Due corpi legati ad una molla
Salve a tutti, in questo problema mi si richiede la velocità del corpo $m$, solo che non ho bene idea do dove potrei iniziare. Ho provato a eguagliare energia cinetica ed energia potenziale elastica ma non mi viene il risultato sperato e concettualmente mi sembra errato. Qualcuno potrebbe darmi un aiuto su come dovrei ragionare?
Risposte
Puoi pensare che le due masse sono sottoposte a forze uguali (e opposte) per cui hanno accelerazioni (e velocità e spostamenti ) in ogni momento che sono in rapporto inverso alle masse.
Questo ti permette di determinare il punto fisso della molla, che si trova nello stesso punto dove si troverebbe il punto di appoggio di una leva con le due masse alle estremità.
In alternativa, pensa che le due masse oscillano intorno al CM del sistema, che è lo stesso punto trovato prima.
Dopo di che, conoscendo il CM, puoi trattare ogni massa separatamente, come se fossero attaccate ciascuna ad una molla che finisce lì (attenzione che k cresce quando la molla è più corta: se tagli a metà una molla, ogni metà ha k doppio), e diventa un problema di ordinaria amministrazione.
Per esempio, se fossero M e 2M, il CM si trova ad un terzo della lunghezza dalla parte di 2M, e la massa M sarebbe come se fosse attaccata ad una molla, di lunghezza 2/3L, con k' = 3/2k, fissata dall'altra parte ad un muro.
Nota che le due parti della molla oscillano con una frequenza che dipende da k/m: e, data la dipendenza di k dalla lunghezza della molla, risulta che k/m ha lo stesso valore per le due parti, e quindi la frequenza è uguale (come dobbiamo aspettarci, visto che di fatto c'è una sola molla, e non due), e questa frequenza è la stessa che si avrebbe se le due masse fossero attaccate insieme ad un capo e l'altro fosse fisso.
EDIT L'ultima frase è sbagliata: "questa frequenza è la stessa che si avrebbe se le due masse fossero attaccate insieme ad un capo e l'altro fosse fisso". Pardon
Questo ti permette di determinare il punto fisso della molla, che si trova nello stesso punto dove si troverebbe il punto di appoggio di una leva con le due masse alle estremità.
In alternativa, pensa che le due masse oscillano intorno al CM del sistema, che è lo stesso punto trovato prima.
Dopo di che, conoscendo il CM, puoi trattare ogni massa separatamente, come se fossero attaccate ciascuna ad una molla che finisce lì (attenzione che k cresce quando la molla è più corta: se tagli a metà una molla, ogni metà ha k doppio), e diventa un problema di ordinaria amministrazione.
Per esempio, se fossero M e 2M, il CM si trova ad un terzo della lunghezza dalla parte di 2M, e la massa M sarebbe come se fosse attaccata ad una molla, di lunghezza 2/3L, con k' = 3/2k, fissata dall'altra parte ad un muro.
Nota che le due parti della molla oscillano con una frequenza che dipende da k/m: e, data la dipendenza di k dalla lunghezza della molla, risulta che k/m ha lo stesso valore per le due parti, e quindi la frequenza è uguale (come dobbiamo aspettarci, visto che di fatto c'è una sola molla, e non due), e questa frequenza è la stessa che si avrebbe se le due masse fossero attaccate insieme ad un capo e l'altro fosse fisso.
EDIT L'ultima frase è sbagliata: "questa frequenza è la stessa che si avrebbe se le due masse fossero attaccate insieme ad un capo e l'altro fosse fisso". Pardon
Oppure applichi il principio di conservazione dell'energia meccanica non essendovi forze dissipative ($1/2kl^2 = 1/2mv^2 + 1/2MV^2$) e quello della quantità di moto non essendovi forze esterne orizzontali ($mv = MV$)
"mgrau":
Puoi pensare che le due masse sono sottoposte a forze uguali (e opposte) per cui hanno accelerazioni (e velocità e spostamenti ) in ogni momento che sono in rapporto inverso alle masse.
