Dubbio sulla quantità di moto nel rotolamento
Ho un dubbio riguardante il puro rotolamento, considero un cilindro di massa $M$ e raggio $r$ che ruota senza strisciare lungo un piano orizzontale con velocità angolare $\omega$ e velocità del centro di massa $v_{cm}$, per poi ad un certo punto urtare contro uno scalino alto $h
Come calcolo la quantità di moto del cilindro? Dal procedimento per arrivare alla prima equazione cardinale so che $q_{"tot"}=Mv_{cm}$, quindi direi che $q_{"tot"}=M\omegar$, ma sono dubbioso..
Come calcolo la quantità di moto del cilindro? Dal procedimento per arrivare alla prima equazione cardinale so che $q_{"tot"}=Mv_{cm}$, quindi direi che $q_{"tot"}=M\omegar$, ma sono dubbioso..
Risposte
Sì la quantità di moto del sistema coincide con la quantità di moto del centro di massa, per definizione di centro di massa in pratica.
Però in questo problema la quantità di moto non ti aiuta, ti serve il momento della quantità di moto rispetto ad un polo ...opportuno, e quello non è solo il momento della quantità di moto rispetto al polo del centro di massa, ma ci va sommato anche il momento della quantità di moto rispetto al centro di massa (teorema di Konig).
Però in questo problema la quantità di moto non ti aiuta, ti serve il momento della quantità di moto rispetto ad un polo ...opportuno, e quello non è solo il momento della quantità di moto rispetto al polo del centro di massa, ma ci va sommato anche il momento della quantità di moto rispetto al centro di massa (teorema di Konig).
Grazie della risposta.
Il mio dubbio era appunto sulle richieste di determinare la quantità di moto del sistema (che ora è risolta) e su un'altra, cioè di determinare il momento della quantità di moto rispetto ad un polo posto sul piano orizzontale, tutto prima dell'urto. Per quest'ultima richiesta pensavo di considerare come polo il punto di contatto con il piano, quindi il momento è: $p = \omega(I_{cm}+MR^2)$.
Prima ho sbagliato, scusami, il cilindro è forato (raggio esterno $R$ e raggio interno $r$) e quindi $I_{cm}=1/2M (R^2+r^2)$, da cui il momento della quantità di moto rispetto al punto di contatto $p= 1/2 \omegaM(3R^2+r^2)$.
Fin qua tutto bene?
Dopo si chiede di determinare l'altezza massima $h$ dello scalino che permette al cilindro di salire.
Per questo pensavo che per salire il gradino serve un "salto" di energia potenziale pari a $Mgh$, quindi l'energia cinetica del cilindro, nell'istante dopo l'urto, dovuta alla rotazione attorno allo spigolo dello scalino deve almeno eguagliare l'energia necessaria a salire lo scalino. Devo quindi trovare la velocità angolare (o del cm) dopo l'urto, per fare questo potrei usare il fatto che sullo spigolo (che durante l'urto diventa il punto di contatto) il momento angolare si conserva, $p=p' \Rightarrow I\omega=I\omega'$. Una volta trovata la velocità angolare dopo l'impatto ricavo l'energia cinetica e la eguaglio con $Mgh$, trovando la $h$ massima.
Può andare bene come ragionamento?
Grazie dell'aiuto!
Il mio dubbio era appunto sulle richieste di determinare la quantità di moto del sistema (che ora è risolta) e su un'altra, cioè di determinare il momento della quantità di moto rispetto ad un polo posto sul piano orizzontale, tutto prima dell'urto. Per quest'ultima richiesta pensavo di considerare come polo il punto di contatto con il piano, quindi il momento è: $p = \omega(I_{cm}+MR^2)$.
Prima ho sbagliato, scusami, il cilindro è forato (raggio esterno $R$ e raggio interno $r$) e quindi $I_{cm}=1/2M (R^2+r^2)$, da cui il momento della quantità di moto rispetto al punto di contatto $p= 1/2 \omegaM(3R^2+r^2)$.
Fin qua tutto bene?
Dopo si chiede di determinare l'altezza massima $h$ dello scalino che permette al cilindro di salire.
Per questo pensavo che per salire il gradino serve un "salto" di energia potenziale pari a $Mgh$, quindi l'energia cinetica del cilindro, nell'istante dopo l'urto, dovuta alla rotazione attorno allo spigolo dello scalino deve almeno eguagliare l'energia necessaria a salire lo scalino. Devo quindi trovare la velocità angolare (o del cm) dopo l'urto, per fare questo potrei usare il fatto che sullo spigolo (che durante l'urto diventa il punto di contatto) il momento angolare si conserva, $p=p' \Rightarrow I\omega=I\omega'$. Una volta trovata la velocità angolare dopo l'impatto ricavo l'energia cinetica e la eguaglio con $Mgh$, trovando la $h$ massima.
