Dubbio teorico su interpretazione della derivata seconda temporale
Mi piacerebbe porvi una domanda che da tempo non riesco formalmente a risolvermi.
Come mi è stato spiegato la derivata rispetto al tempo dello spostamento è la velocità e laderivata della velocità nel tempo prende il nome di accelerazione.
Fin qui tutto chiaro, iterando la derivazione due volte sullo spostamento giungo alla accelerazione.
Mi sorge però un dubbio sull'interpretazione che se ne fa in fisica degli infinitesimi.
Si parla infatti di ds piccolissimi del tipo in figura:
Il problema è che se volessi iterare quel che è uscito da dr/dt=v mi troverei in un imbarazzante problema, overo che nel medesimo lasso di tempo che è passato nello spostamento tra r ed r' non vi è alcun dv, devo cioè scegliere un dt più "grande" del precedente per iterare, solo così avrei:
Sperodi essermi minimamente spiegato
Grazie a tutti per l'aiuto
Come mi è stato spiegato la derivata rispetto al tempo dello spostamento è la velocità e laderivata della velocità nel tempo prende il nome di accelerazione.
Fin qui tutto chiaro, iterando la derivazione due volte sullo spostamento giungo alla accelerazione.
Mi sorge però un dubbio sull'interpretazione che se ne fa in fisica degli infinitesimi.
Si parla infatti di ds piccolissimi del tipo in figura:
Il problema è che se volessi iterare quel che è uscito da dr/dt=v mi troverei in un imbarazzante problema, overo che nel medesimo lasso di tempo che è passato nello spostamento tra r ed r' non vi è alcun dv, devo cioè scegliere un dt più "grande" del precedente per iterare, solo così avrei:
Sperodi essermi minimamente spiegato
Grazie a tutti per l'aiuto
Risposte
Prova a fare come faresti per una generica funzione, come si studia ad analisi 1: prendi il grafico della posizione in funzione del tempo. La funzione derivata prima sarà la velocità, la funzione derivata seconda sarà l'accelerazione.
In realtà a livello "funzionale" mi è chiaro, quel che non mi è chiaro è l'applicazione fisica come spiegavo prima. Intesa con il concetto di infinitesimi come si fa in fisica appunto, cioè molto meno formale. E non mi torna quanto illustrato in figura. Insomma i dt infinitesimi per la seconda derivazione devono essere maggiori o non avrei variazione al suo interno di v. Non so se mi sono spiegato.
Non c'è bisogno di infinitesimi "più grandi".
Secondo me, tu sbagli nel voler usare un solo schema. Prendi il caso semplice di un moto circolare uniforme
Nella figura A
hai i due vettori posizione, s1 e s2, la loro differenza ds1 (la velocità ha la direzione di ds1), e l'altra coppia s2 e s3, con la relativa differenza ds2
Ora, i due vettori velocità non li devi vedere nello stesso schema, ma li devi riportare in un altro (figura B) dove segni i vettori v1 e v2, nella direzione di ds1 e ds2, con la loro differenza dv, che ti dà la direzione dell'accelerazione
Secondo me, tu sbagli nel voler usare un solo schema. Prendi il caso semplice di un moto circolare uniforme
Nella figura A
hai i due vettori posizione, s1 e s2, la loro differenza ds1 (la velocità ha la direzione di ds1), e l'altra coppia s2 e s3, con la relativa differenza ds2
Ora, i due vettori velocità non li devi vedere nello stesso schema, ma li devi riportare in un altro (figura B) dove segni i vettori v1 e v2, nella direzione di ds1 e ds2, con la loro differenza dv, che ti dà la direzione dell'accelerazione
@mgrau
Ho capito il tuo esempio, però mi chiedo: quando faccio la derivata seconda (matematicamente parlando) non "mi sposto" puntualmente sulla funzione, sono nel medesimo punto, invece seguendo il tuo suggerimento mi pare che io stia analizzando due velocità in due istanti successivi e ne valuti il loro cambiamento (diciamo in un punto s e in un punto s' distinti.
Sbaglio?
Insomma: valutare la variazione di s in un dato dt, mi impedisce di valutarne la variazione di v in quel medesimo dt. In realtà a riconferma facendo l'integrale nel momento in cui scrivo v*dt quel v è costante e non variabile in quel piccolo dt.
