Dubbio termodinamica
Salve ragazzi,
Ho un dubbio che mi affligge da tempo e non sono riuscito a fugare.
Vado subito al sodo. Consideriamo per semplicità un solido (ma il discorso non cambia per i gas ad esempio) e supponiamo che la sua dilatazione termica sia quasi nulla.
Potremmo scrivere il primo principio della termodinamica in questa maniera (considerando appunto $dV = 0$):
[tex]Q = \Delta U[/tex] oppure in termini differenziali [tex]\delta Q = dU[/tex]
Derivando ambo i membri dell'equazione rispetto alla temperatura:
[tex]{\delta Q \over dT} = {dU \over dT} = C[/tex]
Definiamo $C$ capacità termica del corpo e [tex]c = {C \over m}[/tex] calore specifico o capacità termica specifica.
Quindi:
[tex]U(T) = \int{C dT} + U_0[/tex] e considerando C costante per piccoli intervalli di temperatura [tex]U(T) = C \int{dT} + U_0[/tex]
Potremmo scrivere dunque:
[tex]\Delta{U} = C\Delta{T}[/tex]
Qui mi sorgono i dubbi. Nei testi si dice, considerando dunque l'equazione $ Q - W = \Delta U $ e sostituendo il valore di $\Delta U$ appena ricavato si ottiene:
[tex]Q - W = C\Delta{T}[/tex]
Ma l'espressione che abbiamo ricavato di $\Delta U$ non è valida solamente se il lavoro è nullo? Come possiamo "far finta di nulla" e ributtarla dentro l'equazione?
Stesso ragionamento si fa per i gas ideali. Prima si suppone che il volume sia costante e si ricava [tex]C_V = {1 \over n}{dU \over dT}[/tex] e $ \DeltaU = nC_{V}\Delta T$ e la si sostuisce nell'equazione generale ricavando:
[tex]Q - W = nC_V\Delta T[/tex]
Ma il lavoro non doveva essere nullo?
Non capisco quindi queste ipotesi molto restrittive che permettono di trovare risultati molto semplici che però dopo vengono "sbattuti" delle equazioni generali. Troppo facile!
PS Ovviamente non sto dicendo che sono sbagliati i testi, sono io che non capisco e che di sicuro da qualche parte sbaglio!
Ho un dubbio che mi affligge da tempo e non sono riuscito a fugare.
Vado subito al sodo. Consideriamo per semplicità un solido (ma il discorso non cambia per i gas ad esempio) e supponiamo che la sua dilatazione termica sia quasi nulla.
Potremmo scrivere il primo principio della termodinamica in questa maniera (considerando appunto $dV = 0$):
[tex]Q = \Delta U[/tex] oppure in termini differenziali [tex]\delta Q = dU[/tex]
Derivando ambo i membri dell'equazione rispetto alla temperatura:
[tex]{\delta Q \over dT} = {dU \over dT} = C[/tex]
Definiamo $C$ capacità termica del corpo e [tex]c = {C \over m}[/tex] calore specifico o capacità termica specifica.
Quindi:
[tex]U(T) = \int{C dT} + U_0[/tex] e considerando C costante per piccoli intervalli di temperatura [tex]U(T) = C \int{dT} + U_0[/tex]
Potremmo scrivere dunque:
[tex]\Delta{U} = C\Delta{T}[/tex]
Qui mi sorgono i dubbi. Nei testi si dice, considerando dunque l'equazione $ Q - W = \Delta U $ e sostituendo il valore di $\Delta U$ appena ricavato si ottiene:
[tex]Q - W = C\Delta{T}[/tex]
Ma l'espressione che abbiamo ricavato di $\Delta U$ non è valida solamente se il lavoro è nullo? Come possiamo "far finta di nulla" e ributtarla dentro l'equazione?
Stesso ragionamento si fa per i gas ideali. Prima si suppone che il volume sia costante e si ricava [tex]C_V = {1 \over n}{dU \over dT}[/tex] e $ \DeltaU = nC_{V}\Delta T$ e la si sostuisce nell'equazione generale ricavando:
[tex]Q - W = nC_V\Delta T[/tex]
Ma il lavoro non doveva essere nullo?
Non capisco quindi queste ipotesi molto restrittive che permettono di trovare risultati molto semplici che però dopo vengono "sbattuti" delle equazioni generali. Troppo facile!
PS Ovviamente non sto dicendo che sono sbagliati i testi, sono io che non capisco e che di sicuro da qualche parte sbaglio!
Risposte
Sono curioso di sapere di che testi parli, perché se si afferma in qualche testo esattamente quello che dici allora sarebbe grave.
L'uguagliare la variazione di energia interna al prodotto calore specifico (a volume costante per i gas) per variazione di temperatura, è corretto solo per gas perfetti, assolutamente non è vero per gas reali, per i solidi vale solo nel caso il solido avesse volume sempre costante (quindi non scambia lavoro). Infatti in un solido che mantenesse sempre fisso il proprio volume il calore assorbito sarebbe sempre pari alla variazione di energia interna.
Per gas perfetti quella espressione deriva dal cosiddetto secondo esperimento di Joule sull'espansione libera di gas perfetti. Da tale esperienza si osserva che l'espansione libera avviene sempre a temperatura costante da cui si deduce che l'energia interna di un gas perfetto è funzione solo della temperatura.
L'uguagliare la variazione di energia interna al prodotto calore specifico (a volume costante per i gas) per variazione di temperatura, è corretto solo per gas perfetti, assolutamente non è vero per gas reali, per i solidi vale solo nel caso il solido avesse volume sempre costante (quindi non scambia lavoro). Infatti in un solido che mantenesse sempre fisso il proprio volume il calore assorbito sarebbe sempre pari alla variazione di energia interna.