Può andare bene come ragionamento?
Grazie dell'aiuto!
Non ho controllato i conti con attenzione, ma il ragionamento mi pare corretto.
Bene, meno male
Un'ultima domanda veloce, il momento angolare prima dell'urto prendendo come polo lo spigolo dello scalino dovrebbe essere $p=\omega(I+MR(R-h))$, mentre dopo l'urto $p'=\omega'(I+MR^2)$, giusto?
Un'ultima domanda veloce, il momento angolare prima dell'urto prendendo come polo lo spigolo dello scalino dovrebbe essere $p=\omega(I+MR(R-h))$, mentre dopo l'urto $p'=\omega'(I+MR^2)$, giusto?
Attenzione, Il cilindro è forato, quindi il momento di inerzia proprio è sbagliato.
"Sabb":
Un'ultima domanda veloce, il momento angolare prima dell'urto prendendo come polo lo spigolo dello scalino dovrebbe essere $p=\omega(I+MR(R-h))$, mentre dopo l'urto $p'=\omega'(I+MR^2)$, giusto?
Sì corretto.
"Shackle":
Attenzione, Il cilindro è forato, quindi il momento di inerzia proprio è sbagliato.
No è giusto, considera che $M$ è la massa del cilindro forato, non del cilindro se fosse pieno.
Perfetto, grazie mille per l’aiuto! 
Scusami ma ho un altro dubbio.. Il momento angolare si conserva sullo spigolo dello scalino, questo significa che la risultante dei momenti delle forze esterne rispetto al polo che consideriamo è nulla. Quello che non mi torna è il momento della forza peso, che è applicata sul centro di massa e diretta verso il basso, il braccio della forza peso rispetto al polo è il vettore che congiunge lo spigolo con il centro di massa, quindi non capisco come possa il momento essere nullo..
Dove sto sbagliando?
Dove sto sbagliando?
Avevi fatto tutto giusto e ora metti in dubbio quello che hai fatto?
Durante un urto le forze esterne non impulsive non danno contributo, visto che sono applicate per un tempo infinitesimo.
Durante un urto le forze esterne non impulsive non danno contributo, visto che sono applicate per un tempo infinitesimo.
Hai ragione, è una questione forse banale, ma non mi torna e per capirlo bene devo eliminare qualunque dubbio.. 
Non so se hai aggiunto un "non" di troppo o se sto proprio confondendo il tutto, una forza applicata per un tempo infinitesimo è una forza impulsiva, e una forza impulsiva non da contributo durante un urto, giusto?
"Faussone":
Durante un urto le forze esterne non impulsive non danno contributo, visto che sono applicate per un tempo infinitesimo.
Non so se hai aggiunto un "non" di troppo o se sto proprio confondendo il tutto, una forza applicata per un tempo infinitesimo è una forza impulsiva, e una forza impulsiva non da contributo durante un urto, giusto?
"Sabb":
Non so se hai aggiunto un "non" di troppo o se sto proprio confondendo il tutto, una forza applicata per un tempo infinitesimo è una forza impulsiva, e una forza impulsiva non da contributo durante un urto, giusto?
NO sbagliato.
(I "non" sono giusti, anche se può NON sembrare
)Provo a riscrivere in maniera più estesa.
Una forza esterna impulsiva dà contributo alla variazione del momento della quantità di moto (o della quantità di moto), quindi in questo problema se non considerassimo il polo nel punto di contatto dove si ha l'urto, il momento della quantità di moto non si conserverebbe perché, al momento dell'urto una forza esterna molto grande, (nonostante applicata per un tempo molto piccolo), dovuta allo spigolo che urta il cilindro, agirebbe e contribuirebbe a far variare il momento della quantità di moto.
La forza peso invece, che non è una forza impulsiva, e che quindi agisce sempre, non fa cambiare il momento della quantità di moto tra prima e dopo l'urto perché tra il prima e il dopo l'urto è applicata per un tempo infinitesimo.
