\psi >$$=U(-\delta \vec r)<\vec {r_1},...,\vec {r_n}|\psi> $
Nell'ultimo rigo $U(-\delta \vec r)$ rappresenta l'operatore della trasformazione unitaria nella rappresentazione delle coordinate."
La domanda è: ma nell'ultimo rigo $U(-\delta \vec r)$ non dovrebbe essere l'autovalore dell'operatore? E tra l'altro, in ogni caso la matrice dell'operatore nella rappresentazione delle coordinate dovrebbe essere dato da $\delta (\vec r-\vec {r'}) U(\vec r)$ con $U(\vec r)$ autovalore dell'operatore. Mi sbaglio?
Considerata una particella in un potenziale armonico, sia data la sua funzione d'onda nella forma di un polinomio di grado n per l'esponenziale che compare nelle autofunzioni dell'oscillatore. Allora possiamo esprimere la fuzione d'onda come combinazione lineare delle prime n autofunzioni. Determinati i coefficienti della combinazione, si ha che in alcuni di essi compare l'unità immaginaria in quanto presente nell'espressione delle autofunzioni. Nell'espressione della funzione d'onda moltiplico quindi i coefficienti immaginari per il fattore di fase $e^{i\pi}=i$ in modo tale da renderli reali.
Mi chiedo: è lecito moltiplicare solo alcuni termini per questo fattore di fase? Io credo di si perchè non abbiamo condizioni particolari imposte sulla funzione d'onda, quindi in ogni caso ciascun termine dovrebbe essere definito a meno di un fattore di fase arbitrario. Secondo voi?
Altra domanda. Abbiamo introdotto il concetto di quantità di moto in meccanica quantistica partendo dall'invarianza di un sistema per traslazioni spaziali. Sia quindi $ U(\delta \vec r )$ una trasformazione unitaria infinitesima che descrive una traslazione infinitesima. Riporto ora i passaggi del libro e la precisazione finale:
"$\psi (\vec {r_1}+\delta \vec r,...,\vec {r_n}+\delta \vec r)=<\vec {r_1}+\delta \vec r,...,\vec {r_n}+\delta \vec r|\psi>$$=<\vec {r_1},...,\vec {r_n}|U^+(\delta \vec r)|\psi>$$=<\vec {r_1}+,...,\vec {r_n}|U(-\delta \vec r)|\psi >$$=U(-\delta \vec r)<\vec {r_1},...,\vec {r_n}|\psi> $
Nell'ultimo rigo $U(-\delta \vec r)$ rappresenta l'operatore della trasformazione unitaria nella rappresentazione delle coordinate."
La domanda è: ma nell'ultimo rigo $U(-\delta \vec r)$ non dovrebbe essere l'autovalore dell'operatore? E tra l'altro, in ogni caso la matrice dell'operatore nella rappresentazione delle coordinate dovrebbe essere dato da $\delta (\vec r-\vec {r'}) U(\vec r)$ con $U(\vec r)$ autovalore dell'operatore. Mi sbaglio?
Risposte
"albireo":
Le autofunzioni dell'oscillatore armonico sono date da $ ({m\omega}/{\pi h})^{1/4}i^n/{sqrt {2^n n!}}e^{-\xi ^2/2}H_n(\xi) $
Considerata una particella in un potenziale armonico, sia data la sua funzione d'onda nella forma di un polinomio di grado n per l'esponenziale che compare nelle autofunzioni dell'oscillatore. Allora possiamo esprimere la fuzione d'onda come combinazione lineare delle prime n autofunzioni. Determinati i coefficienti della combinazione, si ha che in alcuni di essi compare l'unità immaginaria in quanto presente nell'espressione delle autofunzioni. Nell'espressione della funzione d'onda moltiplico quindi i coefficienti immaginari per il fattore di fase $e^{i\pi}=i$ in modo tale da renderli reali.