Questo ti permette di determinare il punto fisso della molla, che si trova nello stesso punto dove si troverebbe il punto di appoggio di una leva con le due masse alle estremità.
In alternativa, pensa che le due masse oscillano intorno al CM del sistema, che è lo stesso punto trovato prima.
Dopo di che, conoscendo il CM, puoi trattare ogni massa separatamente, come se fossero attaccate ciascuna ad una molla che finisce lì (attenzione che k cresce quando la molla è più corta: se tagli a metà una molla, ogni metà ha k doppio), e diventa un problema di ordinaria amministrazione.
Per esempio, se fossero M e 2M, il CM si trova ad un terzo della lunghezza dalla parte di 2M, e la massa M sarebbe come se fosse attaccata ad una molla, di lunghezza 2/3L, con k' = 3/2k, fissata dall'altra parte ad un muro.
Nota che le due parti della molla oscillano con una frequenza che dipende da k/m: e, data la dipendenza di k dalla lunghezza della molla, risulta che k/m ha lo stesso valore per le due parti, e quindi la frequenza è uguale (come dobbiamo aspettarci, visto che di fatto c'è una sola molla, e non due), e questa frequenza è la stessa che si avrebbe se le due masse fossero attaccate insieme ad un capo e l'altro fosse fisso.
Interessante ma sinceramente non saprei applicarla a questo esercizio e in sede di esame probabilmente un ragionamento simile mi porterebbe a usare troppo tempo per ricavare la velocità della massa. Grazie della risposta.
"Maurizio Zani":
Oppure applichi il principio di conservazione dell'energia meccanica non essendovi forze dissipative ($1/2kl^2 = 1/2mv^2 + 1/2MV^2$) e quello della quantità di moto non essendovi forze esterne orizzontali ($mv = MV$)
Con questo ragionamento sono riuscito a risolvere l'esercizio ma come mai le energie cinetiche delle due masse sono uguali all'energia potenziale della molla?
"TheBarbarios":
ma come mai le energie cinetiche delle due masse sono uguali all'energia potenziale della molla?
Perchè l'energia cinetica deriva dall'energia potenziale della molla. Invece, c'è un punto che, benchè intuitivamente ovvio, trovo difficile giustificare logicamente: questa relazione fra le due velocità vale quando la molla si trova con la lunghezza a riposo; allora, come facciamo a sapere che in quel momento entrambe le velocità hanno il valore massimo (che è quello richiesto)? O, in alternativa: come facciamo a sapere che le oscillazioni delle due masse sono sincrone e in fase, in modo da raggiungere il massimo insieme?
Mentre le strada che proponevo io ha il vantaggio di separare il problema in due, così ogni massa viene trattata separatamente. E inoltre si ricava anche che hanno la stessa frequenza (e penso anche la stessa fase, ma ci dovrei riflettere)
"mgrau":
[quote="TheBarbarios"] ma come mai le energie cinetiche delle due masse sono uguali all'energia potenziale della molla?
Perchè l'energia cinetica deriva dall'energia potenziale della molla. Invece, c'è un punto che, benchè intuitivamente ovvio, trovo difficile giustificare logicamente: questa relazione fra le due velocità vale quando la molla si trova con la lunghezza a riposo; allora, come facciamo a sapere che in quel momento entrambe le velocità hanno il valore massimo (che è quello richiesto)? O, in alternativa: come facciamo a sapere che le oscillazioni delle due masse sono sincrone e in fase, in modo da raggiungere il massimo insieme?
Mentre le strada che proponevo io ha il vantaggio di separare il problema in due, così ogni massa viene trattata separatamente. E inoltre si ricava anche che hanno la stessa frequenza (e penso anche la stessa fase, ma ci dovrei riflettere)[/quote]
Forse ho capito cosa intendi. L' energia meccanica del sistema rimane costante visto che non ci sono forze dissipative, però nulla vieta che una massa raggiunga la velocità massima prima dell'altra o viceversa. Inoltre non sappiamo se sono in fase quindi giustamente una potrebbe essere ferma quando l'altra è nel punto con velocità massima. Bel dubbio in effetti. Non saprei.
