Dubbio sul calcolo della velocità angolare!!
Se io ho un asta di massa M che ruota intorno ad un asse passante per il suo centro, disposta verticalmente. Un proiettile di massa m con velocità orizzontale si conficca nell'estremo superiore. Devo calcolare la velocità angolare dopo l'urto quando è disposta orizzontalmente.
Quindi sfrutto la conservazione dell'energia meccanica: $ mgh= $$1/2Iw^2 $ $+ m'gh $
Il mio dubbio sorge quando devo calcolare le due altezze. In che modo si calcolano..non sono entrambe sia orizzontalmente che verticalmente $h=L/2 $ Inoltre $ m'$ si deve considerare come: $ m+M$ ?
Quindi sfrutto la conservazione dell'energia meccanica: $ mgh= $$1/2Iw^2 $ $+ m'gh $
Il mio dubbio sorge quando devo calcolare le due altezze. In che modo si calcolano..non sono entrambe sia orizzontalmente che verticalmente $h=L/2 $ Inoltre $ m'$ si deve considerare come: $ m+M$ ?
Risposte
Hai combinato un guazzabuglio orrendo.
Prova a rispondere a queste domande.
Prima: qual è l'energia iniziale del sistema?
Seconda: chi ti ha detto che l'energia si conserva? il proiettile per conficcarsi nell'asta secondo te non consuma energia?
E adesso riparti e prova a risolvere.
Prova a rispondere a queste domande.
Prima: qual è l'energia iniziale del sistema?
Seconda: chi ti ha detto che l'energia si conserva? il proiettile per conficcarsi nell'asta secondo te non consuma energia?
E adesso riparti e prova a risolvere.
L'asta prima dell'urto è in quiete, quindi l'energia cinetica è 0..se non posso usare la conservazione dell'energia come posso calcolare la velocità angolare in un determinato punto?
Ma scusa: il sistema è formato non dalla sola asta, ma da asta + proiettile no?
E allora perché non consideri l'energia cinetica del proiettile?
E comunque l'energia non si conserva perché quando si dice che dopo l'urto i corpi viaggiano attaccati insieme l'urto è sicuramente anelastico.
Allora in questo caso va utilizato il principio di conservazione del momento angolare rispetto al perno dell'asta.
E allora perché non consideri l'energia cinetica del proiettile?
E comunque l'energia non si conserva perché quando si dice che dopo l'urto i corpi viaggiano attaccati insieme l'urto è sicuramente anelastico.
Allora in questo caso va utilizato il principio di conservazione del momento angolare rispetto al perno dell'asta.
$m*v*L/2$$=$$(1/12ML^2+MR^2)w$
E' giusto?
E' giusto?
"SamLan":
$m*v*L/2$$=$$(1/12ML^2+MR^2)w$
E' giusto?
No, a secondo membro la seconda massa deve essere m, non M. E poi perché scrivi R invece di L/2?
Giusto quello non è un raggio, ho capito gli errori. Ora così posso conoscere la velocità angolare dopo l'urto del sistema. Come calcolo quella quando l'asta è orizzontale?
"SamLan":
Giusto quello non è un raggio, ho capito gli errori. Ora così posso conoscere la velocità angolare dopo l'urto del sistema. Come calcolo quella quando l'asta è orizzontale?
Qui puoi usare l'energia.
Tieni presente che l'energia dell'asta da considerare è solo quella cinetica perché la sua potenziale è costante, mentre riguardo al proiettile si devono considerare sia la potenziale che la cinetica.
Ah quindi la conservazione dell'energia si può usare ma solo successivamente all'urto.
Quindi abbiamo $Ui+Ki=Uf+Kf$, io qua mi perdo sicuramente sbaglio ma provo lo stesso:
$Ui=mg$$ L/2$
$Ki=1/2(ML^2+mL/2)w$
$Uf=mgl$
$Kf=?$
Quindi abbiamo $Ui+Ki=Uf+Kf$, io qua mi perdo sicuramente sbaglio ma provo lo stesso:
$Ui=mg$$ L/2$
$Ki=1/2(ML^2+mL/2)w$
$Uf=mgl$
$Kf=?$
No, c'è qualcosa che non va.