Mi chiedo: è lecito moltiplicare solo alcuni termini per questo fattore di fase? Io credo di si perchè non abbiamo condizioni particolari imposte sulla funzione d'onda, quindi in ogni caso ciascun termine dovrebbe essere definito a meno di un fattore di fase arbitrario. Secondo voi?
A global phase factor does not affect the physical predictions, but the relative phases of the coefficients of an expansion are significant. Cohen - cap III - paragrafo 2.
\(e^{i\pi /2}=\)?
si, ovviamente intendevo $e^{i\pi/2} $. Comunque la citazione che hai riportato non mi convince del tutto in questo caso. Mi spiego, ponendo la questione in altri termini. le autofunzioni dell'oscillatore che ho riportato sono normalizzate; se invece di considerare ad esempio come autofunzione
$ ({m\omega}/{\pi h})^{1/4}i\sqrt 2 sqrt {{m\omega}/h}xe^{-{m\omegax^2}/h) $
considero la stessa funzione ma senza la $i$, quindi
$ ({m\omega}/{\pi h})^{1/4}\sqrt 2 sqrt {{m\omega}/h}xe^{-{m\omegax^2}/h) $
questa è ugualmente un'autofunzione normalizzata dell'oscillatore. Cosa mi vieta di considerare questa autofunzione in luogo della stessa in versione "immaginaria" nello sviluppo della funzione d'onda? Secondo me nulla, ma ve ne chiedo conferma. Secondo me quindi posso esprimere la funzione d'onda come combinazione lineare di queste autofunzioni reali e determinarne i coefficienti, che in questo modo saranno già reali e non ci sarà quindi bisogno di moltiplicare per nessun fattore di fase.
Non sei d'accordo?
$ ({m\omega}/{\pi h})^{1/4}i\sqrt 2 sqrt {{m\omega}/h}xe^{-{m\omegax^2}/h) $
considero la stessa funzione ma senza la $i$, quindi
$ ({m\omega}/{\pi h})^{1/4}\sqrt 2 sqrt {{m\omega}/h}xe^{-{m\omegax^2}/h) $
questa è ugualmente un'autofunzione normalizzata dell'oscillatore. Cosa mi vieta di considerare questa autofunzione in luogo della stessa in versione "immaginaria" nello sviluppo della funzione d'onda? Secondo me nulla, ma ve ne chiedo conferma. Secondo me quindi posso esprimere la funzione d'onda come combinazione lineare di queste autofunzioni reali e determinarne i coefficienti, che in questo modo saranno già reali e non ci sarà quindi bisogno di moltiplicare per nessun fattore di fase.
Non sei d'accordo?
Se ho capito quello che vuoi dire mi sembra che tu stia moltiplicando per un fattore di fase globale 
\[
\begin{split}
e^{i\theta}c_{1}|\psi_{1} \rangle+e^{i\theta}c_{2}|\psi_{2} \rangle&=e^{i\theta}(c_{1}|\psi_{1} \rangle+c_{2}|\psi_{2} \rangle) \\
c_{1}|\psi_{1} \rangle+c_{2}|\psi_{2} \rangle&=|\varphi\rangle \\
e^{i\theta}|\varphi\rangle&\rightarrow e^{-i\theta}\langle \varphi | \\
e^{-i\theta} e^{i\theta}\langle \varphi |\varphi\rangle &= \langle \varphi |\varphi\rangle
\end{split}
\]
E così il fattore globale non è un problema. Con angoli differenti non potrei raccogliere.
Provo a capire il calcolo
\[
\begin{split}
\langle \psi' |\varphi \rangle&=(\langle \psi | U^{\dagger}(r))|\varphi \rangle \\
U^{\dagger}&=U^{-1} \\
U^{\dagger}&=U(-r) \\
\langle \psi | U^{\dagger}(r)|\varphi \rangle &= \langle \psi | U(-r)|\varphi \rangle
\end{split}
\]
L'elemento di matrice è
\[
\langle \psi | U(-r)|\varphi \rangle = \int \psi U(-r) \varphi
\]
E quello che dici tu è che per tirare fuori l'operatore è necessario che sia una costante, e mi sembra giusto. Comunque, quali potrebbero essere l'autovettore ed il rispettivo autovalore di un operatore di questo tipo?
