DUBBIO sul risultato di 1 esercizio sul momento angolare!!!!
Esercizio
Una carrucola, schematizzabile con un disco omogeneo di massa M = 10kg e raggio R
= 50cm, e’ appesa al soffitto e libera di ruotare attorno ad un asse orizzontale privo di attrito. Sulla
carrucola e’ avvolta una fune inestensibile e di massa trascurabile, ad una estremita’ della quale e’
fissato un blocco di massa m = 5kg. Al tempo t = 0 il sistema e’ fermo, con la fune in tensione, ed
il blocco situato 50cm piu’ in basso rispetto al centro della carrucola. Il sistema viene lasciato libero
di muoversi: si osserva che la fune si srotola senza strisciare sulla carrucola mentre il blocco si
abbassa. Si consideri il tempo tf, in cui la carrucola ha effettusato un giro completo dal tempo t =0.
1.1 Calcolare la velocita’ del blocco al tempo tf.
1.2 Calcolare i moduli ed indicare in un disegno la direzione ed il verso di tutte le forze che
agiscono sulla sola carrucola per 0 < t < tf.
1.3 Calcolare il momento angolare (rispetto all’asse di rotazione della carrucola) del sistema
composto dalla carrucola e dal blocco in funzione del tempo t (0 < t < tf).
1.4 [difficile] Rispondere nuovamente alla domanda 1.1, nel caso in cui la fune avesse una massa per unita’ di lunghezza pari a l = 0.5kg/m ed una lunghezza totale (sommando la parte avvolta
e quella non avvolta) pari a L = 10m.
non capisco perchè la risposta al p.to 1.3 è Lz = mgRt
Una carrucola, schematizzabile con un disco omogeneo di massa M = 10kg e raggio R
= 50cm, e’ appesa al soffitto e libera di ruotare attorno ad un asse orizzontale privo di attrito. Sulla
carrucola e’ avvolta una fune inestensibile e di massa trascurabile, ad una estremita’ della quale e’
fissato un blocco di massa m = 5kg. Al tempo t = 0 il sistema e’ fermo, con la fune in tensione, ed
il blocco situato 50cm piu’ in basso rispetto al centro della carrucola. Il sistema viene lasciato libero
di muoversi: si osserva che la fune si srotola senza strisciare sulla carrucola mentre il blocco si
abbassa. Si consideri il tempo tf, in cui la carrucola ha effettusato un giro completo dal tempo t =0.
1.1 Calcolare la velocita’ del blocco al tempo tf.
1.2 Calcolare i moduli ed indicare in un disegno la direzione ed il verso di tutte le forze che
agiscono sulla sola carrucola per 0 < t < tf.
1.3 Calcolare il momento angolare (rispetto all’asse di rotazione della carrucola) del sistema
composto dalla carrucola e dal blocco in funzione del tempo t (0 < t < tf).
1.4 [difficile] Rispondere nuovamente alla domanda 1.1, nel caso in cui la fune avesse una massa per unita’ di lunghezza pari a l = 0.5kg/m ed una lunghezza totale (sommando la parte avvolta
e quella non avvolta) pari a L = 10m.
non capisco perchè la risposta al p.to 1.3 è Lz = mgRt
Risposte
Cos'e' Lz ?
Proviamoci.
1.1 Sia $T$ la tensione nella corda che pende. Allora per il blocco $mg-T=m\alpha R$ ($\alpha$ è l'accelerazione angolare della carrucola) e per la carrucola che ha momento di inerzia $I=\frac{1}{2}MR^2$ si ha $TR=\frac{MR\alpha}{2}$. Mettendo a sistema si ricava $\alpha=\frac{mg}{\frac{MR}{2}+mR}$ e poichè $M=2m$ $\alpha$ diventa $\alpha=\frac{g}{2R}$. La carrucola fa un giro, dunque $\omega_f^2=4\alpha \pi= \frac{2\pi g}{R}\ Rightarrow v_f=\sqrt{2\pi g R}$
1.2 Beh, il disegno lo lascio a te, comunque penso che sulla carrucola, oltre alla tensione della corda e alla reazione del vincolo, agisca anche la forza d'attrito che non permette alla corda di slittare, i cui contributi però si elidono per simmetria, probabilmente
1.3 Mi propongo di scrivere la funzione $L_z(t)$dove L è adesso il momento angolare di tutto il sistema misurato rispetto ad una asse perpendicolare alla carrucola e passante per il suo centro, che credo si chiami z.
