Dubbio velocità media
ciao scusate la domanda stupida ma non mi rendo conto dove sbaglio.
Ho la funzione $x(t)=b+ a(t-t_0)^2$ con b=posizione iniziale e a=accelerazione. se faccio la derivata rispetto al tempo ottengo la velocità $v(t)=2a(t-t_0)$. Ora se volessi calcolare la velocità media è giusto fare $v_m=(x(t)-b)/(t-t_0)=a(t-t_0)$? e perchè se faccio il limite per $t->t_0$ di quel rapporto incrementale non mi esce uguale alla velocità istantanea calcolata inizialmente derivando $x(t)$? grazie
Ho la funzione $x(t)=b+ a(t-t_0)^2$ con b=posizione iniziale e a=accelerazione. se faccio la derivata rispetto al tempo ottengo la velocità $v(t)=2a(t-t_0)$. Ora se volessi calcolare la velocità media è giusto fare $v_m=(x(t)-b)/(t-t_0)=a(t-t_0)$? e perchè se faccio il limite per $t->t_0$ di quel rapporto incrementale non mi esce uguale alla velocità istantanea calcolata inizialmente derivando $x(t)$? grazie
Risposte
"and1991":
ciao scusate la domanda stupida ma non mi rendo conto dove sbaglio.
Ho la funzione $x(t)=b+ a(t-t_0)^2$ con b=posizione iniziale e a=accelerazione.
Sei sicuro di questa formula? Non è per caso
$x(t)= x_0 + v_0(t) + 1/2 a (t-t_0)^2$ dove $x_0$ è la posizione iniziale, $v_0$ la velocità iniziale ?
Ora $v_0$ potrebbe anche essere uguale a zero se si parte da fermi, ma in ogni modo mi sembra che tu perda il fattore $1/2$ che moltiplica l'accelerazione.
no è l'esercizio non è una formula. In ogni caso anche con $1/2$ non cambia il risultato
Ti rispondo senza troppe spiegazioni, credo che le formule parlino abbastanza e dimostrino che comunque si calcoli la velocità il risultato viene uguale.
Ad ogni modo come puoi vedere a è semplicemente un parametro, mentre l'accelerazione in questo caso è 2a.
\[\begin{array}{l}
x\left( t \right) = b + a{\left( {t - {t_0}} \right)^2} \\
v\left( t \right) = \dot x = 2a\left( {t - {t_0}} \right) \\
\ddot x = 2a \\
{v_m} = \frac{{x\left( t \right) - x\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}} = \frac{{a{{\left( {t - {t_0}} \right)}^2}}}{{t - {t_0}}} = a\left( {t - {t_0}} \right) \\
{v_{m\left[ {t,t + \Delta t} \right]}} = \frac{{x\left( {t + \Delta t} \right) - x\left( t \right)}}{{t + \Delta t - t}} = \frac{{b + a{{\left( {t + \Delta t - {t_0}} \right)}^2} - b - a{{\left( {t - {t_0}} \right)}^2}}}{{\Delta t}} = \\
= \frac{{a{{\left( {t - {t_0}} \right)}^2} + a\Delta {t^2} + 2a\Delta t\left( {t - {t_0}} \right) - a{{\left( {t - {t_0}} \right)}^2}}}{{\Delta t}} = \frac{{a\Delta {t^2} + 2a\Delta t\left( {t - {t_0}} \right)}}{{\Delta t}} = a\Delta t + 2a\left( {t - {t_0}} \right) \\
v\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \left[ {{v_{m\left[ {t,t + \Delta t} \right]}}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \left[ {a\Delta t + 2a\left( {t - {t_0}} \right)} \right] = 2a\left( {t - {t_0}} \right) \\
\end{array}\]
Ad ogni modo come puoi vedere a è semplicemente un parametro, mentre l'accelerazione in questo caso è 2a.
\[\begin{array}{l}
x\left( t \right) = b + a{\left( {t - {t_0}} \right)^2} \\
v\left( t \right) = \dot x = 2a\left( {t - {t_0}} \right) \\
\ddot x = 2a \\
{v_m} = \frac{{x\left( t \right) - x\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}} = \frac{{a{{\left( {t - {t_0}} \right)}^2}}}{{t - {t_0}}} = a\left( {t - {t_0}} \right) \\
{v_{m\left[ {t,t + \Delta t} \right]}} = \frac{{x\left( {t + \Delta t} \right) - x\left( t \right)}}{{t + \Delta t - t}} = \frac{{b + a{{\left( {t + \Delta t - {t_0}} \right)}^2} - b - a{{\left( {t - {t_0}} \right)}^2}}}{{\Delta t}} = \\
= \frac{{a{{\left( {t - {t_0}} \right)}^2} + a\Delta {t^2} + 2a\Delta t\left( {t - {t_0}} \right) - a{{\left( {t - {t_0}} \right)}^2}}}{{\Delta t}} = \frac{{a\Delta {t^2} + 2a\Delta t\left( {t - {t_0}} \right)}}{{\Delta t}} = a\Delta t + 2a\left( {t - {t_0}} \right) \\
v\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \left[ {{v_{m\left[ {t,t + \Delta t} \right]}}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \left[ {a\Delta t + 2a\left( {t - {t_0}} \right)} \right] = 2a\left( {t - {t_0}} \right) \\
\end{array}\]
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