Boh non so, che libro usi? A naso direi che \(U(\varphi r)=\delta (r-r')\) con \(\varphi r=r-r'\) cioè \(U\) agisce come la distribuzione \(\delta\) scambiando le coordinate, ma non ho mai visto questo operatore.
\[
\begin{split}
e^{i\theta}c_{1}|\psi_{1} \rangle+e^{i\theta}c_{2}|\psi_{2} \rangle&=e^{i\theta}(c_{1}|\psi_{1} \rangle+c_{2}|\psi_{2} \rangle) \\
c_{1}|\psi_{1} \rangle+c_{2}|\psi_{2} \rangle&=|\varphi\rangle \\
e^{i\theta}|\varphi\rangle&\rightarrow e^{-i\theta}\langle \varphi | \\
e^{-i\theta} e^{i\theta}\langle \varphi |\varphi\rangle &= \langle \varphi |\varphi\rangle
\end{split}
\]
E così il fattore globale non è un problema. Con angoli differenti non potrei raccogliere.
Altra domanda. Abbiamo introdotto il concetto di quantità di moto in meccanica quantistica partendo dall'invarianza di un sistema per traslazioni spaziali. Sia quindi $ U(\delta \vec r )$ una trasformazione unitaria infinitesima che descrive una traslazione infinitesima. Riporto ora i passaggi del libro e la precisazione finale:
"$\psi (\vec {r_1}+\delta \vec r,...,\vec {r_n}+\delta \vec r)=<\vec {r_1}+\delta \vec r,...,\vec {r_n}+\delta \vec r|\psi>$$=<\vec {r_1},...,\vec {r_n}|U^+(\delta \vec r)|\psi>$$=<\vec {r_1}+,...,\vec {r_n}|U(-\delta \vec r)|\psi >$
$=U(-\delta \vec r)<\vec {r_1},...,\vec {r_n}|\psi> $
Nell'ultimo rigo $U(-\delta \vec r)$ rappresenta l'operatore della trasformazione unitaria nella rappresentazione delle coordinate."
La domanda è: ma nell'ultimo rigo $U(-\delta \vec r)$ non dovrebbe essere l'autovalore dell'operatore?
Provo a capire il calcolo
\[
\begin{split}
\langle \psi' |\varphi \rangle&=(\langle \psi | U^{\dagger}(r))|\varphi \rangle \\
U^{\dagger}&=U^{-1} \\
U^{\dagger}&=U(-r) \\
\langle \psi | U^{\dagger}(r)|\varphi \rangle &= \langle \psi | U(-r)|\varphi \rangle
\end{split}
\]
L'elemento di matrice è
\[
\langle \psi | U(-r)|\varphi \rangle = \int \psi U(-r) \varphi
\]
E quello che dici tu è che per tirare fuori l'operatore è necessario che sia una costante, e mi sembra giusto. Comunque, quali potrebbero essere l'autovettore ed il rispettivo autovalore di un operatore di questo tipo?
E tra l'altro, in ogni caso la matrice dell'operatore nella rappresentazione delle coordinate dovrebbe essere dato da $\delta (\vec r-\vec {r'}) U(\vec r)$ con $U(\vec r)$ autovalore dell'operatore. Mi sbaglio?
Boh non so, che libro usi? A naso direi che \(U(\varphi r)=\delta (r-r')\) con \(\varphi r=r-r'\) cioè \(U\) agisce come la distribuzione \(\delta\) scambiando le coordinate, ma non ho mai visto questo operatore.
