Dubbio sulla potenza
Trovo scritto sul mio libro di fisica (Mazzoldi) che
$P=\frac(dL)(dt)$
mi chiedo se sono corretti i seguenti passaggi:
$P=\frac(dL)(dt)=d/dt[\intF(s(t))cos(\theta(s(t)))ds(t)]=$
$=d/dt[\intF(s(t))cos(\theta(s(t)))ds(t)]\frac(ds(t))(ds(t))=$
$=\frac(d\intF(s(t))cos(\theta(s(t)))ds(t))(ds(t))\frac(ds(t))(dt)=$
$=F(s(t))cos(\theta(s(t)))\frac(ds(t))(dt)=$
$=F(s(t))cos(\theta(s(t)))v(t)$
e ponendo $s(t)=s$ risulta $P=F(s)cos(\theta(s))v(t)=\vecF(s)\vecv(t)$
vi faccio questa domanda perchè praticamente in TUTTI i libri di fisica che ho consultato, si "omette" spesso e volentieri, di indicare le variabili rispetto a cui si calcolano le funzioni.
Quindi quando si scrive $P=\vecF\vecv$ non si capisce rispetto a che variabile bisogna calcolare le funzioni...
....e allora $\vecF$ si calcola rispetto al tempo o rispetto allo spazio?
Idem per la velocità.
PS: Sarei davvero grato a chiunque sapesse indicarmi un libro di fisica in cui questi passagi più "analitici" non siano sottaciuti.
Grazie a tutti!!
$P=\frac(dL)(dt)$
mi chiedo se sono corretti i seguenti passaggi:
$P=\frac(dL)(dt)=d/dt[\intF(s(t))cos(\theta(s(t)))ds(t)]=$
$=d/dt[\intF(s(t))cos(\theta(s(t)))ds(t)]\frac(ds(t))(ds(t))=$
$=\frac(d\intF(s(t))cos(\theta(s(t)))ds(t))(ds(t))\frac(ds(t))(dt)=$
$=F(s(t))cos(\theta(s(t)))\frac(ds(t))(dt)=$
$=F(s(t))cos(\theta(s(t)))v(t)$
e ponendo $s(t)=s$ risulta $P=F(s)cos(\theta(s))v(t)=\vecF(s)\vecv(t)$
vi faccio questa domanda perchè praticamente in TUTTI i libri di fisica che ho consultato, si "omette" spesso e volentieri, di indicare le variabili rispetto a cui si calcolano le funzioni.
Quindi quando si scrive $P=\vecF\vecv$ non si capisce rispetto a che variabile bisogna calcolare le funzioni...
....e allora $\vecF$ si calcola rispetto al tempo o rispetto allo spazio?Idem per la velocità.
PS: Sarei davvero grato a chiunque sapesse indicarmi un libro di fisica in cui questi passagi più "analitici" non siano sottaciuti.
Grazie a tutti!!
Risposte
Dicendo $dL=\vecF*\vec(ds)$ e $P=(dL)/(dt)$ mi pare che sia detto tutto. Il prodotto scalare tra un vettore forza e un vettore spostamento è qualcosa di ben chiaro. Se poi la forza e lo spostamento sono indipendenti oppure se dipendono da altre variabili, questo è solo un dettaglio dovuto ai vincoli e alle altre condizioni al contorno, e queste relazioni di dipendenza varieranno di volta in volta in relazione al problema sotto esame. Però in linea di massima è inutile scendere in dettagli che farebbero perdere di generalità alle definizioni di lavoro e potenza.
Punto 1:
Intanto non ho capito perchè è "inutile":
Se ho che $\vecFd\vecs=|\vecF||d\vecs|cos\theta$
bisogna capire chi sono i moduli.
Ora se $|\vecF|=F(t)$ è una cosa.
Se invece ho $|\vecF|=F(s)$ è un altra.
Con questa considerazione, non si può dire che $P=\vecF\vecv$ se $|\vecF|=F(t)$.
