Dubbio sul test del $\chi^2$
Salve a tutti.
Ho un dubbio sul test del $\chi^2$ . Praticamente esso serve a verificare se una relazione funzionale è adatta a fare il best fit e per farlo si utilizza la formula:
$\chi^2 = \sum_{k=1}^n (y^(teor.)_i - y^(sper.)_i)^2/\sigma_i$ . Dove $y^(teor.)_i$ e $y^(sper.)$ sono rispettivamente il valore teorico e il valore sperimentale della grandezza $y$ . Per $y^(sper.)$ non ci sono problemi in quanto esso è il valore misurato in laboratorio, ma il valore $y^(teor.)_i$ come si fa a conoscerlo ?
Ho un dubbio sul test del $\chi^2$ . Praticamente esso serve a verificare se una relazione funzionale è adatta a fare il best fit e per farlo si utilizza la formula:
$\chi^2 = \sum_{k=1}^n (y^(teor.)_i - y^(sper.)_i)^2/\sigma_i$ . Dove $y^(teor.)_i$ e $y^(sper.)$ sono rispettivamente il valore teorico e il valore sperimentale della grandezza $y$ . Per $y^(sper.)$ non ci sono problemi in quanto esso è il valore misurato in laboratorio, ma il valore $y^(teor.)_i$ come si fa a conoscerlo ?
Risposte
Il test del chi quadro serve a verificare se un modello "fitta" bene con i dati che hai a disposizione.
Dal tuo modello hai i valori "teorici" ovvero quelli attesi, e il chi quadro li confronta con quelli sperimentali, anche attraverso l'errore.
Dal tuo modello hai i valori "teorici" ovvero quelli attesi, e il chi quadro li confronta con quelli sperimentali, anche attraverso l'errore.
Ciao! I valori teorici li puoi trovare dal fit. Ad esempio, supponiamo di aver ottenuto $N$ punti sperimentali $(x_i,y_i)$, con incertezze sulle ordinate $\sigma_i$.
Grafichiamo i punti.
Osserviamo il grafico e supponiamo che l'andamento possa essere descritto bene da una certa funzione $y(x|\theta_1,...,\theta_m)$ dove i vari $\theta_i$ sono i parametri da cui dipende la funzione.
Ad esempio supponiamo di ipotizzare che l'andamento sia lineare, ossia la funzione è $y(x|m,c) = mx + c$.
Adesso facciamo il fit e ricaviamo i migliori $m$ e $c$.
Ora si effettua il test del $\chi^2$. In questo modo (che risponde alla tua domanda):
$\chi^2 = \sum_{i=1}^N(y_i-mx_i-c)^2/\sigma_i^2$
Come vedi i valori teorici sono i valori ricavati dal fit. Ora, se il test ha esito negativo, ossia si ottiene un valore per $\chi^2$ oltre la soglia di accettabilità (che si stabilisce arbitrariamente, ad esempio 5%-95%), allora i problemi possono essere di due tipi:
1) la funzione per il fit non è adatta. Ad esempio potrebbe andare meglio una parabola, o un altra qualsiasi funzione.
2) le incertezze $\sigma_i$ sono mal stimate, ma la funzione per il fit va bene.
Il secondo caso è frequente in laboratorio: spesso si hanno punti sperimentali con piccolissime incertezze ma si è sicuri dell'andamento lineare. In questo caso uno non si fida piu delle incertezze, ma si fida della retta, e allora utilizza la retta per stimare le incertezze, e dopodichè stima di nuovo i parametri della retta (metodo dei residui).
Grafichiamo i punti.
Osserviamo il grafico e supponiamo che l'andamento possa essere descritto bene da una certa funzione $y(x|\theta_1,...,\theta_m)$ dove i vari $\theta_i$ sono i parametri da cui dipende la funzione.
Ad esempio supponiamo di ipotizzare che l'andamento sia lineare, ossia la funzione è $y(x|m,c) = mx + c$.
Adesso facciamo il fit e ricaviamo i migliori $m$ e $c$.
Ora si effettua il test del $\chi^2$. In questo modo (che risponde alla tua domanda):
$\chi^2 = \sum_{i=1}^N(y_i-mx_i-c)^2/\sigma_i^2$
Come vedi i valori teorici sono i valori ricavati dal fit. Ora, se il test ha esito negativo, ossia si ottiene un valore per $\chi^2$ oltre la soglia di accettabilità (che si stabilisce arbitrariamente, ad esempio 5%-95%), allora i problemi possono essere di due tipi:
1) la funzione per il fit non è adatta. Ad esempio potrebbe andare meglio una parabola, o un altra qualsiasi funzione.
2) le incertezze $\sigma_i$ sono mal stimate, ma la funzione per il fit va bene.
Il secondo caso è frequente in laboratorio: spesso si hanno punti sperimentali con piccolissime incertezze ma si è sicuri dell'andamento lineare. In questo caso uno non si fida piu delle incertezze, ma si fida della retta, e allora utilizza la retta per stimare le incertezze, e dopodichè stima di nuovo i parametri della retta (metodo dei residui).
dunque, mi sembra di capire che $y^(teor.)_i$ si ricava dalla formula $y = mx + c$ (nell'incognita $y$ ovviamente) e quindi: $x$ è il valore misurato in laboratorio e $m$ è il coefficiente angolare (che mi da il programma microsoft exel). Excel mi da anche altri valori, che sono: $R^2$, intercetta, errore su intercetta ed errore $y$ a posteriori ...
il parametro $c$ corrisponde a uno di questi valori ?
il parametro $c$ corrisponde a uno di questi valori ?
certo è l'intercetta!
va bene, ti ringrazio molto per l'aiuto...
per la cronaca, gli altri valori cosa rappresentano invece ?
per la cronaca, gli altri valori cosa rappresentano invece ?
Allora dovrei vedere il programma, comunque, R^2 non lo conosco, errore su intercetta è appunto l'incertezza che si ha sull'intercetta(se fluttuano i punti, fluttuerà anche la retta del fit, quindi fluttua sia l'intercetta che il coefficente angolare), errore $y$ a posteriori non so cosa intenda, ma posso supporre sia la stima dell'incertezza sulle $y$ assumendo corretto il fit ( la si considera quando si pensa di aver stimato male le incertezze sulle $y$ nella misura, ottenendo di conseguenza un $\chi^2$ cattivo).
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