Per quanto riguarda la soluzione che proponevi, la trovo interessante ma visto che non so i rapporti tra le due masse, come posso sapere dove è il CM e di conseguenza calcolare la $K'$ e da lì completare l'esercizio? Ho capito teoricamente il tuo metodo, ma so come renderlo in pratica.
Se la molla ha lunghezza $L$ la distanza di $m$ dal CM è $L' = LM/(M+m)$ e questa è la lunghezza della molla che "compete" a $m$
La frazione di allungamento che compete a $m$ sta nello stesso rapporto: $l' = lM/(M+m)$
Il $k'$ di questa frazione di molla è $k' = k(M+m)/M$
Dopo di che puoi usare questi nuovi valori: hai la massa $m$ attaccata ad una molla $L'$, fissata dall'altra parte al muro, allungata di $l'$ con costante $k'$, e trovi la velocità massima usando la conservazione dell'energia, senza preoccupazioni sulla fase.
La frazione di allungamento che compete a $m$ sta nello stesso rapporto: $l' = lM/(M+m)$
Il $k'$ di questa frazione di molla è $k' = k(M+m)/M$
Dopo di che puoi usare questi nuovi valori: hai la massa $m$ attaccata ad una molla $L'$, fissata dall'altra parte al muro, allungata di $l'$ con costante $k'$, e trovi la velocità massima usando la conservazione dell'energia, senza preoccupazioni sulla fase.
"mgrau":
Se la molla ha lunghezza $L$ la distanza di $m$ dal CM è $L' = LM/(M+m)$ e questa è la lunghezza della molla che "compete" a $m$
La frazione di allungamento che compete a $m$ sta nello stesso rapporto: $l' = lM/(M+m)$
Il $k'$ di questa frazione di molla è $k' = k(M+m)/M$
Dopo di che puoi usare questi nuovi valori: hai la massa $m$ attaccata ad una molla $L'$, fissata dall'altra parte al muro, allungata di $l'$ con costante $k'$, e trovi la velocità massima usando la conservazione dell'energia, senza preoccupazioni sulla fase.
Ma che bel metodo alternativo! Ti ringrazio, non mi sarebbe mai venuto in mente. Proprio per questo però non capisco come parti dicendo che $L' = LM/(M+m)$. Da questo passaggio poi ne derivano le altre considerazioni quindi mi preme capirlo. Penso tu abbia sfruttato il concetto che hai scritto in qualche messaggio precedente (considerare la molla come una leva) però mi sento proprio arrugginito e non capisco il procedimento.
Hai posto
$(M+m)L'=LM$ ma perché non $(M+m)L'=Lm$? E perché in questa seconda molla fittizia, attaccata al muro, considero la somma delle masse?
"TheBarbarios":
non capisco come parti dicendo che $L' = LM/(M+m)$.
E' la distanza di $m$ dal centro di massa, così come $L'' = Lm/(M+m)$ è la distanza di $M$.
E si ha $L'm = L''M$ e $L' + L'' = L$.
"TheBarbarios":
Hai posto
$(M+m)L'=LM$ ma perché non $(M+m)L'=Lm$? E perché in questa seconda molla fittizia, attaccata al muro, considero la somma delle masse?
Qui non capisco bene la domanda. Una volta che abbiamo separato le due molle fittizie, dobbiamo pur usare i valori corrispondenti, per massa, lunghezza, allungamento e k.
P.S. Nel primo post avevo scritto una cosa sbagliata, che ho corretto, magari pensi a quella lì?
"mgrau":
[quote="TheBarbarios"] non capisco come parti dicendo che $L' = LM/(M+m)$.
E' la distanza di $m$ dal centro di massa, così come $L'' = Lm/(M+m)$ è la distanza di $M$.
E si ha $L'm = L''M$ e $L' + L'' = L$.
"TheBarbarios":[/quote]
Hai posto
$(M+m)L'=LM$ ma perché non $(M+m)L'=Lm$? E perché in questa seconda molla fittizia, attaccata al muro, considero la somma delle masse?
E' imbarazzante ma non sapevo ci fosse una formula per calcolare il centro di massa! Comunque per quanto ho visto la formula è:
$x_CM = frac (m_1*x_1 + m_2*x_2 + … + m_n*x_n)(m_1 + m_2 + … + m_n)$
quindi come arrivi a $L' = LM/(M+m)$ ?
"mgrau":
Qui non capisco bene la domanda. Una volta che abbiamo separato le due molle fittizie, dobbiamo pur usare i valori corrispondenti, per massa, lunghezza, allungamento e k.
P.S. Nel primo post avevo scritto una cosa sbagliata, che ho corretto, magari pensi a quella lì?
Intendo dire che visto che sto cercando la velocità di $m$ e non di $M$, come mai devo usare la distanza dal centro di massa $M$ cioè $L' = LM/(M+m)$ ?
Capito questo penso di riuscire a ricavare da solo anche $l'$ e $k'$.
"TheBarbarios":
quindi come arrivi a $L' = LM/(M+m)$ ?
Non ho usato quella formula, ho cercato il punto rispetto al quale i momenti delle forze peso fossero uguali: mL' = ML''
A te cosa risulta per la distanza fra $m$ e CM?
"TheBarbarios":
Intendo dire che visto che sto cercando la velocità di $m$ e non di $M$, come mai devo usare la distanza dal centro di massa $M$ cioè $L' = LM/(M+m)$ ?
$L'$ è appunto la distanza fra m e il CM
"mgrau":
[quote="TheBarbarios"]
quindi come arrivi a $L' = LM/(M+m)$ ?
Non ho usato quella formula, ho cercato il punto rispetto al quale i momenti delle forze peso fossero uguali: mL' = ML''
A te cosa risulta per la distanza fra $m$ e CM?[/quote]
Purtroppo a me non risulta niente perché non so come fare
Se appunto $mL' = ML''$, come trovo $L' = LM/(M+m)$?
"mgrau":
$L'$ è appunto la distanza fra m e il CM
Ah ho capito!
Se applichi la tua formula per la posizione del CM al caso di due masse, viene
$x_{CM} = frac (m*x_m + M*x_M) (m+M)$
e se poni l'origine in $m$, e quindi $x_m = 0$ e $x_M = L$, viene $x_{CM} = L' = Lfrac ( M) (m+M)$.
$x_{CM} = frac (m*x_m + M*x_M) (m+M)$
e se poni l'origine in $m$, e quindi $x_m = 0$ e $x_M = L$, viene $x_{CM} = L' = Lfrac ( M) (m+M)$.
"mgrau":
Se applichi la tua formula per la posizione del CM al caso di due masse, viene
$x_{CM} = frac (m*x_m + M*x_M) (m+M)$
e se poni l'origine in $m$, e quindi $x_m = 0$ e $x_M = L$, viene $x_{CM} = L' = Lfrac ( M) (m+M)$.
Ho capito, hai proprio ragione, scusa ma non mi era venuto in mente. Un'altra cosa: adesso hai usato la formula che ho postato qualche giorno fa, ma tu come eri arrivato alla lunghezza $L'$?
"TheBarbarios":
Un'altra cosa: adesso hai usato la formula che ho postato qualche giorno fa, ma tu come eri arrivato alla lunghezza $L'$?
Un po' a braccio, ma credo uguagliando i momenti della forza peso.
"mgrau":
[quote="TheBarbarios"] Un'altra cosa: adesso hai usato la formula che ho postato qualche giorno fa, ma tu come eri arrivato alla lunghezza $L'$?
Un po' a braccio, ma credo uguagliando i momenti della forza peso.[/quote]
Lo scrivo solo per avere conferma.
$L'm= L''M$
aggiungo ad entrambi i membri $L'M$:
$L'(M+m)= M(L'+L'')$ diventa quindi $L'(M+m)= LM$ ed infine $L'=L\frac{M}{(m+M)}$
Grazie dell'aiuto mgrau!
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