Infatti nella definizione del lavoro, si parla molto esplicitamente di "funzione-forza dipendente dallo spazio e non dal tempo". Per cui la definizione della "potenza" non dipende dal contesto in cui siamo, ma è fissa.
Quindi, secondo me, le variabili sono fondamentali.
Punto 2:
Quello che ho scritto all'inizio è giusto?
Intanto non ho capito perchè è "inutile":
Se ho che $\vecFd\vecs=|\vecF||d\vecs|cos\theta$
bisogna capire chi sono i moduli.
Ora se $|\vecF|=F(t)$ è una cosa.
Se invece ho $|\vecF|=F(s)$ è un altra.
Con questa considerazione, non si può dire che $P=\vecF\vecv$ se $|\vecF|=F(t)$.
Infatti nella definizione del lavoro, si parla molto esplicitamente di "funzione-forza dipendente dallo spazio e non dal tempo". Per cui la definizione della "potenza" non dipende dal contesto in cui siamo, ma è fissa.
Quindi, secondo me, le variabili sono fondamentali.
Punto 2:
Quello che ho scritto all'inizio è giusto?
Il teorema di derivazione delle funzioni composte rende le relazioni $F=F(t)$ e $F=F(s)$ assolutamente equivalenti.
"dark121it":
Infatti nella definizione del lavoro, si parla molto esplicitamente di "funzione-forza dipendente dallo spazio e non dal tempo".
La forza può dipendere da chi le pare. Il tuo è solo un problema di calcolo. Infatti se hai la funzione forza dipendente dallo spazio puoi integrare facilmente in ds, mentre se la forza dipende dal tempo non è immediato calcolare l'integrale. Però se conosci l'andamento dello spazio nel tempo ti riconduci a una unica variabile e l'integrale lo puoi calcolare facendo delle sostituzioni. Mi pare che tu metta insieme due concetti distinti: il lavoro è il prodotto scalare della forza per lo spostamento, e questo è sempre vero a prescindere dal fatto che l'integrale sia immediatamente calcolabile o meno; la calcolabilità dell'integrale invece può essere più o meno immediata in relazione alla variabile da cui dipende la funzione forza. Se non fosse così, come spieghi allora il fatto che i libri di fisica omettono spesso le variabili da cui dipende la funzione forza? semplice: perché ciò non inficia affatto la definizione di lavoro.
"Falco5x":
[quote="dark121it"]Infatti nella definizione del lavoro, si parla molto esplicitamente di "funzione-forza dipendente dallo spazio e non dal tempo".
... come spieghi allora il fatto che i libri di fisica omettono spesso le variabili da cui dipende la funzione forza? semplice: perché ciò non inficia affatto la definizione di lavoro.[/quote]
Questa osservazione è fondamentale.
Le grandezze fisiche esistono indipendentemente dalla loro rappresentazione matematica.
Una forza $\vecF$ è definita dalle condizioni operative che permettono di misurarla: in tutto ciò la matematica non c'entra nulla (del resto Michael Faraday sapeva poco o nulla di matematica, e ciò non gli ha impedito di essere un immenso studioso di fisica e di chimica).
Tuttavia dark121it non ha tutti i torti.
Può andare benissimo, per esempio, denotare con $\vecF$ il vettore forza fisicamente definito indipendentemente dalle coordinate.
Se però poi passiamo alla rappresentazione matematica, non dovremmo usare lo stesso simbolo per indicare funzioni completamente diverse.
Si può accettare, per esempio, una scrittura come
$\vecE=Q/(4\pi\epsilon_0 r^2) \vecr/r= Q/(4\pi\epsilon_0) (x \veci+ y\vecj+ z \veck)/sqrt((x^2+y^2+z^2)^3)$, mostrando due diverse rappresentazioni matematiche della stessa grandezza.
Però non si può accettare l’uso dello stesso simbolo $\vecE$ per indicare delle funzioni, scrivendo per esempio $\vecE(r,\theta,\phi)=\vecE(x,y,z)$, come sovente fanno i fisici.
Stesso discorso per $\vecF(t)=\vecF(s)$.
aRGHHHhh....!!!
Comincio ad incasinarmi parecchio!!