"5mrkv":
Se ho capito quello che vuoi dire mi sembra che tu stia moltiplicando per un fattore di fase globale
No, non sto moltiplicando per un fattore di fase globale. Sto moltiplicando per il fattore di fase soltanto le autofunzioni immaginarie. Ad esempio, supponiamo che la funzione d'onda sia del tipo
$\psi (x) =cxe^{-{m\omegax^2}/{2h}}$
Questa può quindi essere scritta come combinazione lineare delle prime due autofunzioni dell'oscillatore, di cui la prima è reale, la seconda è immaginaria, secondo la formula generale che ho riportato nel post iniziale. Quindi
$\psi (x)=c_0\phi_0+c_1\phi_1$
Uguagliando le due espressioni di $\psi$ per trovare le costanti della combinazione si trova $c_1$ immaginaria, e questo deriva proprio dal fatto che la seconda autofunzione è immaginaria (c'è una $i^1=i$). Per avere dei coefficienti reali allora, potrei lavorare già dall'inizio con autofunzioni reali moltiplicando la seconda autofunzione per $e^{i\pi/2}=i$ (la prima, come detto, è già reale) e quindi procedo come prima espandendo la funzione d'onda come combinazione lineare di queste autofunzioni reali (e in tal caso i coefficienti della combinazione risultano reali).Questo dovrebbe essere equivalente a lavorare con la prima autofunzione reale e la seconda immaginaria e moltiplicare solo $c_1$ della combinazione lineare per $e^{i\pi/2}$. Ora, in questo secondo caso, stiamo moltiplicando solo il coefficiente $c_1$ per un fattore di fase, e questo potrebbe destare qualche dubbio, ma lavorando già con autofunzioni reali non c'è più bisogno di moltiplicare per fattori di fase alcuni termini perchè questi sono già reali. E' anche vero che ciò è stato possibile perchè ho moltiplicato solo la seconda autofunzione per il fattore di fase, ma credo che nulla mi vieta di farlo, perchè comunque in questo modo sto sviluppando la funzione d'onda sempre in termini di autofunzioni normalizzate. Perchè dovrebbero esserci dei problemi quindi?
Per quanto riguarda l'altra questione (il libro cmq è di un prof dell'uni)
"5mrkv":
L'elemento di matrice è
\[
\langle \psi | U(-r)|\varphi \rangle = \int \psi U(-r) \varphi
\]
L'elemento di matrice dovrebbe essere
$<\vec {r_1},...,\vec {r_n}|U(-\delta \vec r)|\vec {r'_1},...,\vec {r'_n}>$
"5mrkv":
A naso direi che \(U(\varphi r)=\delta (r-r')\) con \(\varphi r=r-r'\) cioè \(U\) agisce come la distribuzione \(\delta\) scambiando le coordinate, ma non ho mai visto questo operatore.
