Dubbio Teorema di Gauss
Il teorema di Gauss dice che, se ho una superfice chiusa $S$ "immersa" in un campo elettrico $\vecE$ allora
$\phi_E(S)=(q_{InternaS})/(\epsilon_0)$
Il dubbio che ho è:
per "carica interna ad S" si intende la carica contenuta anche nel bordo (cioè la carica che sta proprio su S)
oppure la carica escludendo quella che c'è sul bordo?
---------------------------------------------------
Ad esempio, se ho una sfera piena conduttrice $A$ in equilibrio elettrostatico caricata con carica $q$, se considero la superfice
$S$ coincidente proprio con quella di $A$ e applico Gauss, posso dire che $q_{InternaS}=0$?
Grazie a tutti!
$\phi_E(S)=(q_{InternaS})/(\epsilon_0)$
Il dubbio che ho è:
per "carica interna ad S" si intende la carica contenuta anche nel bordo (cioè la carica che sta proprio su S)
oppure la carica escludendo quella che c'è sul bordo?
---------------------------------------------------
Ad esempio, se ho una sfera piena conduttrice $A$ in equilibrio elettrostatico caricata con carica $q$, se considero la superfice
$S$ coincidente proprio con quella di $A$ e applico Gauss, posso dire che $q_{InternaS}=0$?
Grazie a tutti!
Risposte
Questo è lo stesso dubbio che ho avuto pure io! E infatti pure tu sei un matematico, no? 
Abbiamo avuto pure la stessa formazione: docenti come Giuseppe Muni, Francesco Altomare...
Ma qui non si ragiona in questi termini. Se vai a fare questa domanda ad un fisico quello si mette a ridere, perché ai suoi occhi la questione è di lana caprina. Infatti, l'esistenza di cariche puntiformi, concentrate cioè in un punto solo, è una idealizzazione matematica comoda in molti casi (come scrivere la legge di Coulomb, sennò?) ma comunque una idealizzazione da non prendere troppo sul serio. Un modello più realistico prevede sempre cariche distribuite, descritte da una funzione densità di carica [tex]\rho=\rho(x, y, z)[/tex] regolare a volontà (*).
In questo modello la questione è completamente irrilevante. Dire che ci sono cariche sul bordo della superficie equivale a dire che $\rho$ non si annulla sul suddetto bordo. Tuttavia il contributo alla carica totale dovuto a questo è pari a $int_{"bordo di "S}\rho(x, y, z)dxdydz$, ovvero a $0$ dal momento che il bordo di $S$ è un insieme di misura nulla. Quindi il risultato è sempre lo stesso, che tu voglia includere le cariche sul bordo o no.
D'altra parte, se proprio vogliamo ragionare con le cariche puntiformi, metterne una sul bordo della superficie $S$ non è una grande idea. Prendiamo ad esempio un campo coulombiano
$vec{E}=1/(4pi epsilon_0} q/r^2 frac{\vec{r}}{r}$
e una superficie $S$ che passi dall'origine. Mi mette in difficoltà calcolare
$intint_{S} 1/(4pi epsilon_0} q/r^2 frac{\vec{r}}{r}cdot dvec{S}$,
dal momento che la funzione integranda non è continua in tutto il dominio di integrazione, ma ha addirittura una singolarità (=un "punto di infinito", per intenderci). Quindi, nel dubbio, meglio non mettere cariche puntiformi giusto sul bordo delle nostre superfici test.
_________________
(*) In realtà la richiesta necessaria è $rho \in L^1(RR^3)$. In effetti, queste sono delle misure, più che delle funzioni. In questo contesto si può dare un senso anche alle cariche puntiformi, che si descrivono mediante $delta$ di Dirac.
Abbiamo avuto pure la stessa formazione: docenti come Giuseppe Muni, Francesco Altomare... Ma qui non si ragiona in questi termini. Se vai a fare questa domanda ad un fisico quello si mette a ridere, perché ai suoi occhi la questione è di lana caprina. Infatti, l'esistenza di cariche puntiformi, concentrate cioè in un punto solo, è una idealizzazione matematica comoda in molti casi (come scrivere la legge di Coulomb, sennò?) ma comunque una idealizzazione da non prendere troppo sul serio. Un modello più realistico prevede sempre cariche distribuite, descritte da una funzione densità di carica [tex]\rho=\rho(x, y, z)[/tex] regolare a volontà (*).