Comincio ad incasinarmi parecchio!!
Cmq mi sciocca parecchio il fatto che una stessa "roba" ($\vecF$)
si possa rappresentare con 2 funzioni diverse...
Cioè, a me in analisi hanno insegnato che se voglio considerare una funzione DEVO scrivere la variabile rispetto a cui la sto considerando.
Se scrivessi $f$ il mio prof. (di analisi) penserebbe che sto considerando una costante.
....
si possa rappresentare con 2 funzioni diverse...
Cioè, a me in analisi hanno insegnato che se voglio considerare una funzione DEVO scrivere la variabile rispetto a cui la sto considerando.
Se scrivessi $f$ il mio prof. (di analisi) penserebbe che sto considerando una costante.
....
"dark121it":
Cmq mi sciocca parecchio il fatto che una stessa "roba" ($\vecF$)
si possa rappresentare con 2 funzioni diverse...
Prendiamo un corpo che cade nel vuoto partendo da altezza y_0 (asse delle y rivolto verso l'alto, con y=0 a livello dle mare). La forza di gravità è $F=-mg$. L'energia cinetica del corpo è pari al lavoro svolto da questa forza su di lui, cioè $L=E=mg(y_0-y)$. Allora diresti che l'energia cinetica è una funzione dello spazio. Siccome però io conosco anche l'altezza in funzione del tempo, posso scrivere $y=y_0-1/2 g t^2$, e quindi posso anche scrivere $L=E=1/2m g^2 t^2$. Nessuno mi vieta di farlo, perché a ogni istante t corrisponde una y ben precisa, e quindi le due rappresentazioni sono esattamente equivalenti.
Sì, in effetti...
cmq questa cosa la possiamo fare perchè lo spazio è una funzione del tempo.
Cioè in realtà il tempo è la variabile per così dire, "primaria" a cui possiamo fare riferimento.
Quindi in generale, tu dici che i fisici non indicano la variabile rispetto a cui pensano la funzione, perchè intendono fare un "discorso generale".
Poi di volta in volta, dovremo essere noi a seconda dei dati che abbiamo a disposizione a vedere rispetto a cosa ci conviene pensarle...giusto?
Non ho capito una cosa:
supp. che conosci $F(t)$ ma non $F(s(t))$.
Se per def la potenza è:
$P=\frac(dL)(dt)=d/dt[\intF(s(t))cos(\theta(s(t)))ds(t)]=$
e ponendo $g(s(t))=F(s(t))cos(\theta(s(t)))$ risulta
$P=d/dt[\intg(s(t))ds(t)]=d/dt[\intg(s(t))s'(t)dt]$
Come risolvi l'integrale?
cmq questa cosa la possiamo fare perchè lo spazio è una funzione del tempo.
Cioè in realtà il tempo è la variabile per così dire, "primaria" a cui possiamo fare riferimento.
Quindi in generale, tu dici che i fisici non indicano la variabile rispetto a cui pensano la funzione, perchè intendono fare un "discorso generale".
Poi di volta in volta, dovremo essere noi a seconda dei dati che abbiamo a disposizione a vedere rispetto a cosa ci conviene pensarle...giusto?
"K.Lomax":
Il teorema di derivazione delle funzioni composte rende le relazioni $F=F(t)$ e $F=F(s)$ assolutamente equivalenti.
Non ho capito una cosa:
supp. che conosci $F(t)$ ma non $F(s(t))$.
Se per def la potenza è:
$P=\frac(dL)(dt)=d/dt[\intF(s(t))cos(\theta(s(t)))ds(t)]=$
e ponendo $g(s(t))=F(s(t))cos(\theta(s(t)))$ risulta
$P=d/dt[\intg(s(t))ds(t)]=d/dt[\intg(s(t))s'(t)dt]$
Come risolvi l'integrale?
"dark121it":
Cmq mi sciocca parecchio il fatto che una stessa "roba" ($\vecF$)
si possa rappresentare con 2 funzioni diverse...