Questo passaggio non l'ho capito, forse perchè non mi sono ben chiari i simboli che usi. Io parto dal presupposto che la traslazione, e quindi l'operatore U sia solo funzione delle coordinate. Quindi ha gli stessi autovettori delle coordinate, e risulta perciò
$U(-\delta \vec r)|\vec {r'_1},...,\vec {r'_n}>$$=U'(-\delta \vec r)|\vec {r'_1},...,\vec {r'_n}>$
con $U' (-\delta \vec r)$ autovalore. Utilizzando la relazione di completezza si ha:
$<\vec {r_1},...,\vec {r_n}|U(-\delta \vec r)|\psi>$$=\int d\vec {r'_1}...d\vec {r'_n}<\vec {r_1},...,\vec {r_n}|U(-\delta \vec r)|\vec {r'_1},...,\vec {r'_n}><\vec {r'_1},...,\vec {r'_n}|\psi>$=$\int d\vec {r'_1}...d\vec {r'_n}U' (-\delta \vec {r})<\vec {r_1},...,\vec {r_n}|\vec {r'_1},...,\vec {r'_n}>\psi (\vec {r'_1},...\vec {r'_n})$$=\int d\vec {r'_1}...d\vec {r'_n} U'(-\delta \vec {r}) \delta (\vec {r_1}-\vec {r'_1})...\delta (\vec {r_n}-\vec {r'_n})\psi (\vec {r'_1},...\vec {r'_n})$$=U'(-\delta \vec r)\psi (\vec {r_1},...\vec {r_n})=U'(-\delta \vec r) < \vec {r_1},...\vec {r_n}|\psi >$
per cui compare l'autovalore della trasformazione e non l'operatore nella rappresentazione delle coordinate che invece dovrebbe essere
$<\vec {r_1},...,\vec {r_n}|U(-\delta \vec r)|\vec {r'_1},...,\vec {r'_n}>$$=U'(-\delta \vec r)<\vec {r_1},...,\vec {r_n}|\vec {r'_1},...,\vec {r'_n}>$$=U'(-\delta \vec r)\delta (\vec {r_1}-\vec {r'_1})...\delta (\vec {r_n}-\vec {r'_n})$
Ti ritrovi? O sbaglio qualcosa io?
Uguagliando le due espressioni di $\psi$ per trovare le costanti della combinazione si trova $c_1$ immaginaria, e questo deriva proprio dal fatto che la seconda autofunzione è immaginaria (c'è una $i^1=i$).
Gli autovettori per \(n=0,1\) sono
\[
\begin{split}
\psi_{0}(x)&= \left (\frac{m \omega}{\pi \hbar} \right )^{1/4}\exp{-\frac{1}{2}\frac{m\omega}{\hbar}x^{2}} \\
\psi_{1}(x)&= \left [\frac{4}{\pi}\left ( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right )^{3}\right ]^{1/4}x\exp{-\frac{1}{2}\frac{m\omega}{\hbar}x^{2}}
\end{split}
\]
Sul testo che uso, le autofunzioni sono espresse con la formula che ho scritto nel post iniziale, che in pratica sono immaginarie per n dispari e reali per n pari. Gli autovettori che hai riportato tu sono esattamente quelli che si ricavano da quella formula ma senza la $i$. Comunque ora che ci penso meglio ho capito il problema, e in effetti non è corretto moltiplicare per il fattore di fase $i$ solo un coefficiente, e se lo si fa, bisogna anche moltiplicare per $(-i)$ la corrispondente autofunzione immaginaria in modo tale da rendere reali sia il coefficiente che l'autofunzione e non modificarne quindi complessivamente la fase. Grazie per avermi aiutato a comprenderlo.
Per l'altra questione invece che ne pensi?
Per l'altra questione invece che ne pensi?
"albireo":Beh si, l'importante è non modificare la funzione d'onda originaria
Sul testo che uso, le autofunzioni sono espresse con la formula che ho scritto nel post iniziale, che in pratica sono immaginarie per n dispari e reali per n pari. Gli autovettori che hai riportato tu sono esattamente quelli che si ricavano da quella formula ma senza la $i$. Comunque ora che ci penso meglio ho capito il problema, e in effetti non è corretto moltiplicare per il fattore di fase $i$ solo un coefficiente, e se lo si fa, bisogna anche moltiplicare per $(-i)$ la corrispondente autofunzione immaginaria in modo tale da rendere reali sia il coefficiente che l'autofunzione e non modificarne quindi complessivamente la fase. Grazie per avermi aiutato a comprenderlo.
\[
\begin{split}
|\psi\rangle&=c_{0}|\psi_{0}\rangle+c_{1}|\psi_{1}\rangle \\
|\psi\rangle&=c_{0}e^{i\theta}e^{-i\theta}|\psi_{0}\rangle+c_{1}|\psi_{1}\rangle \\
|\psi\rangle&=c_{0}e^{i\theta}|\psi_{0}'\rangle+c_{1}|\psi_{1}\rangle \\
\end{split}
\]
come hai detto tu. Se si moltiplica per un fattore di fase (edit) un solo termine puoi vedere nel cap III parte E-1 che cambia anche la probabilità associata alla funzione.