Comunque, è dato dalla somma del momento angolare della carrucola più quello del pesetto che scende. Poichè è un prodotto vettoriale è la sua quantità di moto per il raggio. Sia ha quindi $L_z(t)=\frac{1}{2}MR^2\frac{mtg}{\frac{MR}{2}+mR}+\frac{Rm^2tg}{M/2+m}$ poichè $M=2m$, si ha $L_z(t)=Rtgm$ per cui torna
1.4 Penso che si conservi l'energia. Si pone quindi costante includendo la potenziale della corda (dovresti fare l'integrale, ma poi in realtà basta anche lavorare con il centro di massa prima del pezzettino di corda pendente, poi con quello alla fine) e risolvertela in $v_f$, ma i conti sono lunghissimi. L'idea però penso sia quella.
Mi è venuta in mente una domanda. Abbiamo la stessa situazione descritta al punto 1.4 ma leviamo il pesetto di massa m. Come si trova la legge oraria dell'estremo della corda? In pratica, detta 0 la quota di partenza della punta della corda e detto $x$ il pezzo di corda pendente e $l-x$ il pezzo arrotolato intorno alla carrucola (che ha massa), come si trova $y(t)$? A me è venuta fuori una equazione differenziale bruttissima
1.1 Sia $T$ la tensione nella corda che pende. Allora per il blocco $mg-T=m\alpha R$ ($\alpha$ è l'accelerazione angolare della carrucola) e per la carrucola che ha momento di inerzia $I=\frac{1}{2}MR^2$ si ha $TR=\frac{MR\alpha}{2}$. Mettendo a sistema si ricava $\alpha=\frac{mg}{\frac{MR}{2}+mR}$ e poichè $M=2m$ $\alpha$ diventa $\alpha=\frac{g}{2R}$. La carrucola fa un giro, dunque $\omega_f^2=4\alpha \pi= \frac{2\pi g}{R}\ Rightarrow v_f=\sqrt{2\pi g R}$
1.2 Beh, il disegno lo lascio a te, comunque penso che sulla carrucola, oltre alla tensione della corda e alla reazione del vincolo, agisca anche la forza d'attrito che non permette alla corda di slittare, i cui contributi però si elidono per simmetria, probabilmente
1.3 Mi propongo di scrivere la funzione $L_z(t)$dove L è adesso il momento angolare di tutto il sistema misurato rispetto ad una asse perpendicolare alla carrucola e passante per il suo centro, che credo si chiami z.
Comunque, è dato dalla somma del momento angolare della carrucola più quello del pesetto che scende. Poichè è un prodotto vettoriale è la sua quantità di moto per il raggio. Sia ha quindi $L_z(t)=\frac{1}{2}MR^2\frac{mtg}{\frac{MR}{2}+mR}+\frac{Rm^2tg}{M/2+m}$ poichè $M=2m$, si ha $L_z(t)=Rtgm$ per cui torna
1.4 Penso che si conservi l'energia. Si pone quindi costante includendo la potenziale della corda (dovresti fare l'integrale, ma poi in realtà basta anche lavorare con il centro di massa prima del pezzettino di corda pendente, poi con quello alla fine) e risolvertela in $v_f$, ma i conti sono lunghissimi. L'idea però penso sia quella.
Mi è venuta in mente una domanda. Abbiamo la stessa situazione descritta al punto 1.4 ma leviamo il pesetto di massa m. Come si trova la legge oraria dell'estremo della corda? In pratica, detta 0 la quota di partenza della punta della corda e detto $x$ il pezzo di corda pendente e $l-x$ il pezzo arrotolato intorno alla carrucola (che ha massa), come si trova $y(t)$? A me è venuta fuori una equazione differenziale bruttissima
mi dispiace che tu abbia faticato così tanto ma l'unico punto che non capivo era l'1.3
le soluzioni corrette sono:
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