Cioè, a me in analisi hanno insegnato che se voglio considerare una funzione DEVO scrivere la variabile rispetto a cui la sto considerando.....
Non è questione di analisi, ma di geometria.
Le grandezze fisiche sono definite indipendentemente dai sistemi di coordinate: ciò vuol dire che debbono essere invarianti rispetto a certi gruppi di trasformazioni.
Nel caso della meccanica classica, si suppone che le relazioni spaziali obbediscano alla geometria euclidea: questo implica che le grandezze scalari debbano essere invarianti rispetto al gruppo delle isometrie dello spazio.
Nella definizione di lavoro che hai riportato, abbiamo che $dL=|\vecF||d\vecs|cos\theta$.
Osserva che la norma di un vettore è invariante per isometrie, quindi $|\vecF|$ e $|d\vecs|$ non dipendono dal sistema di coordinate usato. Anche l’angolo tra due direzioni è invariante per isometrie, e quindi nemmeno $cos\theta$ dipende dal sistema di coordinate usato. Ne consegue che la grandezza lavoro è un invariante.
Il tempo della meccanica classica è considerato “assoluto”: significa che gli intervalli di tempo sono invarianti, e non solo rispetto al gruppo delle isometrie, ma più in generale pure rispetto al gruppo delle trasformazioni tra riferimenti inerziali.
Quindi $(dL)/(dt)=P$ è un altro invariante.
Quanto alla possibilità di esprimere $L$ in funzione di $t$ oppure di $s$, devi tenere conto che per calcolare $L$ hai bisogno di esprimere matematicamente sia $\vecF$ che $d\vecs$, ma questo si vede nei corsi di Analisi 2 (o almeno ai miei tempi era così). Con le soli nozioni del primo anno di studi è effettivamente difficile comprendere bene queste cose.
Quindi, se ho capito bene, stai ipotizzando di non conoscere la relazione spazio-tempo??
Non precisamente.
Dicevo che se voglio tradurre l'espressione invariante $dL=|\vecF||d\vecs|cos\theta$ in un'espressione analitica, devo presumere di:
1. conoscere il campo vettoriale che descrive $vec\F$ in un sistema di coordinate, per esempio $f_1(x,y,z)\veci+f_2(x,y,z)\vecj+f_3(x,y,z)\veck$
2. conoscere la traiettoria lungo la quale la forza $vec\F$ lavora, per esempio $x(s)\veci+y(s)\vecj+z(s)\veck$
In tal caso ottengo $dL=(f_1(x(s),y(s),z(s))(dx)/(ds)+f_2(x(s),y(s),z(s))(dy)/(ds)+f_3(x(s),y(s),z(s))(dz)/(ds))ds$
Se è nota anche una funzione $u=s(t)$, posso ottenere una rappresentazione di $dL$ come forma differenziale che dipende da $t$, attraverso la composizione dei differenziali:
$dL=(f_1(x(s(t)),y(s(t)),z(s(t)))(dx)/(ds)(ds)/(dt)+f_2(x(s(t)),y(s(t)),z(s(t)))(dy)/(ds)(ds)/(dt)+f_3(x(s(t)),y(s(t)),z(s(t)))(dz)/(ds)(ds)/(dt))dt$
Dicevo che se voglio tradurre l'espressione invariante $dL=|\vecF||d\vecs|cos\theta$ in un'espressione analitica, devo presumere di:
1. conoscere il campo vettoriale che descrive $vec\F$ in un sistema di coordinate, per esempio $f_1(x,y,z)\veci+f_2(x,y,z)\vecj+f_3(x,y,z)\veck$
2. conoscere la traiettoria lungo la quale la forza $vec\F$ lavora, per esempio $x(s)\veci+y(s)\vecj+z(s)\veck$
In tal caso ottengo $dL=(f_1(x(s),y(s),z(s))(dx)/(ds)+f_2(x(s),y(s),z(s))(dy)/(ds)+f_3(x(s),y(s),z(s))(dz)/(ds))ds$
Se è nota anche una funzione $u=s(t)$, posso ottenere una rappresentazione di $dL$ come forma differenziale che dipende da $t$, attraverso la composizione dei differenziali:
$dL=(f_1(x(s(t)),y(s(t)),z(s(t)))(dx)/(ds)(ds)/(dt)+f_2(x(s(t)),y(s(t)),z(s(t)))(dy)/(ds)(ds)/(dt)+f_3(x(s(t)),y(s(t)),z(s(t)))(dz)/(ds)(ds)/(dt))dt$
Non era rivolto a te ma al post precedente di dark 
Sì. Cioè...mi pare di aver fatto un po' di casino con la potenza...volevo dire il lavoro (nella potenza c'hai la derivata...)
Cioè supponiamo per esempio che tu voglia calcolare il lavoro di $\vecF$ tra $A,B$ sapendo che
$F(t)=t^2$
Allora $L=\int_A^BF(s(t))ds(t)=\int_A^B(s(t))^2ds(t)=\int_A^By^2dy=$
$[\frac(y^3)(3)]_A^B=[\frac((s(t))^3)(3)]_A^B$
e a questo punto , non sapendo l'espressione analitica di s(t), non sai qual'è quella del lavoro....(credo... )
Cioè supponiamo per esempio che tu voglia calcolare il lavoro di $\vecF$ tra $A,B$ sapendo che
$F(t)=t^2$
Allora $L=\int_A^BF(s(t))ds(t)=\int_A^B(s(t))^2ds(t)=\int_A^By^2dy=$
$[\frac(y^3)(3)]_A^B=[\frac((s(t))^3)(3)]_A^B$
e a questo punto , non sapendo l'espressione analitica di s(t), non sai qual'è quella del lavoro....(credo... )
Beh preliminarmente direi che la relazione $F(t)=t^2$ non ha senso dimensionalmente. Comunque, supponendo che ci siano delle costanti unitarie (o che si semplificano a vicenda) tali da rendere quella relazione vera, non capisco la sostituzione $F(s(t))=s(t)^2$. Inoltre,nel calcolo da te postato A e B sono due posizioni ben precise, e dunque, dato che la variabile di integrazione è proprio la posizione, non hai bisogno di altro per determinare il lavoro. Ovvero, se fosse tutto corretto, si avrebbe:
$L=(B^3-A^3)/3$
$L=(B^3-A^3)/3$
....giustamente...!!!
Vabbè...grazie a tutti!
PS: volevo calcolare la composta $F(s(t))=F(y)=y^2=s(t)^"2$.
Vabbè...grazie a tutti!
PS: volevo calcolare la composta $F(s(t))=F(y)=y^2=s(t)^"2$.
Si, ma se ho una relazione ben precisa forza-tempo, questo non implica che la stessa relazione valga anche tra la forza e lo spazio (nota che se la sostituzione da te fatta fosse corretta, questo implicherebbe una relazione quadratica della forza con qualsiasi variabile,il che ovviamente è privo di senso).
Sì, hai ragione.
Cioè tu dici "posso anche calcolare la composta, ma non posso dire che sia una relazione valida in questo caso".
Giusto?
Cioè tu dici "posso anche calcolare la composta, ma non posso dire che sia una relazione valida in questo caso".
Giusto?
Il discorso è semplice. Facciamo un esempio vero. Considera la seguente relazione spazio-tempo:
$s(t)=s_0+v_0t+1/2at^2$
Allora, secondo quanto fatto da te, potrei dire che se al posto di $t$ ci metto, ad esempio, la velocità $v$, ho la relazione che mi lega lo spazio alla velocità e dovrebbe essere:
$s(v(t))=s_0+v_0v(t)+1/2av^2(t)$
che è palesemente assurdo.
$s(t)=s_0+v_0t+1/2at^2$
Allora, secondo quanto fatto da te, potrei dire che se al posto di $t$ ci metto, ad esempio, la velocità $v$, ho la relazione che mi lega lo spazio alla velocità e dovrebbe essere:
$s(v(t))=s_0+v_0v(t)+1/2av^2(t)$
che è palesemente assurdo.
Sì, sì ho capito.
Grazie!
Grazie!
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