Scusa la poca chiarezza, ma fatico a trovare parole adatte.Se non fosse chiaro rispiego. Fammi sapere
Grazie per le spiegazioni ragazzi
Ho capito il tuo esempio, però mi chiedo: quando faccio la derivata seconda (matematicamente parlando) non "mi sposto" puntualmente sulla funzione, sono nel medesimo punto, invece seguendo il tuo suggerimento mi pare che io stia analizzando due velocità in due istanti successivi e ne valuti il loro cambiamento (diciamo in un punto s e in un punto s' distinti.
Sbaglio?
Insomma: valutare la variazione di s in un dato dt, mi impedisce di valutarne la variazione di v in quel medesimo dt. In realtà a riconferma facendo l'integrale nel momento in cui scrivo v*dt quel v è costante e non variabile in quel piccolo dt.
Scusa la poca chiarezza, ma fatico a trovare parole adatte.Se non fosse chiaro rispiego. Fammi sapere
Grazie per le spiegazioni ragazzi
Pensa di voler studiare sperimentalmente un moto, unidimensionale, cioè su una retta.
Prima, scatti due foto al punto materiale, una all'inizio e una alla fine del moto.
Misuri il tempo che è passato tra le due foto, misuri la distanza che ha percorso il punto materiale, e ottieni una certa informazione.
Poi però non ti accontenti più di quel livello di informazione, in effetti non sai di preciso cosa è successo mentre il punto si è spostato: può essere andato sempre in avanti, o magari è andato avanti, poi indietro, poi di nuovo avanti...
Allora come si fa?
Scatti più foto all'interno di quell'evento, misuri i tempi tra ogni foto e le distanze percorse, così capisci meglio come si muove il punto.
A un certo punto scatterai talmente tante foto durante quell'evento, che ci saranno da misurare tempi e distanze piccolissime, idealmente infinitesime, supponendo che tu possa misurare queste distanze infinitesime e questi tempi infinitesimi, farai il rapporto e otterrai l'informazione più precisa possibile. Il tempo misurato sarà talmente piccolo che lo possiamo chiamare istante, e la velocità la chiameremo velocità istantanea, cioè, riferita a quell'istante in cui hai fatto le misure.
Correggetemi se ho sbagliato qualcosa.
Si fa un discorso simile quando si introduce la derivata ad analisi 1.
Prima, scatti due foto al punto materiale, una all'inizio e una alla fine del moto.
Misuri il tempo che è passato tra le due foto, misuri la distanza che ha percorso il punto materiale, e ottieni una certa informazione.
Poi però non ti accontenti più di quel livello di informazione, in effetti non sai di preciso cosa è successo mentre il punto si è spostato: può essere andato sempre in avanti, o magari è andato avanti, poi indietro, poi di nuovo avanti...
Allora come si fa?
Scatti più foto all'interno di quell'evento, misuri i tempi tra ogni foto e le distanze percorse, così capisci meglio come si muove il punto.
A un certo punto scatterai talmente tante foto durante quell'evento, che ci saranno da misurare tempi e distanze piccolissime, idealmente infinitesime, supponendo che tu possa misurare queste distanze infinitesime e questi tempi infinitesimi, farai il rapporto e otterrai l'informazione più precisa possibile. Il tempo misurato sarà talmente piccolo che lo possiamo chiamare istante, e la velocità la chiameremo velocità istantanea, cioè, riferita a quell'istante in cui hai fatto le misure.
Correggetemi se ho sbagliato qualcosa.
Si fa un discorso simile quando si introduce la derivata ad analisi 1.
Ti ringrazio per la spiegazione che fa sempre bene, però quello mi è abbastanza chiaro ti dirò, credo il mio dubbio risieda altrove. La spiegazione che aveva dato mgrau sopra aveva centrato il punto.
Solo che mi pare, parlando a livello infinitesimo sempre, che facendo come suggerisce, io stia considerando due velocità in due istanti ds infinitesimi diversi, infatti parlava di ds1 e ds2. poi da quel chemi esce dal rapporto ds1 su dt e ds2 su dt trovo due velocità istantanee diverse da cui posso fare dv/dt a sua volta.
E quindi mi chiedevo: ma così facendo io non sto considerando due velocità in due punti diversi? Mentre matematicamente la derivata seconda è fatta nel medesimo punto della funzione s(t).
Di contro, facendo come faccio io, invece, arrivo al paradosso intuitivo che nel medesimo lasso di tempo dt infinitesimo ottengo ds/dt=v ed essendo costante per quel dt non potrò fare v/dt: in quel dt è costante (devo prenderne per forza due successivi come suggeriva, o un infinitesimo "più grande" dt come dicevo all'inizio, non vedo altre strade).
Forse è più chiaro ora?