Intanto siccome la potenziale può avere valore arbirìtrario (contano solo le differenze) possiamo porla per comodità uguale a zero all'altezza alla quale vogliamo calcolare la velocità finale, cioè quando l'asta è orizzontale.
Così facendo i calcoli sono i seguenti:
\[\begin{array}{l}
{U_f} = 0 \\
{U_i} = mg\frac{L}{2} \\
{K_i} = \frac{1}{2}{I_a}{\omega _i}^2 + \frac{1}{2}m{v_{pi}}^2 = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{12}}M{L^2}} \right){\omega _i}^2 + \frac{1}{2}m{\left( {\frac{L}{2}{\omega _i}} \right)^2} = \frac{1}{2}\left( {\frac{M}{{12}} + \frac{m}{4}} \right){L^2}{\omega _i}^2 \\
{K_f} = \frac{1}{2}{I_a}{\omega _f}^2 + \frac{1}{2}m{v_{pf}}^2 = \frac{1}{2}\left( {\frac{M}{{12}} + \frac{m}{4}} \right){L^2}{\omega _f}^2 \\
{K_f} = {K_i} + {U_i} = \frac{1}{2}\left( {\frac{M}{{12}} + \frac{m}{4}} \right){L^2}{\omega _i}^2 + mg\frac{L}{2} \\
{\omega _f} = \sqrt {{\omega _i}^2 + \frac{{mg\frac{L}{2}}}{{\frac{1}{2}\left( {\frac{M}{{12}} + \frac{m}{4}} \right){L^2}}}} = \sqrt {{\omega _i}^2 + 12\frac{m}{{\left( {M + 3m} \right)}}\frac{g}{L}} \\
\end{array}\]
se non ho sbagliato i conti...
Intanto siccome la potenziale può avere valore arbirìtrario (contano solo le differenze) possiamo porla per comodità uguale a zero all'altezza alla quale vogliamo calcolare la velocità finale, cioè quando l'asta è orizzontale.
Così facendo i calcoli sono i seguenti:
\[\begin{array}{l}
{U_f} = 0 \\
{U_i} = mg\frac{L}{2} \\
{K_i} = \frac{1}{2}{I_a}{\omega _i}^2 + \frac{1}{2}m{v_{pi}}^2 = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{12}}M{L^2}} \right){\omega _i}^2 + \frac{1}{2}m{\left( {\frac{L}{2}{\omega _i}} \right)^2} = \frac{1}{2}\left( {\frac{M}{{12}} + \frac{m}{4}} \right){L^2}{\omega _i}^2 \\
{K_f} = \frac{1}{2}{I_a}{\omega _f}^2 + \frac{1}{2}m{v_{pf}}^2 = \frac{1}{2}\left( {\frac{M}{{12}} + \frac{m}{4}} \right){L^2}{\omega _f}^2 \\
{K_f} = {K_i} + {U_i} = \frac{1}{2}\left( {\frac{M}{{12}} + \frac{m}{4}} \right){L^2}{\omega _i}^2 + mg\frac{L}{2} \\
{\omega _f} = \sqrt {{\omega _i}^2 + \frac{{mg\frac{L}{2}}}{{\frac{1}{2}\left( {\frac{M}{{12}} + \frac{m}{4}} \right){L^2}}}} = \sqrt {{\omega _i}^2 + 12\frac{m}{{\left( {M + 3m} \right)}}\frac{g}{L}} \\
\end{array}\]
se non ho sbagliato i conti...
Wow grazie, ora ho capito! Solo una cosa non mi torna..quando calcoli l'energia cinetica perchè poni $v=L/2w$?
In un moto circolare la velocità periferica è uguale al raggio per la velocità angolare. Qui il proiettile è all'estremo di un'asta lunga L che ruota incernierata al centro, dunque il raggio di rotazione è L/2.
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