In questo modello la questione è completamente irrilevante. Dire che ci sono cariche sul bordo della superficie equivale a dire che $\rho$ non si annulla sul suddetto bordo. Tuttavia il contributo alla carica totale dovuto a questo è pari a $int_{"bordo di "S}\rho(x, y, z)dxdydz$, ovvero a $0$ dal momento che il bordo di $S$ è un insieme di misura nulla. Quindi il risultato è sempre lo stesso, che tu voglia includere le cariche sul bordo o no.
D'altra parte, se proprio vogliamo ragionare con le cariche puntiformi, metterne una sul bordo della superficie $S$ non è una grande idea. Prendiamo ad esempio un campo coulombiano
$vec{E}=1/(4pi epsilon_0} q/r^2 frac{\vec{r}}{r}$
e una superficie $S$ che passi dall'origine. Mi mette in difficoltà calcolare
$intint_{S} 1/(4pi epsilon_0} q/r^2 frac{\vec{r}}{r}cdot dvec{S}$,
dal momento che la funzione integranda non è continua in tutto il dominio di integrazione, ma ha addirittura una singolarità (=un "punto di infinito", per intenderci). Quindi, nel dubbio, meglio non mettere cariche puntiformi giusto sul bordo delle nostre superfici test.
_________________
(*) In realtà la richiesta necessaria è $rho \in L^1(RR^3)$. In effetti, queste sono delle misure, più che delle funzioni. In questo contesto si può dare un senso anche alle cariche puntiformi, che si descrivono mediante $delta$ di Dirac.
il campo elettrostatico è nullo anche sulla superficie del conduttore, oltre che al suo interno, quindi è nullo anche il flusso se come superficie prendi proprio quella del conduttore.
scusa dissonance, non avevo visto la tua risposta
scusa dissonance, non avevo visto la tua risposta
"dissonance":
(*) In realtà la richiesta necessaria è $rho \in L^1(RR^3)$. In effetti, queste sono delle misure, più che delle funzioni. In questo contesto si può dare un senso anche alle cariche puntiformi, che si descrivono mediante $delta$ di Dirac.
In questo modello la questione è completamente irrilevante. Dire che ci sono cariche sul bordo della superficie equivale a dire che $\rho$ non si annulla sul suddetto bordo. Tuttavia il contributo alla carica totale dovuto a questo è pari a $int_{"bordo di "S}\rho(x, y, z)dxdydz$, ovvero a $0$ dal momento che il bordo di $S$ è un insieme di misura nulla. Quindi il risultato è sempre lo stesso, che tu voglia includere le cariche sul bordo o no.
Se tu consideri la densità di carica come una misura allora questo non è vero: ad esempio se prendi una sottovarietà di [tex]\mathbb{R}^3[/tex] con bordo, [tex]\Omega[/tex], contenente una distribuzione di carica:
[tex]\rho = \rho_d \mathcal{L}^3 + \sigma \mathcal{H}^2 \lfloor \partial\Omega[/tex],
dove [tex]\rho_d \in L^1(\Omega)[/tex], [tex]\sigma \in L^1(\partial \Omega)[/tex] e [tex]\mathcal{L}^3[/tex] e [tex]\mathcal{H}^2 \lfloor \partial\Omega[/tex] sono rispettivamente la misura di Lebesgue in [tex]\mathbb{R}^3[/tex] e la restrizione della misura di Hausdorff sul bordo di [tex]\Omega[/tex].
Allora per definizione:
[tex]\int_\Omega \rho := \int_\Omega \rho_d \mathrm{d} \mathcal{L}^3 + \int_{\partial\Omega} \sigma \mathrm{d} \mathcal{H}^2[/tex]
e la legge di Gauss ti dice che il campo elettrico è un vettore debolmente differenziabile la cui divergenza è una misura di Radon: [tex]\mathrm{div} \mathbf{E} = 4 \pi \rho[/tex] ovvero(*):
[tex]\int_{\partial \Omega} \mathbf{E} \cdot \mathbf{n} \mathrm{d} \mathcal{H}^2 := \int_{\Omega} \mathrm{div} \mathbf{E} =4 \pi \int_\Omega \rho_d \mathrm{d} \mathcal{L}^3 + 4\pi\int_{\partial\Omega} \sigma \mathrm{d} \mathcal{H}^2[/tex]
Quindi in conclusione. Le cariche concentrate al bordo, se ci sono, entrano nel calcolo del flusso di [tex]\mathbf{E}[/tex]. Non vanno escluse.