Spero, e scusa la mia incapacità nell'esprimermi
Solo che mi pare, parlando a livello infinitesimo sempre, che facendo come suggerisce, io stia considerando due velocità in due istanti ds infinitesimi diversi, infatti parlava di ds1 e ds2. poi da quel chemi esce dal rapporto ds1 su dt e ds2 su dt trovo due velocità istantanee diverse da cui posso fare dv/dt a sua volta.
E quindi mi chiedevo: ma così facendo io non sto considerando due velocità in due punti diversi? Mentre matematicamente la derivata seconda è fatta nel medesimo punto della funzione s(t).
Di contro, facendo come faccio io, invece, arrivo al paradosso intuitivo che nel medesimo lasso di tempo dt infinitesimo ottengo ds/dt=v ed essendo costante per quel dt non potrò fare v/dt: in quel dt è costante (devo prenderne per forza due successivi come suggeriva, o un infinitesimo "più grande" dt come dicevo all'inizio, non vedo altre strade).
Forse è più chiaro ora?
Spero, e scusa la mia incapacità nell'esprimermi
"maltos":
Ti ringrazio per la spiegazione che fa sempre bene, però quello mi è abbastanza chiaro ti dirò, credo il mio dubbio risieda altrove. La spiegazione che avevi dato sopra aveva centrato il punto.
Solo che mi pare, parlando a livello infinitesimo sempre, che facendo come suggerisci tu, io stia considerando due velocità in due istanti ds infinitesimi diversi, infatti parlavi di ds1 e ds2 tu stesso. poi da quel chemi esce dal rapporto ds1 su dt e ds2 su dt trovo due velocità istantanee diverse da cui posso fare dv/dt a sua volta.
E quindi mi chiedevo: ma così facendo io non sto considerando due velocità in due punti diversi? Mentre matematicamente la derivata seconda è fatta nel medesimo punto della funzione s(t).
Di contro, facendo come faccio io, invece, arrivo al paradosso intuitivo che nel medesimo lasso di tempo dt infinitesimo ottengo ds/dt=v ed essendo costante per quel dt non potrò fare v/dt: in quel dt è costante (devo prenderne per forza due successivi come suggerivi, o un un finitesimo "più grande" dt come dicevo all'inizio, non vedo altre strade).
Forse è più chiaro ora?
Spero, e scusa la mia incapacità nell'esprimermi
Ogni punto ha la sua velocità istantanea, è lo stesso che dire che in ogni punto puoi calcolare la pendenza della tangente al grafico spazio-tempo. La pendenza è la velocità istantanea in quel punto.
"maltos":
E quindi mi chiedevo: ma così facendo io non sto considerando due velocità in due punti diversi? Mentre matematicamente la derivata seconda è fatta nel medesimo punto della funzione s(t).
Sì, certo... ma per l'appunto le differenze sono infinitesimi, quindi li possiamo considerare lo stesso punto... A dir la verità, io sono un fisico e non un matematico, e non mi appassiono tanto a queste faccende...
Mi perdonino i puristi, se possono...
@mgrau
Il fatto è che se chiedessi a un matematico avrei interpretazione matematica e non fisica temo. Ho letto altre discussioni sul forum proprio inerenti al concetto di infinitesimi in fisica (ma anche in ingegneria) e si inizia a parlare di differenze tangibili rispetto alla impostazione di analisi matematica.
In matematica quanto fa il mazzoldi solo nelle prime pagine comportano defenestrazione (algebra degli infinitesimi, semplificazioni di ds e spostamenti ambigui in equazioni differenziali per dire alcune
)
Purtroppo sono ancora un liceale e non posso confrontarmi se non con compagni orientati per futuri professionali differenti). Per questo cercavo il parere di un fisico.
Il fatto è che se chiedessi a un matematico avrei interpretazione matematica e non fisica temo. Ho letto altre discussioni sul forum proprio inerenti al concetto di infinitesimi in fisica (ma anche in ingegneria) e si inizia a parlare di differenze tangibili rispetto alla impostazione di analisi matematica.
In matematica quanto fa il mazzoldi solo nelle prime pagine comportano defenestrazione (algebra degli infinitesimi, semplificazioni di ds e spostamenti ambigui in equazioni differenziali per dire alcune
)Purtroppo sono ancora un liceale e non posso confrontarmi se non con compagni orientati per futuri professionali differenti). Per questo cercavo il parere di un fisico.