Per gas perfetti quella espressione deriva dal cosiddetto secondo esperimento di Joule sull'espansione libera di gas perfetti. Da tale esperienza si osserva che l'espansione libera avviene sempre a temperatura costante da cui si deduce che l'energia interna di un gas perfetto è funzione solo della temperatura.
"Faussone":
Sono curioso di sapere di che testi parli, perché se si afferma in qualche testo esattamente quello che dici allora sarebbe grave.
Il testo da cui ho praticamente "copiato" (sintetizzando) il procedimento che ho scritto è il Mencuccini-Silvestrini "Fisica I".
"Faussone":
L'uguagliare la variazione di energia interna al prodotto calore specifico (a volume costante per i gas) per variazione di temperatura, è corretto solo per gas perfetti, assolutamente non è vero per gas reali...
Intendevo i gas perfetti, ho corretto il precedente post.
"Faussone":
per i solidi vale solo nel caso il solido avesse volume sempre costante (quindi non scambia lavoro).
Eppure, come ho scritto prima, e come c'è scritto sul libro, parlando di solidi si conclude: $ Q - W = C\Delta T$.
Adesso non posso, semmai posso caricare una foto del paragrafo.
"Faussone":
Per gas perfetti quella espressione deriva dal cosiddetto secondo esperimento di Joule sull'espansione libera di gas perfetti. Da tale esperienza si osserva che l'espansione libera avviene sempre a temperatura costante da cui si deduce che l'energia interna di un gas perfetto è funzione solo della temperatura.
Questo l'ho capito. Sono d'accordo che $U$ è funzione della temperatura.
Ciò che non capisco, sono i passaggi matematici, che assumono che una quantità sia costante e poi invece utilizzano ciò che è stato ricavato come valido in generale.
Dire che per un gas ideale che ha volume costante [tex]\Delta U = nC_V\Delta{T}[/tex] è ok. Ma dire poi che questo vale per tutti i gas ideali in generale e scrivere [tex]Q - W = Q - PdV = nC_V\Delta{T}[/tex] non mi quadra. In questo caso il $dV$ (e quindi il lavoro $W$) non è più nullo!
"Emar":
Eppure, come ho scritto prima, e come c'è scritto sul libro, parlando di solidi si conclude: $ Q - W = C\Delta T$.
Adesso non posso, semmai posso caricare una foto del paragrafo.
Vorrrei vederlo, per i solidi potrebbe valere quella relazione, ma sotto opportune ipotesi/assunzioni.
"Emar":
Dire che per un gas ideale che ha volume costante [tex]\Delta U = nC_V\Delta{T}[/tex] è ok. Ma dire poi che questo vale per tutti i gas ideali in generale e scrivere [tex]Q - W = Q - PdV = nC_V\Delta{T}[/tex] non mi quadra. In questo caso il $dV$ (e quindi il lavoro $W$) non è più nullo!
Forse quello che ti manca sono i seguenti passaggi:
$u=u(T,v)$ (scelgo le due variabili di stato $T$ e $v$) quindi in generale:
$du=(\frac{\partial u}{\partial T})_v dT + (\frac{\partial u}{\partial v})_T dv = c_v dT + (\frac{\partial u}{\partial v})_T dv$
(Ho sostituito la derivata parziale con $c_v$ visto che tale derivata parziale si calcola a volume costante, quindi $du=delta q$.
Siccome per un gas ideale c'è dipendenza solo da $T$, in generale per un tale gas si avrà:
$du=c_v dT$.
Questo indipendentemente dal fatto che il gas scambi lavoro.
"Faussone":
[quote="Emar"]
Eppure, come ho scritto prima, e come c'è scritto sul libro, parlando di solidi si conclude: $ Q - W = C\Delta T$.
Adesso non posso, semmai posso caricare una foto del paragrafo.
Vorrrei vederlo, per i solidi potrebbe valere quella relazione, ma sotto opportune ipotesi/assunzioni.
[/quote]
Non volermene, ma neanche ora posso postarti l'immagine, stasera quando arriverò a casa magari.
"Faussone":
[quote="Emar"]
Dire che per un gas ideale che ha volume costante [tex]\Delta U = nC_V\Delta{T}[/tex] è ok. Ma dire poi che questo vale per tutti i gas ideali in generale e scrivere [tex]Q - W = Q - PdV = nC_V\Delta{T}[/tex] non mi quadra. In questo caso il $dV$ (e quindi il lavoro $W$) non è più nullo!
Forse quello che ti manca sono i seguenti passaggi:
$u=u(T,v)$ (scelgo le due variabili di stato $T$ e $v$) quindi in generale:
$du=(\frac{\partial u}{\partial T})_v dT + (\frac{\partial u}{\partial v})_T dv = c_v dT + (\frac{\partial u}{\partial v})_T dv$
(Ho sostituito la derivata parziale con $c_v$ visto che tale derivata parziale si calcola a volume costante, quindi $du=delta q$.
Siccome per un gas ideale c'è dipendenza solo da $T$, in generale per un tale gas si avrà:
$du=c_v dT$.
Questo indipendentemente dal fatto che il gas scambi lavoro.[/quote]
Già questo è un passo avanti. Rileggendo quest'argomento nel Fermi ("Termodinamica") mi sono schiarito leggermente le idee. Infatti piu' che il concetto in sé, è il procedimento sopra descritto che non mi quadra. Dicendo semplicemente, $U = f(T)$ per i gas perfetti, il ragionamento fila. Tentando invece, come nel procedimento sopra descritto, di ricavarlo facendo l'assunzione che il volume fosse costante era piu' confusionario.
Ci rifletterò meglio stasera. Ti ringrazio per la disponibilità!
PS mi scuso ma ho una tastiera UK e non ho la u accentata
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