Questo caso delle cariche superficiali può sembrare un po' artificiale, ma mi è capitato di vederlo usato. Inoltre il teorema di Gauss è utile anche in contesti, diversi dall'elettrodinamica, in cui una "distribuzione superficiale" corrisponde a una situazione fisica perfettamente sensata (ad esempio nello studio delle leggi di conservazione (**)). Per cui vale la pena di notare questa distinzione.
-----------
(*) Non ho messo a caso il simbolo [tex]:=[/tex]: in certi contesti la traccia normale al bordo è *definita* a partire dal teorema della divergenza.
(**) E.g. vedi Chen et al. 2008.
"enr87":
il campo elettrostatico è nullo anche sulla superficie del conduttore
Non ho capito perchè.
Noi a lezione abbiamo detto che il campo è nullo solo all'interno (per definizione di conduttore), ma non sulla superficie.
In superficie abbiamo invece fatto vedere che è nullo il prodotto scalare
$ vecE * dvecs $
e abbiamo poi utilizzato questo fatto per far vedere che il potenziale è costante su tutto il conduttore.
"dissonance":
Questo è lo stesso dubbio che ho avuto pure io! E infatti pure tu sei un matematico, no?
Eh sì, purtroppo queste "pignolerie" sono ereditarie...
NB: Per il resto della questione, aspetto di vedere tutti gli altri (eventuali ) interventi per commentare,
se non ti spiace.
se non ti spiaceMa figurati!
Comunque, io vorrei riassumere un po' quanto dicevo prima. Queste "pignolerie" non sono stupidaggini, tanto è vero che una trattazione precisa nell'ambito della fisica matematica ne tiene conto, come possiamo leggere nel post di david_e. (*)
Ma siccome conosco il corso di elettromagnetismo che stai affrontando, perché è lo stesso da cui sono passato pure io, ti dico di non fissartici troppo. Meglio concentrarsi sulla natura fisica dei fenomeni che stai studiando piuttosto che sulla bontà della loro rappresentazione matematica. Questo viene in un secondo momento.
"dissonance":se non ti spiaceMa figurati!
...siccome conosco il corso di elettromagnetismo che stai affrontando, perché è lo stesso da cui sono passato pure io, ti dico di non fissartici troppo. Meglio concentrarsi sulla natura fisica dei fenomeni che stai studiando piuttosto che sulla bontà della loro rappresentazione matematica. Questo viene in un secondo momento.
Sì, hai ragione. Comunque alla fine mi conforta il fatto che perlomeno le questioni che mi pongo sono legittime ed
effettivamente non del tutto chiare nella formulazione dell'elettrostatica che sto affrontando ora.
In effetti, uno dei problemi principali che ho affrontando questo corso è che a volte i dubbi che ho possono effettivamente essere
chiariti utilizzando gli strumenti tipici di un corso di Fisica 2; altre volte no.
Questo problema in genere non si presenta nei corsi di matematica pura (analisi, algebra, geometria, etc...)
Insomma: devo accettare il fatto di non poter capire tutto subito!!
"dark121it":
[quote="enr87"]il campo elettrostatico è nullo anche sulla superficie del conduttore
Non ho capito perchè.
Noi a lezione abbiamo detto che il campo è nullo solo all'interno (per definizione di conduttore), ma non sulla superficie.