@ maltos
Vorrei aggiungere qualcosa alle spiegazioni già date. Certamente sai che l'accelerazione di gravità , in un certo punto della Terra, è costante , uguale per tutti i corpi, e vale circa $10 m/s^2$ ( per la precisione , 9.81 m/s^2 , ma ora non mi serve essere preciso) . Che vuol dire ? Fai cadere un oggetto da una certa altezza , da fermo . Supponi di poter misurare le velocità istantanee in qualsiasi istante . Dopo un secondo , la velocità istantanea è diventata $10 m/s$ ; dopo 2 secondi , è $20 m/s$ ; dopo tre secondi , è $30 m/s$ ; e cosí via .
Ma $1s$ é un intervallo di tempo troppo grande , il corpo si é spostato nel frattempo dal punto zero al punto distante $5m$ da questo. Quindi , la prima velocità istantanea che misuri, cioé i $10 m/s$ , la misuri a distanza di ben $5m$ dal punto di partenza . Dovresti diminuire l'intervallo di tempo, per fare valutazioni più precise.
Allora, prendi un certo istante $t_0$ prefissato, nel quale misuri la velocità istantanea; poi prendi un intervallo finito di tempo $Deltat$ , e misura la velocità nell'istante $t_0+Deltat$ . Fai la differenza $ v(t_0+Deltat) - v(t_0) $ , e dividila per l'intervallo finito $Deltat $ anzidetto . Questo rapporto :
$(v(t_0+Deltat) - v(t_0))/(Deltat) $
si chiama , come sai dall'analisi , rapporto incrementale della velocità , o meglio della funzione $v(t)$, nell'istante $t_0$, ed è manifestamente un rapporto tra la variazione di velocità nei due istanti prefissati : $t_0$ e $(t_0 + Deltat)$ e il corrispondente $Deltat$ . Rappresenta quindi una "variazione media " di velocità in quell'intervallo .
Adesso, prendi $Deltat$ sempre più piccolo . Matematicamente ti direi di calcolare il limite di quel rapporto incrementale , facendo tendere $Deltat \rightarrow 0 $ : ottieni un "valore istantaneo " della variazione di velocità nel tempo, determinato nell' istante $t_0$ . Ma io ti dico di fare delle misure di velocitá a istanti di tempo sempre più ravvicinati , quindi è solo un procedimento fisico.
Ci puoi scommettere, questo limite è uguale a $g = 10 m/s^2$ , e non ti sei spostato di un centimetro .
Vorrei aggiungere qualcosa alle spiegazioni già date. Certamente sai che l'accelerazione di gravità , in un certo punto della Terra, è costante , uguale per tutti i corpi, e vale circa $10 m/s^2$ ( per la precisione , 9.81 m/s^2 , ma ora non mi serve essere preciso) . Che vuol dire ? Fai cadere un oggetto da una certa altezza , da fermo . Supponi di poter misurare le velocità istantanee in qualsiasi istante . Dopo un secondo , la velocità istantanea è diventata $10 m/s$ ; dopo 2 secondi , è $20 m/s$ ; dopo tre secondi , è $30 m/s$ ; e cosí via .
Ma $1s$ é un intervallo di tempo troppo grande , il corpo si é spostato nel frattempo dal punto zero al punto distante $5m$ da questo. Quindi , la prima velocità istantanea che misuri, cioé i $10 m/s$ , la misuri a distanza di ben $5m$ dal punto di partenza . Dovresti diminuire l'intervallo di tempo, per fare valutazioni più precise.
Allora, prendi un certo istante $t_0$ prefissato, nel quale misuri la velocità istantanea; poi prendi un intervallo finito di tempo $Deltat$ , e misura la velocità nell'istante $t_0+Deltat$ . Fai la differenza $ v(t_0+Deltat) - v(t_0) $ , e dividila per l'intervallo finito $Deltat $ anzidetto . Questo rapporto :
$(v(t_0+Deltat) - v(t_0))/(Deltat) $
si chiama , come sai dall'analisi , rapporto incrementale della velocità , o meglio della funzione $v(t)$, nell'istante $t_0$, ed è manifestamente un rapporto tra la variazione di velocità nei due istanti prefissati : $t_0$ e $(t_0 + Deltat)$ e il corrispondente $Deltat$ . Rappresenta quindi una "variazione media " di velocità in quell'intervallo .
Adesso, prendi $Deltat$ sempre più piccolo . Matematicamente ti direi di calcolare il limite di quel rapporto incrementale , facendo tendere $Deltat \rightarrow 0 $ : ottieni un "valore istantaneo " della variazione di velocità nel tempo, determinato nell' istante $t_0$ . Ma io ti dico di fare delle misure di velocitá a istanti di tempo sempre più ravvicinati , quindi è solo un procedimento fisico.
Ci puoi scommettere, questo limite è uguale a $g = 10 m/s^2$ , e non ti sei spostato di un centimetro .
Ringrazio molto anche te per la spiegazione.
Diciamo che il mio problema è più intuitivo che nella formalità. Insomma, quello che mi stona è che non capisco come un rapporto incrementale frutto di una variazione su un tempo $(s_2-s_1)/(t_2-t_1)$ al suo limite che mi da v possa nello stesso istante dt nel caso successivo ($d^2(s)/dt^2$) avere una variazione, scrivo nel finito solo per rendere più facile capire il dubbio:
${(s_2-s_1)/(t_2-t_1)}/(t_2-t_1)$
Nel finito non funzionerebbe perché la quantità a numeratore sarebbe costante. Poi a livello matematico lo vedo bene, è a livello di intuizione con ds dt e dv come "pezzettini" che non lo vedo.
Diciamo che il mio problema è più intuitivo che nella formalità. Insomma, quello che mi stona è che non capisco come un rapporto incrementale frutto di una variazione su un tempo $(s_2-s_1)/(t_2-t_1)$ al suo limite che mi da v possa nello stesso istante dt nel caso successivo ($d^2(s)/dt^2$) avere una variazione, scrivo nel finito solo per rendere più facile capire il dubbio:
${(s_2-s_1)/(t_2-t_1)}/(t_2-t_1)$
Nel finito non funzionerebbe perché la quantità a numeratore sarebbe costante. Poi a livello matematico lo vedo bene, è a livello di intuizione con ds dt e dv come "pezzettini" che non lo vedo.
Nel finito non funzionerebbe perché la quantità a numeratore sarebbe costante
Funziona quando questo finito è molto piccolo , infinitesimo (speriamo che i matematici non mi mangino ...
) , perchè nell'infinitesimo il rapporto lo puoi considerare costante. È proprio per questo che si considerano i vari dt , ds , dv , dA ....ecc
Okok quindi in sostanza è come dicevamo in precedenza,è possibile negli infinitesimi
Vi ringrazio perché non sapevo proprio a chi chiedere per avere conferme.
Fatico spesso a trasmettere il formalismo imparato nell'analisichetta liceale (la chiamo così perché credo sia la punta di un iceberg universitario) alla meccanica del mazzoldi, non so se sia un ottimo libro o meno, però un mio amico di ingegneria (più grande di me di un anno) me l'ha prestato proprio in vista della mia futura scelta universitaria e leggendolo ho trovato più complesso capire questi concetti che altre formule.
Grazie ragazzi
Vi ringrazio perché non sapevo proprio a chi chiedere per avere conferme.
Fatico spesso a trasmettere il formalismo imparato nell'analisichetta liceale (la chiamo così perché credo sia la punta di un iceberg universitario) alla meccanica del mazzoldi, non so se sia un ottimo libro o meno, però un mio amico di ingegneria (più grande di me di un anno) me l'ha prestato proprio in vista della mia futura scelta universitaria e leggendolo ho trovato più complesso capire questi concetti che altre formule.
Grazie ragazzi
Il mencuccini silvestrini aveva la bella abitudine di introdurre la matematica alla base dei concetti che avrebbe spiegato nel paragrafo successivo. Ci ho studiato Analisi I su quel testo di Fisica......
Ho trovato questo link generosamente offerto dall' unina, sarebbe lui?
http://unina.stidue.net/Fisica%20Genera ... ca%201.pdf
http://unina.stidue.net/Fisica%20Genera ... ca%201.pdf
@pk
Non si possono mettere due libri in uno come hanno fatto loro ...
... (è una battuta ma fino a un certo punto ... 
)
Non si possono mettere due libri in uno come hanno fatto loro ...
... (è una battuta ma fino a un certo punto ... )
Alex, non sono due libri in uno. È il primo volume del MS , che comprende Meccanica e Termodinamica. Si vede che non lo conosci. Ottimo libro , maltos!
Primo: era una battuta (e l'ho anche scritto) ... e secondo: quel libro di Fisica è veramente "inframezzato" da un libro di Matematica (e questo non è detto che sia il metodo migliore per tutti )
)
Trovo invece che i richiami d matematica siano molto utili, specie per quegli studenti che magari hanno bisogno sul momento di nozioni non ancora apprese nei corsi di analisi , o negli studi delle superiori .
Punti di vista...
Punti di vista...
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