Ok, mi verrebbe quindi da dire che la differenza tra la forza impulsiva dovuta all'urto e la forza peso (che non è impulsiva) è l'intensità di tale forza. Durante l'urto agiscono sia la forza causata dall'urto stesso che la forza peso, entrambe per un tempo infinitesimo, se considerassimo un polo diverso dallo spigolo la forza causata dall'urto varierebbe il momento angolare del sistema anche se applicata per un tempo infinitesimo perché di grande intensità, mentre se consideriamo lo spigolo come polo la forza dell'urto non fa momento perché ha braccio nullo, mentre la forza peso darebbe un contributo infinitesimo al momento totale, perché è applicata per un tempo infinitesimo e non è impulsiva.
In sostanza la variazione della quantità di moto dovuta alla forza peso è infinitesima (sto pensando per darmi un'idea che $\Deltaq=mgdt$) e quindi anche la variazione del momento della quantità di moto. Ho capito qualcosa?
In sostanza la variazione della quantità di moto dovuta alla forza peso è infinitesima (sto pensando per darmi un'idea che $\Deltaq=mgdt$) e quindi anche la variazione del momento della quantità di moto. Ho capito qualcosa?
"Sabb":
Ho capito qualcosa?
Adesso mi pare ci siamo.
Ma lasciate perdere questi infinitesimi che non si possono sentire, la questione sta nel prodotto $FDeltat$, se il $Deltat$ in cui avviene l'urto è "piccolo" (parola da preferire a infinitesimo") e F è limitata superiormente, quel prodotto rimane "piccolo" e trascurabile in un qualche senso. Nel caso delle reazioni vincolari per esempio esse possono virtualmente esplicare una reazione grande a piacere, quindi il prodotto FDeltat non sarà in quel caso trascurabile.
Ok capisco, giustamente vedendo la questione in quest'ottica le cose mi sono ancora più chiare.
Mi hai sbloccato qualcosa dicendo questo, capisco così che la forza peso non è una forza che può essere grande a piacere e quindi il suo impulso in un tempo molto piccolo è anch'esso molto piccolo e quindi, come hai detto, trascurabile in un certo senso.
Grazie ad entrambi delle spiegazioni, siete stati chiarissimi
"Vulplasir":
F è limitata superiormente
Mi hai sbloccato qualcosa dicendo questo, capisco così che la forza peso non è una forza che può essere grande a piacere e quindi il suo impulso in un tempo molto piccolo è anch'esso molto piccolo e quindi, come hai detto, trascurabile in un certo senso.
Grazie ad entrambi delle spiegazioni, siete stati chiarissimi
"Vulplasir":
Ma lasciate perdere questi infinitesimi che non si possono sentire
Colpa mia che sono un ingegnere, per me moto piccolo e infinitesimo so' la stessa cosa.
A me infinitesimo fa proprio schifo come parola (oltre al fatto che concettualmente non è definito), nel caso di quantità "differenziali" $df$, preferisco usare il termine "quantità elementare" oppure "quantità differenziale" oppure solo "variazione" di quel particolare elemento f (per esempio "una quantità elementare di calore $deltaQ$", o ancora, meglio parlare di "piccole deformazioni" nell'ambito della meccanica dei continui, invece di "deformazioni infinitesime"...perché se ti danno il tensore delle piccole deformazioni e ti chiedono di calcolare la deformazione lungo una qualche direzione, otterrai un valore della deformazione finito, che può essere tutt'altro che "infinitesimo", ma comunque piccolo rispetto a qualche misura di "piccolo")
Ammazza quanto sei cattivo!
Lo so che non è rigoroso (comunque a dirla tutta da un po' esiste in Analisi non standard la definizione rigorosa di infinitesimo, anche se qui c'entra poco), ma secondo me non è così male, per capire alcuni concetti fisici. Newton e Leibniz ci hanno creato un bel po' quindi non sono così orribili dopotutto 'sti infinitesimi.
Io non sopporto invece i cardi (una delle poche cose che non mangio) e il piuttosto che... piuttosto che.. usato invece di o.. o.. che non è neanche italiano corretto peraltro. De gustibus....
Lo so che non è rigoroso (comunque a dirla tutta da un po' esiste in Analisi non standard la definizione rigorosa di infinitesimo, anche se qui c'entra poco), ma secondo me non è così male, per capire alcuni concetti fisici. Newton e Leibniz ci hanno creato un bel po' quindi non sono così orribili dopotutto 'sti infinitesimi.
Io non sopporto invece i cardi (una delle poche cose che non mangio) e il piuttosto che... piuttosto che.. usato invece di o.. o.. che non è neanche italiano corretto peraltro. De gustibus....
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