Per l'altra questione invece che ne pensi?Non saprei, non ho mai usato le distribuzioni delta come base.
"5mrkv":
Beh si, l'importante è non modificare la funzione d'onda originaria
\[
\begin{split}
|\psi\rangle&=c_{0}|\psi_{0}\rangle+c_{1}|\psi_{1}\rangle \\
|\psi\rangle&=c_{0}e^{i\theta}e^{-i\theta}|\psi_{0}\rangle+c_{1}|\psi_{1}\rangle \\
|\psi\rangle&=c_{0}e^{i\theta}|\psi_{0}'\rangle+c_{1}|\psi_{1}\rangle \\
\end{split}
\]
Si, esattamente. Grazie anche del riferimento al testo, andrò a vederlo.
In relazione all'altra questione, ho difficoltà anch'io a comprendere le cose con la distribuzione delta, anche perchè per come le si usa in fisica, poco hanno a che fare con ciò che si vede in metodi matematici...tu comunque che base usi invece delle delta?
Ah oddio Di solito la base che mi capita è quella che viene fuori dall'osservabile energia \(\mbox{H}\) come negli esempi di teoria con i potenziali a gradino e negli esercizi di MQ che mi è capitato di studiare, dove c'era quasi sempre l'oscillatore armonico 
Essendo una osservabile forma una base per lo spazio degli stati e posso esprimere con questa qualsiasi ket, nel caso continuo e nel caso discreto si ha
\[
\begin{split}
H|u_{n}\rangle&=a_{n}|u_{n}\rangle \\
|\psi\rangle&=\sum c_{n}|u_{n}\rangle \\ \\
H|w_{\alpha}\rangle&=a_{\alpha}|w_{\alpha}\rangle \\
|\psi\rangle&=\sum c_{\alpha}|w_{\alpha}\rangle \\
\end{split}
\]
Oltre alle basi continue e discrete che ho citato prima, c'è quella dello spazio del momento \(v_{p}\) che non ho ancora capito bene e quella delle distribuzioni delta \(\xi_{r_{0}}\). Ma sono cose che vengono spiegate un po' senza dire di che cosa si sta parlando e devi essere un matematico (
) per capire cosa vogliano realmente dire, almeno questa è la mia impressione.
Di solito la base che mi capita è quella che viene fuori dall'osservabile energia \(\mbox{H}\) come negli esempi di teoria con i potenziali a gradino e negli esercizi di MQ che mi è capitato di studiare, dove c'era quasi sempre l'oscillatore armonico Essendo una osservabile forma una base per lo spazio degli stati e posso esprimere con questa qualsiasi ket, nel caso continuo e nel caso discreto si ha\[
\begin{split}
H|u_{n}\rangle&=a_{n}|u_{n}\rangle \\
|\psi\rangle&=\sum c_{n}|u_{n}\rangle \\ \\
H|w_{\alpha}\rangle&=a_{\alpha}|w_{\alpha}\rangle \\
|\psi\rangle&=\sum c_{\alpha}|w_{\alpha}\rangle \\
\end{split}
\]
Oltre alle basi continue e discrete che ho citato prima, c'è quella dello spazio del momento \(v_{p}\) che non ho ancora capito bene e quella delle distribuzioni delta \(\xi_{r_{0}}\). Ma sono cose che vengono spiegate un po' senza dire di che cosa si sta parlando e devi essere un matematico (
) per capire cosa vogliano realmente dire, almeno questa è la mia impressione.
Pensandoci meglio, in realtà non c'è proprio bisogno di usare le delta. Infatti, data l'equazione agli autovalori per $U(\delta \vec r)$
$U(\delta \vec r)|\vec {r_1},...,\vec {r_n}>$$=U'(\delta \vec r)|\vec {r_1},...,\vec {r_n}>$
con $U' (\delta \vec r)$ autovalore, considerando la sua espressione coniugata
$<\vec {r_1},...,\vec {r_n}|U(-\delta \vec r)=U'(-\delta \vec r)<\vec {r_1},...,\vec {r_n}|$
si ha:
$<\vec {r_1},...,\vec {r_n}|U(-\delta \vec r)|\psi>$$=U'(-\delta \vec r)<\vec {r_1},...,\vec {r_n}|\psi>$
e questa è l'espressione a cui giunge il libro senza mostrare i passaggi ma dicendo che $U' (-\delta \vec r)$ rappresenta l'operatore della trasformazione unitaria nella rappresentazione delle coordinate, mentre a mio parere, dai passaggi che ho svolto, a meno che non ci sia qualche errore, $U' (-\delta \vec r)$ sta ad indicare l'autovalore dell'operatore $U (-\delta \vec r)$.
Che ne pensi ora?
$U(\delta \vec r)|\vec {r_1},...,\vec {r_n}>$$=U'(\delta \vec r)|\vec {r_1},...,\vec {r_n}>$
con $U' (\delta \vec r)$ autovalore, considerando la sua espressione coniugata
$<\vec {r_1},...,\vec {r_n}|U(-\delta \vec r)=U'(-\delta \vec r)<\vec {r_1},...,\vec {r_n}|$
si ha:
$<\vec {r_1},...,\vec {r_n}|U(-\delta \vec r)|\psi>$$=U'(-\delta \vec r)<\vec {r_1},...,\vec {r_n}|\psi>$
e questa è l'espressione a cui giunge il libro senza mostrare i passaggi ma dicendo che $U' (-\delta \vec r)$ rappresenta l'operatore della trasformazione unitaria nella rappresentazione delle coordinate, mentre a mio parere, dai passaggi che ho svolto, a meno che non ci sia qualche errore, $U' (-\delta \vec r)$ sta ad indicare l'autovalore dell'operatore $U (-\delta \vec r)$.
Che ne pensi ora?
Penso che quello che dici sia corretto, ma non ti crucciare troppo Se
\[
A |u_{n}^{i}\rangle =a_{n}|u_{n}^{i}\rangle\ \ i=1,...,g_{n}
\]
cioè ogni autovalore ha molteplicità \(i\), anche se \(i=1\) sull'autospazio \(\{|u_{n}^{i}\rangle \}_{n=1}^{g_{n}}\) potendo considerare \(a_{n}\) come restrizione di \(A\) magari li chiama allo stesso modo, cioè chiama l'autovalore operatore.
Se \[
A |u_{n}^{i}\rangle =a_{n}|u_{n}^{i}\rangle\ \ i=1,...,g_{n}
\]
cioè ogni autovalore ha molteplicità \(i\), anche se \(i=1\) sull'autospazio \(\{|u_{n}^{i}\rangle \}_{n=1}^{g_{n}}\) potendo considerare \(a_{n}\) come restrizione di \(A\) magari li chiama allo stesso modo, cioè chiama l'autovalore operatore.
Ok, ciò che dici mi è chiaro, e potrebbe essere effettivamente così, ma a questo punto mi resta ancora un dubbio. Assumendo che li chiama allo stesso modo per la ragione che hai detto, mi chiedo: perchè si specifica che U rappresenta l'operatore ( cioè autovalore) nella rappresentazione delle coordinate se gli autovalori sono indipendenti dalla rappresentazione scelta?
Perché ha usato la notazione della rappresentazione delle coordinate per scriverlo? Boh, non so, dovresti chiederglielo
Boh, non so, dovresti chiederglielo
Oook grazie mille delle risposte e per la pazienza 
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