Due capacità e una resistenza...

[Sam881]

Salve,
ho un problema con il seguente circuito....considerando due capacità collegate tra loro da una resistenza (e con l'altro estremo a massa), supponendo che l'una abbia una tensione iniziale differente dall'altra sia avrà un passaggio di corrente che porterà i due livelli di tensione a coincidere dopo un certo lasso di tempo.... come posso impostare il sistema di eq. diff per trovare con che legge varia nel tempo una delle due tensioni???

Grazie in anticipo, saluti

[Falco5x]

$i = - C_1\frac{dV_1}{dt} = C_2\frac{dV_2}{dt} $

$V_1 - V_2 = Ri $

$Ri = - RC_1\frac{dV_1}{dt} = RC_2\frac{dV_2}{dt} $

$V_1 - V_2 = RC_2\frac{dV_2}{dt} $

$ \frac{dV_1}{dt} - \frac{dV_2}{dt} = RC_2\frac{d^2V_2}{dt^2} $

$ \frac{dV_1}{dt} = - \frac{C_2}{C_1}\frac{dV_2}{dt} $

$ - \frac{C_2}{C_1}\frac{dV_2}{dt} - \frac{dV_2}{dt} = RC_2\frac{d^2V_2}{dt^2} $

$ \frac{d^2V_2}{dt^2} + \frac{dV_2}{dt}\frac{1}{R}( \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_1} ) = 0 $

$ \frac{dV_2}{dt} = x( t ) $

$ \frac{dx}{dt} + x\frac{1}{R}( \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_1} ) = 0 $

$ C_{eq} = \frac{C_1C_2}{C_1 + C_2} $

$ RC_{eq} = \tau $

$ \frac{dx}{dt} + x\frac{1}{\tau } = 0 $

$V_2 = \int x( t ) + k $

$ x |_0 = \frac{ V_1 |_0 - V_2 |_0}{RC_2} $

$ x ( t) = he^{ - \frac{t}{\tau }} $

$ h = \frac{V_1 |_0 - V_2 |_0}{RC_2} $

$ V_2 |_0 = \frac{V_1 |_0 - V_2 |_0}{RC_2}\int e^{ - \frac{t}{\tau }}dt |_{t = 0} + k = - \tau \frac{V_1 |_0 - V_2 |_0}{RC_2} + k $

$ k = V_2 |_0 + \tau \frac{ V_1 |_0 - V_2 |_0}{RC_2} $

$ V_2 ( t) = - \tau \frac{ V_1 |_0 - V_2 |_0}{RC_2}e^{ - \frac{t}{\tau }} + V_2 |_0 + \tau \frac{V_1 |_0 - V_2 |_0}{RC_2} $

$ V_2 ( t) = V_2 |_0 + \tau \frac{ V_1 |_0 - V_2 |_0}{RC_2} (1 - e^{ - \frac{t}{\tau }}) $

$ V_2 ( t) = V_2 |_0 + (V_1 |_0 - V_2 |_0)\frac{C_1}{C_1 + C_2} [1 - e^{ - \frac{t}{\tau }}] $

[Sam881]

Grazie mille della risposta...
Saluti