In superficie abbiamo invece fatto vedere che è nullo il prodotto scalare
$ vecE * dvecs $
e abbiamo poi utilizzato questo fatto per far vedere che il potenziale è costante su tutto il conduttore.[/quote]
scusa, ho detto io una cretinata. volevo dire la componente del campo parallela alla superficie, per cui è corretto quello che dici tu.
ad ogni modo il suggerimento che ti do è questo: bisogna tenere presente che il teorema di gauss si pone come scopo principalmente quello di determinare il campo di alcune distribuzioni di carica in condizioni particolari di simmetria.
ti porto un esempio che mi hanno fatto, e penso avranno fatto anche a te: hai una sfera di materiale conduttore carica, e vuoi calcolarti il campo all'esterno. quello che viene naturale fare è prendere come superficie gaussiana una sfera di raggio maggiore (perchè così è facile calcolare il flusso, visto che E è ortogonale alla sfera) e usare il t di gauss per trovarsi il campo.
se dovessi calcolarti il flusso senza passare per gauss, troveresti che tale flusso è diverso da 0 anche se lo calcoli sulla superficie del conduttore. questo suggerisce che devi tenere conto delle cariche sulla superficie del conduttore quando usi gauss
"enr87":
[quote="dark121it"][quote="enr87"]il campo elettrostatico è nullo anche sulla superficie del conduttore
Non ho capito perchè.
Noi a lezione abbiamo detto che il campo è nullo solo all'interno (per definizione di conduttore), ma non sulla superficie.
In superficie abbiamo invece fatto vedere che è nullo il prodotto scalare
$ vecE * dvecs $
e abbiamo poi utilizzato questo fatto per far vedere che il potenziale è costante su tutto il conduttore.[/quote]
scusa, ho detto io una cretinata. volevo dire la componente del campo parallela alla superficie, per cui è corretto quello che dici tu.
ad ogni modo il suggerimento che ti do è questo: bisogna tenere presente che il teorema di gauss si pone come scopo principalmente quello di determinare il campo di alcune distribuzioni di carica in condizioni particolari di simmetria.
ti porto un esempio che mi hanno fatto, e penso avranno fatto anche a te: hai una sfera di materiale conduttore carica, e vuoi calcolarti il campo all'esterno. quello che viene naturale fare è prendere come superficie gaussiana una sfera di raggio maggiore (perchè così è facile calcolare il flusso, visto che E è ortogonale alla sfera) e usare il t di gauss per trovarsi il campo.
se dovessi calcolarti il flusso senza passare per gauss, troveresti che tale flusso è diverso da 0 anche se lo calcoli sulla superficie del conduttore. questo suggerisce che devi tenere conto delle cariche sulla superficie del conduttore quando usi gauss[/quote]
Sì, sì questo mi è chiaro. Però se noti il mio dubbio riguardava un altra cosa.
"dark121it":
Il dubbio che ho è:
per "carica interna ad S" si intende la carica contenuta anche nel bordo (cioè la carica che sta proprio su S)
oppure la carica escludendo quella che c'è sul bordo?
---------------------------------------------------
Ad esempio, se ho una sfera piena conduttrice $A$ in equilibrio elettrostatico caricata con carica $q$, se considero la superfice
$S$ coincidente proprio con quella di $A$ e applico Gauss, posso dire che $q_{InternaS}=0$?
mi pareva che il tuo dubbio riguardasse questo invece, nelle ultime due righe del mio post precedente in pratica ti ho detto che non puoi porre la carica interna uguale a 0.
mi pare sia la stesa opinione di david_e, anche se non capisco la matematica che ha usato
"enr87":
[quote="dark121it"]
Il dubbio che ho è:
per "carica interna ad S" si intende la carica contenuta anche nel bordo (cioè la carica che sta proprio su S)
oppure la carica escludendo quella che c'è sul bordo?
---------------------------------------------------
Ad esempio, se ho una sfera piena conduttrice $A$ in equilibrio elettrostatico caricata con carica $q$, se considero la superfice
$S$ coincidente proprio con quella di $A$ e applico Gauss, posso dire che $q_{InternaS}=0$?
mi pareva che il tuo dubbio riguardasse questo invece, nelle ultime due righe del mio post precedente in pratica ti ho detto che non puoi porre la carica interna uguale a 0.
mi pare sia la stesa opinione di david_e, anche se non capisco la matematica che ha usato[/quote]
Allora non avevo capito io.
In altre parole stai dicendo che per "q interna" si intende carica interna + carica sul bordo ?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo